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Matemáticas 3.º ESO · Poliedros. Poliedros regulares

Los poliedros regulares y la fórmula de Euler

Objetivo: Al terminar, sabrás distinguir poliedros cóncavos y convexos, reconocer los cinco poliedros regulares y usar la fórmula de Euler, C + V = A + 2, para comprobar o calcular el número de caras, vértices o aristas.

Explicación

Poliedros cóncavos y convexos

Un poliedro es convexo si el segmento que une dos puntos cualesquiera del poliedro queda siempre dentro de él (en la práctica: se puede apoyar sobre cualquiera de sus caras). Si no, es cóncavo.

Poliedros regulares

Un poliedro es regular cuando es convexo y:

todas sus caras son polígonos regulares iguales, y
en cada vértice concurre el mismo número de caras.

Solo hay cinco poliedros regulares (los «sólidos platónicos»):

Poliedro	Caras	Caras por vértice	C	V	A
Tetraedro	triángulos equiláteros	3	4	4	6
Cubo (hexaedro)	cuadrados	3	6	8	12
Octaedro	triángulos equiláteros	4	8	6	12
Dodecaedro	pentágonos regulares	3	12	20	30
Icosaedro	triángulos equiláteros	5	20	12	30

La fórmula de Euler

En todo poliedro convexo, el número de caras ( $C$ ), de vértices ( $V$ ) y de aristas ( $A$ ) cumple: $C + V = A + 2$

Por ejemplo, en el cubo: $6 + 8 = 14 = 12 + 2$ .

Muchos poliedros cóncavos también la cumplen.
No la cumplen los poliedros con agujeros (con forma de marco o de anillo).

La fórmula sirve para comprobar un recuento y para calcular un elemento si conocemos los otros dos: por ejemplo, $A = C + V - 2$ .

Puntos clave

Convexo: el segmento que une dos puntos del poliedro queda dentro; si no, cóncavo.
Poliedro regular: convexo, caras polígonos regulares iguales y el mismo número de caras en cada vértice.
Solo hay cinco: tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
Fórmula de Euler (poliedros convexos): $C + V = A + 2$ .
Los poliedros con agujeros no cumplen la fórmula de Euler.

Errores frecuentes

ErrorPensar que basta con que las caras sean polígonos regulares iguales para que el poliedro sea regular.
Cómo corregirloComprueba también que en todos los vértices concurre el mismo número de caras (la bipirámide triangular falla en eso).
ErrorContar dos veces las aristas o los vértices que comparten varias caras.
Cómo corregirloCuenta por grupos (base de arriba, base de abajo, laterales) o usa la fórmula de Euler para comprobar el recuento.
ErrorAplicar la fórmula de Euler a un cuerpo con un agujero.
Cómo corregirloSi el poliedro tiene forma de marco o de anillo, la fórmula no vale: allí sale $C + V = A$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Los dados de rol situación real (reconocer poliedros regulares)
En los juegos de rol se usan dados llamados D4, D6, D8, D10, D12 y D20, según su número de caras. Todos tienen caras iguales y, salvo el D10, son poliedros regulares. a) ¿Qué poliedro regular es cada uno y qué polígonos son sus caras? b) El D10 tiene 10 caras iguales con forma de cometa (cuadriláteros con dos pares de lados contiguos iguales). ¿Por qué no es regular?

Resolución
a) D4: tetraedro (triángulos equiláteros). D6: cubo (cuadrados). D8: octaedro (triángulos equiláteros). D12: dodecaedro (pentágonos regulares). D20: icosaedro (triángulos equiláteros). b) Sus caras son iguales, pero una cometa no es un polígono regular (sus lados no son todos iguales ni sus ángulos tampoco). Por eso no es un poliedro regular.
Ejemplo 2. Comprobar la fórmula de Euler numérico
Comprueba la fórmula de Euler en: a) el icosaedro; b) una casita formada por un cubo con una pirámide cuadrangular encima, de base igual a la cara superior del cubo (la cara de unión no se ve).

Resolución
a) Icosaedro: $C = 20$ , $V = 12$ , $A = 30$ . $C + V = 32 = 30 + 2$ ✔

b) Contamos por partes:
- Caras: 5 del cubo (la de arriba queda tapada) + 4 triángulos del tejado: $C = 9$ .
- Vértices: 8 del cubo + la cúspide: $V = 9$ .
- Aristas: 12 del cubo + 4 aristas laterales de la pirámide: $A = 16$ .
$C + V = 9 + 9 = 18 = 16 + 2$ ✔
Ejemplo 3. Un marco de fotos experimental (un poliedro con agujero)
Un marco de fotos se construye pegando cuatro listones de madera con los extremos cortados a 45°. Visto de frente, es un cuadrado de 20 cm de lado con un agujero cuadrado de 14 cm en el centro; su grosor es de 2 cm. La cara delantera queda formada por 4 trapecios, y la trasera, por otros 4. Cuenta sus caras, vértices y aristas y comprueba si cumple la fórmula de Euler.

Resolución
- Caras: 4 trapecios delante, 4 detrás, 4 rectángulos por fuera y 4 por dentro (en el agujero): $C = 16$ .
- Vértices: 4 esquinas exteriores y 4 interiores delante, y otras tantas detrás: $V = 16$ .
- Aristas: delante, 4 del cuadrado exterior, 4 del interior y 4 diagonales de las uniones (12); detrás, otras 12; y 8 aristas que van de delante a atrás: $A = 32$ .
$C + V = 32$ , pero $A + 2 = 34$ . No cumple la fórmula de Euler: es un poliedro con agujero (aquí $C + V = A$ ).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Qué poliedro regular es? a) Sus caras son triángulos equiláteros y en cada vértice concurren 4. b) Sus caras son pentágonos. c) Tiene 20 caras. d) Tiene 8 vértices.

Ver solución
a) Octaedro. b) Dodecaedro. c) Icosaedro. d) Cubo.
Miramos la tabla de los cinco poliedros regulares: a) Triángulos, 4 por vértice: octaedro. b) El único con caras pentagonales es el dodecaedro. c) 20 caras: icosaedro. d) 8 vértices: cubo.
2. Fácil
Comprueba la fórmula de Euler en un prisma pentagonal y en una pirámide hexagonal.

Ver solución
Prisma: 7 + 10 = 15 + 2. Pirámide: 7 + 7 = 12 + 2.
Prisma pentagonal: $C = 7$ , $V = 10$ , $A = 15$ ; $7 + 10 = 17 = 15 + 2$ ✔ Pirámide hexagonal: $C = 7$ , $V = 7$ , $A = 12$ ; $7 + 7 = 14 = 12 + 2$ ✔
3. Media
Un poliedro convexo tiene 8 caras y 12 vértices. ¿Cuántas aristas tiene? Pon un ejemplo de poliedro así.

Ver solución
18 aristas; por ejemplo, un prisma hexagonal.
$A = C + V - 2 = 8 + 12 - 2 = 18$ . Un prisma hexagonal tiene 8 caras, 12 vértices y 18 aristas.
4. Media
Un poliedro convexo tiene 11 caras y 20 aristas. ¿Cuántos vértices tiene? ¿Podría ser una pirámide? ¿De qué base?

Ver solución
11 vértices; sí, una pirámide decagonal.
$V = A + 2 - C = 20 + 2 - 11 = 11$ . Una pirámide de base con $n$ lados tiene $2n$ aristas: $2n = 20 \Rightarrow n = 10$ , y entonces $C = V = 11$ ✔. Es una pirámide decagonal.
5. Media
Un prisma recto tiene como base un hexágono con forma de L (como la letra, con todos los ángulos rectos salvo uno de 270°). ¿Es convexo? Cuenta sus caras, vértices y aristas y comprueba si cumple la fórmula de Euler.

Ver solución
Es cóncavo; C = 8, V = 12, A = 18; sí cumple Euler.
Es cóncavo: el segmento que une los extremos de los dos brazos de la L sale fuera del cuerpo. Es un prisma de base hexagonal: $C = 6 + 2 = 8$ , $V = 2 \cdot 6 = 12$ , $A = 3 \cdot 6 = 18$ . $8 + 12 = 20 = 18 + 2$ ✔: aunque es cóncavo, cumple la fórmula de Euler (no tiene agujeros).
6. Difícil
Si pegamos dos tetraedros regulares iguales por una cara obtenemos una bipirámide triangular: todas sus caras son triángulos equiláteros iguales. ¿Es un poliedro regular? Comprueba también la fórmula de Euler.

Ver solución
No es regular (hay vértices con 3 caras y vértices con 4); C = 6, V = 5, A = 9 cumple Euler.
Caras: $3 + 3 = 6$ ; vértices: los 3 de la cara común y las 2 cúspides, $V = 5$ ; aristas: 3 de la cara común y 3 + 3 laterales, $A = 9$ . $6 + 5 = 11 = 9 + 2$ ✔ En las dos cúspides concurren 3 caras, pero en los vértices de la cara común concurren 4 (2 de cada tetraedro). Como no concurre el mismo número de caras en todos los vértices, no es regular.

Para practicar más

1. Fácil
Comprueba la fórmula de Euler en el tetraedro, el octaedro y el dodecaedro.

Ver solución
4 + 4 = 6 + 2; 8 + 6 = 12 + 2; 12 + 20 = 30 + 2.
Tetraedro: $4 + 4 = 8 = 6 + 2$ ✔. Octaedro: $8 + 6 = 14 = 12 + 2$ ✔. Dodecaedro: $12 + 20 = 32 = 30 + 2$ ✔
2. Fácil
Una tienda de campaña canadiense tiene forma de prisma triangular (incluido el suelo). Cuenta sus caras, vértices y aristas y comprueba la fórmula de Euler.

Ver solución
C = 5, V = 6, A = 9; 5 + 6 = 9 + 2.
Prisma triangular ( $n = 3$ ): $C = 5$ , $V = 6$ , $A = 9$ . $5 + 6 = 11 = 9 + 2$ ✔
3. Media
Un poliedro convexo tiene 6 vértices y 12 aristas. ¿Cuántas caras tiene? ¿Conoces algún poliedro regular así?

Ver solución
8 caras; el octaedro.
$C = A + 2 - V = 12 + 2 - 6 = 8$ . El octaedro tiene 8 caras, 6 vértices y 12 aristas.
4. Media
La torre de un castillo tiene forma de prisma hexagonal con un tejado en forma de pirámide hexagonal encima (la base de la pirámide coincide con la base superior del prisma). Cuenta sus caras, vértices y aristas y comprueba la fórmula de Euler.

Ver solución
C = 13, V = 13, A = 24; 13 + 13 = 24 + 2.
Caras: 6 laterales y la base inferior del prisma, más 6 triángulos del tejado: $C = 13$ . Vértices: 12 del prisma + la cúspide: $V = 13$ . Aristas: 18 del prisma + 6 laterales del tejado: $A = 24$ . $13 + 13 = 26 = 24 + 2$ ✔
5. Media
Lucía dice que ha dibujado un poliedro convexo con 10 caras, 10 vértices y 20 aristas. ¿Es posible?

Ver solución
No: no cumple la fórmula de Euler.
Si fuera convexo, debería cumplir $C + V = A + 2$ : $10 + 10 = 20$ , pero $A + 2 = 22$ . Como $20 \neq 22$ , no es posible: se ha equivocado al contar. (Con 10 caras y 10 vértices le corresponderían 18 aristas, como en una pirámide eneagonal.)