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Matemáticas 3.º ESO · Teorema de Euler

¿Por qué solo hay cinco poliedros regulares? Poliedros duales

Objetivo: Al terminar, sabrás justificar con la suma de los ángulos en un vértice que solo existen cinco poliedros regulares y reconocer los poliedros duales y sus elementos.

Explicación

¿Por qué solo hay cinco poliedros regulares?

El ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados mide $\dfrac{180^\circ \cdot (n-2)}{n}$ :

Polígono	triángulo	cuadrado	pentágono	hexágono
Ángulo	$60^\circ$	$90^\circ$	$108^\circ$	$120^\circ$

En cada vértice de un poliedro:

concurren al menos 3 caras (con 2 no se forma un vértice), y
la suma de sus ángulos es menor que $360^\circ$ : si fuera $360^\circ$ , las caras quedarían planas (como las baldosas de un suelo), y si fuera mayor, no cabrían.

Probamos todas las posibilidades:

Caras	Por vértice	Suma	¿Posible?	Poliedro
Triángulos	3	$180^\circ$	sí	tetraedro
Triángulos	4	$240^\circ$	sí	octaedro
Triángulos	5	$300^\circ$	sí	icosaedro
Triángulos	6	$360^\circ$	no (plano)	—
Cuadrados	3	$270^\circ$	sí	cubo
Cuadrados	4	$360^\circ$	no (plano)	—
Pentágonos	3	$324^\circ$	sí	dodecaedro
Pentágonos	4	$432^\circ$	no	—
Hexágonos	3	$360^\circ$	no (plano)	—

Con polígonos de más lados, tres ángulos ya suman más de $360^\circ$ . Por tanto, solo existen cinco poliedros regulares.

Poliedros duales

Si unimos los centros de las caras contiguas de un poliedro regular, obtenemos otro poliedro regular, su dual:

cada cara del primero da un vértice del dual, y cada vértice del primero corresponde a una cara del dual;
los dos tienen el mismo número de aristas.

Poliedro	C	V	A	Dual
Cubo	6	8	12	Octaedro (8, 6, 12)
Dodecaedro	12	20	30	Icosaedro (20, 12, 30)
Tetraedro	4	4	6	Tetraedro

El tetraedro es dual de sí mismo.

Puntos clave

Ángulo de un polígono regular de $n$ lados: $\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$ .
En un vértice concurren al menos 3 caras y sus ángulos suman menos de $360^\circ$ .
Solo cumplen esas condiciones cinco casos: por eso hay solo cinco poliedros regulares.
El dual se forma uniendo los centros de las caras: las caras pasan a ser vértices y al revés; las aristas son las mismas.
Cubo y octaedro son duales; dodecaedro e icosaedro también; el tetraedro es dual de sí mismo.

Errores frecuentes

ErrorPensar que con hexágonos regulares se puede formar un poliedro regular.
Cómo corregirloTres hexágonos suman $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$ : forman un mosaico plano (como un panal), no un vértice.
ErrorContar como posible el caso de 6 triángulos o 4 cuadrados por vértice.
Cómo corregirloLa suma debe ser menor que $360^\circ$ ; si es igual, la figura queda plana.
ErrorCreer que el dual tiene las mismas caras que el poliedro de partida.
Cómo corregirloSe intercambian caras y vértices: el dual del cubo (6 caras, 8 vértices) tiene 8 caras y 6 vértices.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Probar todas las posibilidades razonamiento (suma de ángulos en un vértice)
Explica, con la suma de los ángulos en un vértice, por qué no hay poliedros regulares con 4 caras pentagonales en cada vértice ni con caras hexagonales.

Resolución
El ángulo del pentágono regular es $\dfrac{180^\circ \cdot 3}{5} = 108^\circ$ . Con 4 pentágonos: $4 \cdot 108^\circ = 432^\circ > 360^\circ$ : no caben alrededor de un vértice. Con 3 pentágonos sí ( $324^\circ$ ): es el dodecaedro. El ángulo del hexágono regular es $\dfrac{180^\circ \cdot 4}{6} = 120^\circ$ . Con el mínimo de 3 caras ya sumamos $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$ : los tres hexágonos quedan planos. Es lo que pasa en un panal de abejas o en un suelo de baldosas hexagonales: no se cierra ningún cuerpo.
Ejemplo 2. El dual del cubo geométrico y numérico
Unimos los centros de las caras contiguas de un cubo de 2 dm de arista. a) ¿Qué poliedro se obtiene? ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene? b) ¿Cuánto mide su arista?

Resolución
a) El cubo tiene 6 caras: el dual tiene 6 vértices. El cubo tiene 8 vértices, y en cada uno concurren 3 caras: alrededor de cada vértice del cubo se forma un triángulo, así que el dual tiene 8 caras triangulares. Aristas: las mismas, 12. Es un octaedro ( $8 + 6 = 12 + 2$ ✔). b) Tomamos dos caras contiguas, por ejemplo la de abajo y una lateral. Sus centros están a 1 dm (media arista) de la arista común: uno en horizontal y el otro en vertical. Forman con el punto medio de esa arista un triángulo rectángulo de catetos 1 dm, así que, por Pitágoras: $\text{arista} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1{,}41\ \text{dm}$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el ángulo interior de un cuadrado y de un triángulo equilátero. ¿Cuántas caras cuadradas pueden concurrir en un vértice de un poliedro? ¿Y triangulares? Nombra el poliedro regular de cada caso.

Ver solución
90° y 60°. Cuadrados: 3 (cubo). Triángulos: 3, 4 o 5 (tetraedro, octaedro, icosaedro).
Cuadrado: $90^\circ$ . $3 \cdot 90^\circ = 270^\circ < 360^\circ$ ✔; $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$ ✘ (plano). Solo 3: cubo. Triángulo: $60^\circ$ . $3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$ , $4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$ , $5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$ ✔; $6 \cdot 60^\circ = 360^\circ$ ✘. Por tanto 3 (tetraedro), 4 (octaedro) o 5 (icosaedro).
2. Media
¿Puede existir un poliedro regular con caras heptagonales? Razónalo (redondea los ángulos a centésimas).

Ver solución
No: tres heptágonos suman unos 385,71°, más de 360°.
Ángulo del heptágono regular: $\dfrac{180^\circ \cdot 5}{7} \approx 128{,}57^\circ$ . Con el mínimo de 3 caras: $3 \cdot 128{,}57^\circ \approx 385{,}71^\circ > 360^\circ$ . No caben alrededor de un vértice, así que no existe.
3. Fácil
Completa la tabla de los duales:

Poliedro C V A Dual C del dual V del dual A del dual

Octaedro 8 6 12

Icosaedro 20 12 30

Tetraedro 4 4 6
Ver solución
Octaedro → cubo (6, 8, 12). Icosaedro → dodecaedro (12, 20, 30). Tetraedro → tetraedro (4, 4, 6).
Se intercambian caras y vértices y se mantienen las aristas:
- Octaedro (8, 6, 12) → dual con 6 caras, 8 vértices y 12 aristas: cubo.
- Icosaedro (20, 12, 30) → 12 caras, 20 vértices, 30 aristas: dodecaedro.
- Tetraedro (4, 4, 6) → 4, 4, 6: tetraedro.
4. Difícil
La idea del dual también sirve para otros poliedros. Una pirámide pentagonal tiene 6 caras (5 triángulos y la base). Si unimos los centros de las caras contiguas, ¿cuántos vértices, caras y aristas tiene el poliedro que se obtiene? ¿Qué poliedro es?
Ver solución
6 vértices, 6 caras y 10 aristas: otra pirámide pentagonal.
- Vértices del dual = caras de la pirámide = 6.
- Caras del dual = vértices de la pirámide = 6.
- Aristas: las mismas, $2 \cdot 5 =$ 10. Los centros de las 5 caras laterales forman un pentágono, y el centro de la base se une con los cinco: es otra pirámide pentagonal. (Las pirámides son duales de sí mismas.) Comprobación: $6 + 6 = 12 = 10 + 2$ ✔

Poliedro	C	V	A
Octaedro	8	6	12
Icosaedro	20	12	30
Tetraedro	4	4	6

Para practicar más

1. Fácil
Un suelo está cubierto de baldosas cuadradas, y otro, de baldosas con forma de triángulo equilátero. ¿Cuántas baldosas se juntan en cada vértice en cada suelo? ¿Por qué esas uniones no sirven como vértice de un poliedro?

Ver solución
4 cuadrados y 6 triángulos; en ambos casos los ángulos suman 360° y quedan planos.
Cuadrados: $360^\circ : 90^\circ = 4$ baldosas. Triángulos: $360^\circ : 60^\circ = 6$ baldosas. En los dos casos los ángulos suman exactamente $360^\circ$ : las baldosas quedan en un plano y no se forma ninguna «punta». Para que haya vértice de poliedro, la suma tiene que ser menor que $360^\circ$ .

2. Media

Para cada poliedro regular, calcula la suma de los ángulos de las caras que concurren en un vértice y cuánto le falta para $360^\circ$ (el «defecto»). Multiplica el defecto por el número de vértices. ¿Qué observas?

Ver solución

Defectos: 180°, 90°, 120°, 36° y 60°; en todos, defecto × vértices = 720°.

Poliedro	Suma en un vértice	Defecto	V	Defecto · V
Tetraedro	$3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$	$180^\circ$	4	$720^\circ$
Cubo	$3 \cdot 90^\circ = 270^\circ$	$90^\circ$	8	$720^\circ$
Octaedro	$4 \cdot 60^\circ = 240^\circ$	$120^\circ$	6	$720^\circ$
Dodecaedro	$3 \cdot 108^\circ = 324^\circ$	$36^\circ$	20	$720^\circ$
Icosaedro	$5 \cdot 60^\circ = 300^\circ$	$60^\circ$	12	$720^\circ$

Siempre sale $720^\circ$ (dos vueltas completas). Es un resultado de Descartes que vale para todos los poliedros convexos.

3. Media
Un prisma triangular tiene 5 caras, 6 vértices y 9 aristas. Si unimos los centros de sus caras contiguas, ¿cuántas caras, vértices y aristas tiene el poliedro obtenido? Describe cómo es.

Ver solución
6 caras, 5 vértices y 9 aristas: una bipirámide triangular.
Se intercambian caras y vértices: 6 caras, 5 vértices y 9 aristas ( $6 + 5 = 9 + 2$ ✔). Los centros de las 3 caras laterales forman un triángulo; los centros de las dos bases quedan uno encima y otro debajo de ese triángulo y se unen con sus tres vértices. Son dos pirámides triangulares pegadas por la base: una bipirámide triangular.
4. Media
Dentro de un cubo de 6 cm de arista dibujamos su dual uniendo los centros de las caras contiguas. a) ¿Qué poliedro es? b) ¿Cuánto mide su arista? c) ¿Cuál es el dual de ese nuevo poliedro?

Ver solución
a) Octaedro. b) 3√2 ≈ 4,24 cm. c) Un cubo.
a) Un octaedro (6 vértices, 8 caras, 12 aristas). b) Los centros de dos caras contiguas están a 3 cm de la arista común en dos direcciones perpendiculares: $\sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ cm. c) El dual del octaedro es un cubo (el dual del dual es un poliedro del mismo tipo que el de partida).