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Matemáticas 3.º ESO · Poliedros. Poliedros regulares

Visualización espacial: secciones del cubo y construcciones con cubos

Objetivo: Al terminar, sabrás qué polígonos se obtienen al cortar un cubo con un plano y calcular sus medidas, reconstruir construcciones de cubos a partir de sus vistas y reconocer los desarrollos del cubo.

Explicación

Secciones planas del cubo

Si cortamos un cubo con un plano, la sección es un polígono. Cada lado de la sección está sobre una cara del cubo y, como el cubo tiene 6 caras, la sección tiene como mucho 6 lados. Según cómo cortemos, obtenemos:

un cuadrado, si el plano es paralelo a una cara;
un rectángulo, por ejemplo si el plano pasa por dos aristas opuestas (mide $a \times a\sqrt{2}$ , siendo $a$ la arista);
un triángulo, si cortamos cerca de un vértice; es equilátero si pasa por los tres vértices vecinos de un mismo vértice (su lado es una diagonal de cara, $a\sqrt{2}$ );
un trapecio o un pentágono, con cortes inclinados;
un hexágono, que es regular si el plano pasa por los puntos medios de seis aristas (su lado mide la mitad de una diagonal de cara, $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ ).

Reconstruir un cuerpo a partir de sus vistas

Si conocemos la planta (qué casillas están ocupadas), el alzado (la pila más alta de cada columna) y el perfil (la pila más alta de cada fila), puede haber varias construcciones posibles:

Máximo de cubos: en cada casilla ponemos la menor de las dos alturas que permiten su columna y su fila.
Mínimo de cubos: colocamos cada altura que piden el alzado y el perfil aprovechando, cuando se pueda, una misma pila para una columna y una fila que piden la misma altura; el resto de casillas ocupadas lleva un solo cubo.

Los desarrollos del cubo

El cubo tiene 11 desarrollos distintos. Para saber si seis cuadrados forman un desarrollo, imagina el plegado: si hay cinco cuadrados en fila o un bloque de $2 \times 2$ , no se cierra.

Puntos clave

La sección plana de un cubo tiene como máximo 6 lados: triángulo, cuadrado, rectángulo, trapecio, pentágono o hexágono.
El plano que pasa por tres vértices vecinos de uno da un triángulo equilátero de lado $a\sqrt{2}$ .
El plano por los puntos medios de seis aristas da un hexágono regular de lado $\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ .
Con alzado, planta y perfil puede haber varias construcciones: se buscan el máximo y el mínimo de cubos.
El cubo tiene 11 desarrollos; cinco cuadrados en fila o un bloque de 2 × 2 nunca lo son.

Errores frecuentes

ErrorCreer que se puede obtener un heptágono u octógono al cortar un cubo.
Cómo corregirloCada lado de la sección está en una cara distinta y solo hay 6 caras: como mucho, 6 lados.
ErrorTomar la arista del cubo como lado del triángulo que pasa por tres vértices.
Cómo corregirloLos lados de ese triángulo son diagonales de cara: miden $a\sqrt{2}$ .
ErrorDar una sola construcción como si fuera la única que tiene esas vistas.
Cómo corregirloComprueba si alguna casilla podría tener más o menos cubos sin que cambien las vistas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cortar un cubo de gelatina geométrico y numérico (sección hexagonal)
Un cubo de gelatina de 4 cm de arista se corta con un cuchillo de manera que el corte pasa por los puntos medios de seis aristas. La sección es un hexágono regular. a) ¿Cuánto mide su lado? b) Calcula su perímetro y su área.

Resolución
a) Cada lado del hexágono une los puntos medios de dos aristas de una misma cara que salen de un vértice: es la mitad de la diagonal de esa cara. La diagonal de una cara mide $\sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2}$ cm, así que el lado mide $l = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\ \text{cm}$ b) Perímetro: $6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2} \approx 16{,}97$ cm. Área de un hexágono regular de lado $l$ (seis triángulos equiláteros): $\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,l^2 = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 8 = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78\ \text{cm}^2$ (redondeado a centésimas).
Ejemplo 2. ¿Cuántos cubos hay? razonamiento (reconstruir desde las vistas)
Una construcción de cubos ocupa, vista desde arriba, un rectángulo de 2 filas (fondo y delante) y 3 columnas: todas las casillas tienen al menos un cubo. El alzado (de frente) tiene columnas de 3, 1 y 2 cubos de altura (de izquierda a derecha). En el perfil, la fila del fondo tiene altura 3 y la de delante, altura 2. ¿Cuál es el máximo y el mínimo de cubos que puede tener?

Resolución
Máximo: en cada casilla, la menor de las alturas de su columna y su fila:

fondo 3 1 2

delante 2 1 2

Total: $6 + 5 = 11$ cubos.

Mínimo: la columna izquierda y la fila del fondo piden altura 3: basta una pila de 3 en la casilla fondo-izquierda. La columna derecha y la fila de delante piden 2: una pila de 2 en delante-derecha. La columna central pide 1. El resto de casillas, 1 cubo:

fondo 3 1 1

delante 1 1 2

Total: $5 + 4 = 9$ cubos. Puede tener entre 9 y 11 cubos.


fondo	3	1	2
delante	2	1	2


fondo	3	1	1
delante	1	1	2

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Se puede obtener cada uno de estos polígonos al cortar un cubo con un plano? Justifica: a) un triángulo; b) un cuadrado; c) un pentágono; d) un heptágono.

Ver solución
a) Sí. b) Sí. c) Sí. d) No.
a) Sí: cortando cerca de un vértice. b) Sí: con un plano paralelo a una cara. c) Sí: con un corte inclinado que atraviese cinco caras. d) No: cada lado de la sección está en una cara distinta y el cubo solo tiene 6 caras.
2. Media
Cortamos un cubo de 6 cm de arista con el plano que pasa por los tres vértices vecinos de uno de sus vértices. Calcula el lado, el perímetro y el área del triángulo que se obtiene (redondea a centésimas).

Ver solución
Lado 6√2 ≈ 8,49 cm; perímetro 18√2 ≈ 25,46 cm; área 18√3 ≈ 31,18 cm².
Cada lado es una diagonal de cara: $\sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$ cm. Es un triángulo equilátero. Perímetro: $3 \cdot 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \approx 25{,}46$ cm. Altura: $h = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{72 - 18} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ cm. Área: $\dfrac{6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{6}}{2} = 9\sqrt{12} = 18\sqrt{3} \approx 31{,}18\ \text{cm}^2$ .
3. Difícil
Una construcción de cubos ocupa, vista desde arriba, un cuadrado de 3 × 3 casillas, todas con algún cubo. El alzado tiene columnas de 2, 3 y 2 cubos (de izquierda a derecha). En el perfil, la fila del fondo mide 3; la del medio, 1, y la de delante, 2. ¿Cuál es el máximo y el mínimo de cubos?

Ver solución
Máximo 16; mínimo 13.
Máximo (en cada casilla, la menor altura de su columna y su fila):

fondo 2 3 2

medio 1 1 1

delante 2 2 2

$7 + 3 + 6 = 16$ cubos.

Mínimo: la columna central y la fila del fondo piden 3 → una pila de 3 en fondo-centro. Las columnas izquierda y derecha piden 2, y la fila de delante también → pilas de 2 en delante-izquierda y delante-derecha (sirven a la vez para su columna y para la fila de delante). El resto, 1 cubo:

fondo 1 3 1

medio 1 1 1

delante 2 1 2

$5 + 3 + 5 = 13$ cubos.


fondo	2	3	2
medio	1	1	1
delante	2	2	2


fondo	1	3	1
medio	1	1	1
delante	2	1	2

Para practicar más

1. Media
Cortamos un cubo de 5 cm de arista con un plano que pasa por dos aristas opuestas (que no están en la misma cara). ¿Qué figura se obtiene? Calcula sus dimensiones, su perímetro y su área (redondea a centésimas).

Ver solución
Rectángulo de 5 × 5√2 ≈ 7,07 cm; perímetro ≈ 24,14 cm; área 25√2 ≈ 35,36 cm².
Se obtiene un rectángulo: dos lados son las aristas (5 cm) y los otros dos, diagonales de cara: $\sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt{2} \approx 7{,}07$ cm. Perímetro: $2 \cdot 5 + 2 \cdot 5\sqrt{2} = 10 + 10\sqrt{2} \approx 24{,}14$ cm. Área: $5 \cdot 5\sqrt{2} = 25\sqrt{2} \approx 35{,}36\ \text{cm}^2$ .
2. Media
¿Cuáles de estas figuras son desarrollos de un cubo? En las que lo sean, di qué cara queda opuesta a la 1.

A

1

2 3 4 5

6

B

1 2

3 4

5 6

C

1 2 3 4

5 6

D

1 2

3 4

5

6

Ver solución
A sí (opuesta a 1: 6); B sí (opuesta a 1: 4); C y D no.
A sí: cuatro en fila con una cara a cada lado; la 1 y la 6 quedan opuestas (también 2-4 y 3-5). B sí: es la «escalera»; al plegar, la 1 queda opuesta a la 4 (y 2-5, 3-6). C no: contiene un bloque de $2 \times 2$ (3, 4, 5, 6), y dos de esas caras se superpondrían. D no: al plegar, la 6 cae sobre la misma posición que otra cara (se comprueba recortándolo).
3. Difícil
Una construcción de cubos ocupa, vista desde arriba, un cuadrado de 2 × 2 casillas, todas con algún cubo. El alzado tiene columnas de 3 y 2 cubos (izquierda y derecha); en el perfil, la fila del fondo mide 2 y la de delante, 3. Halla el máximo y el mínimo de cubos y dibuja la planta (con números) de cada caso.

Ver solución
Máximo 9; mínimo 7.
Máximo:

fondo 2 2

delante 3 2

9 cubos.

Mínimo: la columna izquierda y la fila de delante piden 3 → pila de 3 en delante-izquierda; la columna derecha y la fila del fondo piden 2 → pila de 2 en fondo-derecha; el resto, 1:

fondo 1 2

delante 3 1

7 cubos.