Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U12 · Cuerpos geométricos: áreas y volúmenes

Matemáticas 3.º ESO · Poliedros. Poliedros regulares

Desarrollos planos y vistas de prismas y pirámides

Objetivo: Al terminar, sabrás construir y reconocer desarrollos planos de prismas y pirámides y dibujar e interpretar el alzado, la planta y el perfil de un cuerpo.

Explicación

Desarrollos planos

El desarrollo plano de un poliedro es la figura que se obtiene al cortarlo por algunas aristas y extenderlo sobre el plano. Al revés: recortando el desarrollo y doblándolo se construye el cuerpo.

Prisma recto de base con $n$ lados: una tira de $n$ rectángulos (todos de altura $h$ , la del prisma; el largo total de la tira es el perímetro de la base) y las dos bases, pegadas a lados opuestos de la tira.
Pirámide de base con $n$ lados: la base y $n$ triángulos, uno pegado a cada lado de la base.
El cubo tiene 11 desarrollos distintos. Uno de ellos es la cruz:


	■
■	■	■	■
	■

Al plegar un desarrollo del cubo, dos caras que comparten un lado nunca son opuestas.

Vistas de un cuerpo

Para representar un cuerpo en el plano se dibuja cómo se ve desde tres direcciones:

Alzado: visto de frente.
Planta: visto desde arriba.
Perfil: visto desde un lado (normalmente, el izquierdo).

En las construcciones con cubos es útil dibujar la planta y escribir en cada casilla cuántos cubos hay apilados: con eso queda descrito el cuerpo. En el alzado, cada columna mide lo que la pila más alta de esa columna; en el perfil, cada fila mide lo que la pila más alta de esa fila.

Puntos clave

Desarrollo de un prisma recto: una tira de $n$ rectángulos de altura $h$ y largo total igual al perímetro de la base, más las dos bases.
Desarrollo de una pirámide: la base y un triángulo sobre cada lado.
El cubo tiene 11 desarrollos; en ellos, dos caras que comparten un lado nunca quedan opuestas.
Vistas: alzado (de frente), planta (desde arriba) y perfil (desde un lado).
La planta con el número de cubos de cada pila describe por completo una construcción de cubos.

Errores frecuentes

ErrorDibujar las dos bases de un prisma en el mismo lado de la tira.
Cómo corregirloUna base va pegada a un lado largo de la tira y la otra al lado opuesto; si no, al doblar se superponen.
ErrorPensar que cualquier figura de seis cuadrados es un desarrollo del cubo.
Cómo corregirloImagina el plegado o recórtalo: si hay cinco cuadrados en fila o un bloque de 2 × 2 (por ejemplo, dentro de un rectángulo de 2 × 3), no se cierra.
ErrorEn el alzado, sumar los cubos de una columna en vez de tomar la pila más alta.
Cómo corregirloDesde delante solo se ve la altura máxima de cada columna: las pilas de detrás quedan tapadas.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El desarrollo de una caja de té manipulativo (construir un desarrollo)
Una caja de té tiene forma de prisma hexagonal regular. La arista de la base mide 3 cm y la altura, 10 cm. Describe su desarrollo plano con sus medidas.

Resolución
- Caras laterales: 6 rectángulos de $3 \times 10$ cm, uno al lado de otro. Forman una tira rectangular de $6 \cdot 3 = 18$ cm de largo y 10 cm de alto (el largo es el perímetro de la base).
- Bases: 2 hexágonos regulares de 3 cm de lado; uno pegado al borde superior de uno de los rectángulos y el otro al borde inferior (del mismo rectángulo o de otro).
En total, 8 piezas: $6 + 2 = 8$ caras, como corresponde a un prisma hexagonal.
Ejemplo 2. Una construcción con cubos gráfico (vistas)
Esta es la planta de una construcción con cubos iguales; el número de cada casilla indica cuántos cubos hay apilados (la fila de abajo es la de delante):

2 1 1

3 1

a) ¿Cuántos cubos tiene? b) Dibuja el alzado y el perfil visto desde la izquierda.

Resolución
a) $2 + 1 + 1 + 3 + 1 = 8$ cubos.

b) Alzado (de frente): en cada columna se ve la pila más alta: columna izquierda, $\max(2, 3) = 3$ ; central, 1; derecha, 1.

■

■

■ ■ ■

Perfil (desde la izquierda): en cada fila se ve la pila más alta: fila de delante, 3; fila del fondo, 2. Desde la izquierda, la fila de delante queda a nuestra derecha:

■

■ ■

■ ■


2	1	1
3	1


■
■
■	■	■


	■
■	■
■	■

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Media
Una pirámide cuadrangular regular tiene una base de 6 cm de lado y aristas laterales de 5 cm. Describe su desarrollo plano. ¿Cuánto mide la altura de cada triángulo?

Ver solución
Un cuadrado de 6 cm y 4 triángulos isósceles de lados 6, 5 y 5 cm; altura de cada triángulo: 4 cm.
El desarrollo es un cuadrado de 6 cm de lado con un triángulo isósceles de lados 6, 5 y 5 cm pegado a cada lado. La altura del triángulo cae en el punto medio del lado de 6 cm. Por Pitágoras: $\sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$ cm.
2. Media
¿Cuáles de estas figuras son desarrollos de un cubo? En las que lo sean, ¿qué cara queda opuesta a la 1?

A

1

2 3 4 5

6

B

1 2 3

4 5 6

C

1 2 3 4 5

6

D

1 2 3

4 5 6

Ver solución
A y B sí (opuesta a 1: la 6 en A y la 3 en B); C y D no.
A sí: es la cruz. Al plegar, la 3 queda abajo, la 1 y la 6 se levantan hacia atrás y hacia delante: la 6 queda opuesta a la 1 (y la 2 a la 4, la 3 a la 5). B sí: al plegar, la 3 queda opuesta a la 1 (y la 2 a la 5, la 4 a la 6). C no: con cinco cuadrados en fila, el primero y el quinto se superponen. D no: un bloque de $2 \times 3$ cuadrados no se cierra (se superponen caras).
3. Media
Esta es la planta de una construcción con cubos (en cada casilla, el número de cubos apilados; la fila de abajo es la de delante):

1 2 2

3 1

a) ¿Cuántos cubos tiene? b) Dibuja el alzado y el perfil visto desde la izquierda.

Ver solución
a) 9 cubos. b) Alzado: columnas de 3, 2 y 2; perfil: 2 (fondo) y 3 (delante).
a) $1 + 2 + 2 + 3 + 1 = 9$ cubos.

b) Alzado: izquierda, $\max(1, 3) = 3$ ; centro, 2; derecha, $\max(2, 1) = 2$ .

■

■ ■ ■

■ ■ ■

Perfil (desde la izquierda): fila del fondo, 2; fila de delante, 3 (queda a nuestra derecha).

■

■ ■

■ ■


	1
2	3	4	5
	6


1	2	3
		4	5	6


1	2	3	4	5
6


1	2	3
4	5	6


1	2	2
3		1


■
■	■	■
■	■	■


	■
■	■
■	■

Para practicar más

1. Fácil
Una caja de cereales con forma de ortoedro mide 8 cm × 5 cm × 3 cm. Describe su desarrollo plano (qué rectángulos lo forman y cuántos de cada) y calcula cuánto cartón hace falta sin contar las solapas.

Ver solución
2 rectángulos de 8 × 5, 2 de 8 × 3 y 2 de 5 × 3; 158 cm².
Las caras opuestas son iguales: 2 rectángulos de $8 \times 5$ , 2 de $8 \times 3$ y 2 de $5 \times 3$ cm. Cartón: $2 \cdot (8 \cdot 5 + 8 \cdot 3 + 5 \cdot 3) = 2 \cdot (40 + 24 + 15) = 2 \cdot 79 = 158\ \text{cm}^2$ .
2. Fácil
¿Qué cuerpo se obtiene al doblar cada desarrollo? a) Un pentágono regular con un triángulo isósceles pegado a cada lado. b) Una tira formada por tres rectángulos iguales y dos triángulos equiláteros, uno a cada lado de la tira. c) Un rectángulo y dos círculos.

Ver solución
a) Pirámide pentagonal regular. b) Prisma triangular regular. c) Cilindro (no es un poliedro).
a) Una base y triángulos sobre cada lado: pirámide pentagonal regular. b) Tira de rectángulos y dos bases: prisma triangular regular. c) Es el desarrollo de un cilindro, que no es un poliedro (tiene superficies curvas).
3. Media
En un dado, los puntos de caras opuestas suman 7. Este es el desarrollo de un dado en el que solo se han escrito tres números. Escribe los que faltan en las casillas D, E y F.

1

2 3 D

E F

Ver solución
D = 5, E = 6, F = 4.
Al plegar, quedan opuestas: la 1 con E, la 2 con D y la 3 con F (se comprueba montando el desarrollo: la 3 hace de base; la 2 y D son las paredes izquierda y derecha; la 1, pegada a la 2, y E, pegada a D, se doblan como pared trasera y delantera; y F cierra por arriba). Por tanto: $E = 7 - 1 = 6$ , $D = 7 - 2 = 5$ , $F = 7 - 3 = 4$ .