Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U12 · Cuerpos geométricos: áreas y volúmenes

Matemáticas 3.º ESO · Poliedros. Poliedros regulares

Recuerda: poliedros, prismas y pirámides

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer prismas y pirámides, nombrar sus elementos, clasificarlos según su base y si son rectos, oblicuos o regulares, y contar sus caras, vértices y aristas.

Recuerda

Poliedros

Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos. Los cuerpos que tienen alguna superficie curva (cilindro, cono, esfera) no son poliedros: son cuerpos de revolución. Sus elementos son:

Caras: los polígonos que lo limitan.
Aristas: los lados de las caras (cada arista es común a dos caras).
Vértices: los puntos donde se juntan las aristas.
Ángulo diedro: el que forman dos caras que comparten una arista.

Prismas

Un prisma tiene dos bases iguales y paralelas, y sus caras laterales son paralelogramos. La altura es la distancia entre las bases.

Por la base: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal…
Recto (caras laterales rectangulares, perpendiculares a las bases) u oblicuo.
Regular: recto y con bases que son polígonos regulares.
Si las bases son paralelogramos es un paralelepípedo; si todas las caras son rectángulos, un ortoedro (la forma de una caja de zapatos).

Pirámides

Una pirámide tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se unen en un vértice, la cúspide. La altura es la distancia de la cúspide a la base. Puede ser recta u oblicua, y es regular si es recta y su base es un polígono regular.

Cuántos elementos tienen

Si la base tiene $n$ lados:

	Caras	Vértices	Aristas
Prisma	$n + 2$	$2n$	$3n$
Pirámide	$n + 1$	$n + 1$	$2n$

Puntos clave

Poliedro: cuerpo limitado por polígonos; elementos: caras, aristas, vértices y ángulos diedros.
Prisma: dos bases iguales y paralelas y caras laterales que son paralelogramos.
Pirámide: una base y caras laterales triangulares que se unen en la cúspide.
Se nombran por el polígono de la base; pueden ser rectos u oblicuos; regulares si son rectos con base regular.
Base de $n$ lados: el prisma tiene $n+2$ caras, $2n$ vértices y $3n$ aristas; la pirámide, $n+1$ caras, $n+1$ vértices y $2n$ aristas.

Errores frecuentes

ErrorContar solo las caras laterales y olvidar las bases.
Cómo corregirloUn prisma tiene dos bases y una pirámide una: súmalas a las $n$ caras laterales.
ErrorLlamar «pirámide hexagonal» a una pirámide de seis caras.
Cómo corregirloEl nombre lo da la base: una pirámide de seis caras tiene 5 laterales y base pentagonal.
ErrorPensar que un prisma oblicuo tiene caras laterales rectangulares.
Cómo corregirloEn el prisma oblicuo las caras laterales son paralelogramos no rectángulos; solo en el recto son rectángulos.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Cuerpos geométricos en la ciudad situación real (clasificar)
Clasifica estos objetos según el cuerpo geométrico al que se parecen: a) Un ladrillo. b) Una caja de bombones con dos triángulos equiláteros iguales en los extremos y tres rectángulos iguales en los lados. c) Cada una de las Torres KIO de la plaza de Castilla: unos 114 m de altura, base y techo cuadrados iguales y paralelos, y el edificio inclinado unos 15°. d) Una tienda de campaña con suelo cuadrado y cuatro lonas triangulares iguales que se juntan en el mástil central.

Resolución
a) Todas sus caras son rectángulos: ortoedro (prisma cuadrangular recto). b) Dos bases triangulares iguales y paralelas y caras laterales rectangulares: prisma triangular recto; como la base es un triángulo equilátero, es regular. c) Dos bases cuadradas paralelas, pero el edificio está inclinado: las caras laterales no son rectángulos. Es (aproximadamente) un prisma cuadrangular oblicuo. d) Una base cuadrada y caras laterales triangulares que se unen en un punto: pirámide cuadrangular; si el mástil está en el centro y es vertical, es regular.
Ejemplo 2. Contar sin dibujar numérico (fórmulas de los elementos)
¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene un prisma hexagonal? ¿Y una pirámide pentagonal?

Resolución
Prisma hexagonal ( $n = 6$ ): caras $= 6 + 2 = 8$ (6 laterales y 2 bases); vértices $= 2 \cdot 6 = 12$ (6 en cada base); aristas $= 3 \cdot 6 = 18$ (6 en cada base y 6 laterales).

Pirámide pentagonal ( $n = 5$ ): caras $= 5 + 1 = 6$ ; vértices $= 5 + 1 = 6$ (5 de la base y la cúspide); aristas $= 2 \cdot 5 = 10$ (5 de la base y 5 laterales).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Completa la tabla:

Cuerpo Caras Vértices Aristas

Prisma triangular

Pirámide cuadrangular

Prisma octogonal

Pirámide hexagonal

Ver solución
Prisma triangular: 5, 6, 9. Pirámide cuadrangular: 5, 5, 8. Prisma octogonal: 10, 16, 24. Pirámide hexagonal: 7, 7, 12.
Prisma ( $n+2$ , $2n$ , $3n$ ): $n=3$ → 5, 6, 9; $n = 8$ → 10, 16, 24. Pirámide ( $n+1$ , $n+1$ , $2n$ ): $n = 4$ → 5, 5, 8; $n = 6$ → 7, 7, 12.
2. Media
Un prisma tiene 21 aristas. ¿Qué polígono es su base? ¿Cuántas caras y vértices tiene?

Ver solución
Base heptagonal; 9 caras y 14 vértices.
En un prisma, aristas $= 3n$ : $3n = 21 \Rightarrow n = 7$ . La base es un heptágono. Caras $= 7 + 2 = 9$ ; vértices $= 2 \cdot 7 = 14$ .
3. Media
¿Verdadero o falso? Justifica. a) Un ortoedro es un prisma. b) Existe una pirámide con 15 aristas. c) Las caras laterales de un prisma oblicuo son rectángulos.

Ver solución
a) V. b) F. c) F.
a) Verdadero: tiene dos bases iguales y paralelas (rectángulos) y caras laterales que son paralelogramos (rectángulos). b) Falso: una pirámide tiene $2n$ aristas, que es siempre un número par. c) Falso: son paralelogramos no rectángulos; solo en un prisma recto son rectángulos.

Para practicar más

1. Fácil
Clasifica (tipo de cuerpo, base, recto u oblicuo y si es regular): a) Un lápiz hexagonal sin afilar. b) Un tetrabrik de leche. c) El tejado de un torreón formado por 8 triángulos iguales que se unen en un punto situado justo encima del centro de un octógono regular.

Ver solución
a) Prisma hexagonal regular. b) Ortoedro (prisma cuadrangular recto). c) Pirámide octogonal regular.
a) Dos hexágonos regulares iguales y paralelos y caras laterales rectangulares: prisma hexagonal regular. b) Todas las caras son rectángulos: ortoedro, un prisma cuadrangular recto (no es regular salvo que la base sea un cuadrado). c) Base octogonal regular, caras triangulares que se unen en un punto sobre el centro: pirámide octogonal regular (recta).
2. Media
Una pirámide tiene 10 vértices. ¿Qué polígono es su base? ¿Cuántas caras y aristas tiene?

Ver solución
Base eneagonal (9 lados); 10 caras y 18 aristas.
Vértices $= n + 1 = 10 \Rightarrow n = 9$ : la base es un eneágono. Caras $= 9 + 1 = 10$ ; aristas $= 2 \cdot 9 = 18$ .
3. Media
¿Puede un prisma tener 15 vértices? ¿Y 15 aristas? Si es posible, di cómo es su base.

Ver solución
15 vértices, no; 15 aristas, sí: prisma pentagonal.
Un prisma tiene $2n$ vértices, un número par: no puede tener 15. Aristas $= 3n = 15 \Rightarrow n = 5$ : sí, es un prisma pentagonal.

Cuerpo	Caras	Vértices	Aristas
Prisma triangular
Pirámide cuadrangular
Prisma octogonal
Pirámide hexagonal