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Matemáticas 3.º ESO · Cuerpos compuestos

Problemas de llenado, objetos sumergidos y comparación de envases

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de capacidad y tiempo de llenado, calcular el volumen de un objeto por el agua que desplaza y comparar envases por su capacidad, su precio por litro o el material que necesitan.

Explicación

Problemas de llenado

La capacidad de un recipiente es el volumen de su interior: recuerda que $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{L}$ y $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{L}$ .

Si un grifo o una bomba echa un caudal constante (litros por segundo, litros por minuto…): $\text{tiempo de llenado} = \frac{\text{volumen}}{\text{caudal}}$

Objetos sumergidos

Cuando metemos un objeto en un recipiente con agua y queda totalmente sumergido, el agua sube. El volumen del objeto es el volumen del agua que «sube»: $V_{\text{objeto}} = A_{\text{base del recipiente}} \cdot \Delta h$ donde $\Delta h$ es lo que sube el nivel. Así se mide el volumen de objetos irregulares, como una piedra.

Comparar envases

Para saber cuál sale más barato, calcula el precio por litro: precio : capacidad (en L).
Para saber cuál gasta menos material, compara sus áreas (con la misma capacidad).

Puntos clave

Tiempo de llenado = volumen : caudal (con las mismas unidades).
El volumen de un objeto sumergido es el área de la base del recipiente por lo que sube el agua.
Precio por litro = precio : litros; gana el menor.
Con la misma capacidad, el envase más «redondeado» suele necesitar menos material.

Errores frecuentes

ErrorDividir litros entre un caudal en $\text{m}^3$ /h (unidades distintas).
Cómo corregirloPasa el volumen a la unidad del caudal antes de dividir.
ErrorUsar la altura total del agua en lugar de lo que ha subido.
Cómo corregirloResta: $\Delta h = h_{\text{después}} - h_{\text{antes}}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuánto ocupa una piedra? experimental (agua desplazada)
En un vaso cilíndrico de 8 cm de diámetro interior hay agua. Al meter una piedra, que queda totalmente sumergida, el nivel sube de 6 cm a 7,5 cm. ¿Qué volumen tiene la piedra? Redondea a centésimas.

Resolución
El volumen de la piedra es el del cilindro de agua que ha «subido»: radio 4 cm y altura $\Delta h = 7{,}5 - 6 = 1{,}5$ cm. $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 1{,}5 = 24\pi \approx 75{,}40\ \text{cm}^3$
Ejemplo 2. Llenar una piscina municipal situación real (tiempo de llenado)
Una piscina municipal de Madrid mide 25 m de largo, 12,5 m de ancho y 1,8 m de profundidad media. Se llena con una toma de agua de 10 litros por segundo. ¿Cuánto tarda en llenarse?

Resolución
1. Volumen: $V = 25 \cdot 12{,}5 \cdot 1{,}8 = 562{,}5\ \text{m}^3 = 562\,500\ \text{L}$ .
2. Tiempo: $t = \dfrac{562\,500\ \text{L}}{10\ \text{L/s}} = 56\,250\ \text{s}$ .
3. En horas: $56\,250 : 3600 = 15{,}625\ \text{h}$ , es decir, 15 h 37 min 30 s.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Cuántos vasos cilíndricos de 7 cm de diámetro se pueden llenar del todo, hasta 9 cm de altura, con una jarra de 2 L?

Ver solución
5 vasos (cada uno ≈ 346,36 cm³)
Un vaso: $\pi \cdot 3{,}5^2 \cdot 9 = 110{,}25\pi \approx 346{,}36\ \text{cm}^3$ . $2000 : 346{,}36 \approx 5{,}77$ : se llenan 5 vasos del todo.
2. Media
En un vaso cilíndrico de 3 cm de radio con agua se echan 12 canicas esféricas de 1 cm de radio, que quedan cubiertas. ¿Cuánto sube el agua? Recuerda: $V_{\text{esfera}} = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .

Ver solución
16/9 ≈ 1,78 cm
Volumen de las canicas: $12 \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = 16\pi\ \text{cm}^3$ . $\pi \cdot 3^2 \cdot \Delta h = 16\pi \Rightarrow \Delta h = \dfrac{16}{9} \approx 1{,}78$ cm.
3. Media
Un helado se vende en tarrina cilíndrica de 10 cm de diámetro y 8 cm de altura por 4,50 €, o en bloque con forma de ortoedro de 15 cm × 9 cm × 6 cm por 5,20 €. ¿Cuál sale más barato por litro?

Ver solución
El bloque: ≈ 6,42 €/L frente a ≈ 7,16 €/L
Tarrina: $\pi \cdot 5^2 \cdot 8 = 200\pi \approx 628{,}32\ \text{cm}^3 \approx 0{,}628\ \text{L}$ ; $4{,}50 : 0{,}628 \approx 7{,}16$ €/L. Bloque: $15 \cdot 9 \cdot 6 = 810\ \text{cm}^3 = 0{,}81\ \text{L}$ ; $5{,}20 : 0{,}81 \approx 6{,}42$ €/L. Sale más barato el bloque.

Para practicar más

1. Fácil
Un bidón cilíndrico para regar un huerto mide 60 cm de diámetro y 90 cm de altura. Se llena con una manguera que echa 12 L por minuto. ¿Cuánto tarda en llenarse? Da el resultado en minutos y segundos.

Ver solución
≈ 254,47 L; unos 21 min 12 s
$V = \pi \cdot 30^2 \cdot 90 = 81\,000\pi\ \text{cm}^3 \approx 254\,469\ \text{cm}^3 \approx 254{,}47\ \text{L}$ . $t = 254{,}47 : 12 \approx 21{,}206$ min; $0{,}206 \cdot 60 \approx 12$ s → unos 21 min 12 s.
2. Media
En un acuario cuya base mide 50 cm × 30 cm se meten unas piedras decorativas y el agua sube 1,2 cm. ¿Qué volumen ocupan las piedras? Exprésalo en litros.

Ver solución
1800 cm³ = 1,8 L
$V = 50 \cdot 30 \cdot 1{,}2 = 1800\ \text{cm}^3 = 1{,}8\ \text{L}$ .
3. Difícil
Se quieren fabricar envases de 1 L. Compara la chapa que necesita una lata cilíndrica de 5 cm de radio con la de una caja cúbica de 10 cm de arista. ¿Cuál gasta menos material? Redondea a centésimas.

Ver solución
Cilindro ≈ 557,08 cm² < cubo 600 cm²
Cubo: $10^3 = 1000\ \text{cm}^3 = 1$ L. Área: $6 \cdot 10^2 = 600\ \text{cm}^2$ . Cilindro: $\pi \cdot 25 \cdot h = 1000 \Rightarrow h = \dfrac{40}{\pi} \approx 12{,}73$ cm. Área: $2\pi \cdot 25 + 2\pi \cdot 5 \cdot \dfrac{40}{\pi} = 50\pi + 400 \approx 557{,}08\ \text{cm}^2$ . La lata cilíndrica gasta menos chapa.