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Explicación

La traslación con coordenadas

Si trasladamos con el vector $\vec{u} = (a, b)$ , a cada coordenada se le suma la componente correspondiente: $P(x, y) \longrightarrow P'(x + a,\ y + b)$

Con esta regla se resuelven tres tipos de preguntas:

Imagen: sumamos el vector. Con $\vec{u} = (3, -2)$ , el punto $P(1, 4)$ va a $P'(4, 2)$ .
Vector: restamos imagen menos punto, $\vec{u} = \overrightarrow{PP'} = (x' - x,\ y' - y)$ .
Punto de partida: a la imagen le restamos el vector, $P = (x' - a,\ y' - b)$ . Es lo mismo que trasladar $P'$ con el vector opuesto $-\vec{u} = (-a, -b)$ .

¿Cuánto se desplaza cada punto? El módulo

En una traslación todos los puntos recorren la misma distancia: el módulo del vector. Las componentes son los catetos de un triángulo rectángulo y el vector es la hipotenusa, así que, por el teorema de Pitágoras: $|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ Por ejemplo, $|(6, -8)| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .

Dos traslaciones seguidas

Si aplicamos la traslación de vector $\vec{u} = (a, b)$ y después la de vector $\vec{v} = (c, d)$ , el resultado es una sola traslación cuyo vector es la suma: $\vec{u} + \vec{v} = (a + c,\ b + d)$ Esta operación se llama composición de traslaciones. El orden no importa: $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ . Si el segundo vector es el opuesto del primero, la suma es $(0, 0)$ y la figura vuelve a su sitio.

Puntos clave

Traslación de vector $\vec{u} = (a, b)$ : $P(x, y) \to P'(x + a,\ y + b)$ .
Vector de la traslación: imagen menos punto, $(x' - x,\ y' - y)$ . Punto de partida: imagen menos vector.
Cada punto se desplaza $|\vec{u}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (teorema de Pitágoras).
Dos traslaciones seguidas equivalen a una sola de vector $\vec{u} + \vec{v}$ ; el orden no importa.
El vector opuesto $-\vec{u} = (-a, -b)$ deshace la traslación.

Errores frecuentes

ErrorPara hallar el punto de partida, sumar el vector en lugar de restarlo.
Cómo corregirloComprueba al final: si trasladas el punto que has obtenido, tienes que llegar a la imagen que te daban.
ErrorCalcular el módulo sumando las componentes: $|(3, 4)| = 7$ .
Cómo corregirloEl módulo es la hipotenusa: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . Las componentes son los catetos.
ErrorPensar que en dos traslaciones seguidas la distancia total en línea recta es la suma de los dos módulos.
Cómo corregirloLa traslación total es la de vector $\vec{u} + \vec{v}$ ; su módulo se calcula con ese vector y, en general, es menor que $|\vec{u}| + |\vec{v}|$ .
ErrorEscribir los signos mal al restar coordenadas negativas: $2 - (-3) = -1$ .
Cómo corregirloRestar un negativo es sumar: $2 - (-3) = 2 + 3 = 5$ . Usa paréntesis al sustituir.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Imagen de un triángulo y desplazamiento numérico (con la regla de las coordenadas)
Aplicamos al triángulo de vértices $A(2, -1)$ , $B(5, 0)$ y $C(3, 2)$ la traslación de vector $\vec{u} = (-4, 3)$ .

a) Calcula los vértices del triángulo imagen.

b) ¿Qué distancia se ha desplazado cada vértice?

Resolución
a) Sumamos $-4$ a la abscisa y $3$ a la ordenada:
- $A(2, -1) \to A'(2 - 4,\ -1 + 3) = A'(-2, 2)$
- $B(5, 0) \to B'(5 - 4,\ 0 + 3) = B'(1, 3)$
- $C(3, 2) \to C'(3 - 4,\ 2 + 3) = C'(-1, 5)$
b) Todos los vértices se desplazan el módulo del vector: $|\vec{u}| = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ unidades}$ En la gráfica se ve que los dos triángulos son iguales y que el vector $\overrightarrow{AA'}$ va 4 cuadros a la izquierda y 3 hacia arriba.
Ejemplo 2. Un dron de reparto situación real (composición de traslaciones)
Un dron de reparto vuela sobre un barrio de Madrid. En el plano, cada unidad son 100 m; el eje $x$ apunta al este y el eje $y$ al norte. Sale del almacén, en el origen, y hace dos tramos rectos: primero el vector $\vec{u} = (6, 2)$ y después el vector $\vec{v} = (-2, 1)$ .

a) ¿En qué punto termina?

b) ¿Con qué vector habría llegado en un solo tramo? ¿A qué distancia en línea recta del almacén está el punto de entrega?

c) ¿Cuántos metros ha volado en total?

Resolución
a) Tras el primer tramo está en $(0 + 6,\ 0 + 2) = (6, 2)$ ; tras el segundo, en $(6 - 2,\ 2 + 1) = (4, 3)$ .

b) Las dos traslaciones equivalen a una de vector $\vec{u} + \vec{v} = (6 - 2,\ 2 + 1) = (4, 3)$ . Distancia en línea recta: $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ unidades, es decir, 500 m.

c) Sumamos los dos tramos: $|\vec{u}| = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} \approx 6{,}32$ y $|\vec{v}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ . En total, unas $8{,}56$ unidades: unos 856 m (redondeando a las centésimas de unidad). Ha volado más que la distancia en línea recta, porque no ha ido directo.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil

Completa la tabla. En cada fila hay una traslación de vector $\vec{u}$ que lleva el punto al punto imagen.

Punto	Vector $\vec{u}$	Imagen
$P(3, -2)$	$(4, 1)$
$Q(-5, 0)$	$(2, -3)$
$R(1, 1)$		$R'(-2, 6)$
$S$	$(3, -4)$	$S'(0, 0)$

Ver solución

$P'(7, -1)$ ; $Q'(-3, -3)$ ; $\vec{u} = (-3, 5)$ ; $S(-3, 4)$

$P'(3 + 4,\ -2 + 1) = P'(7, -1)$ .
$Q'(-5 + 2,\ 0 - 3) = Q'(-3, -3)$ .
$\vec{u} = (-2 - 1,\ 6 - 1) = (-3, 5)$ .
$S = (0 - 3,\ 0 - (-4)) = (-3, 4)$ . Comprobación: $(-3 + 3,\ 4 - 4) = (0, 0)$ . ✔

2. Media
El triángulo $F'$ de la cuadrícula, de vértices $(0, -3)$ , $(4, -3)$ y $(3, 0)$ , es la imagen de un triángulo $F$ mediante la traslación de vector $\vec{u} = (5, -2)$ . Calcula los vértices de $F$ y dibújalo.

Ver solución
$(-5, -1)$ , $(-1, -1)$ y $(-2, 2)$
Hay que deshacer la traslación: restamos el vector (o trasladamos con $-\vec{u} = (-5, 2)$ ). $(0, -3) \to (-5, -1)$ ; $(4, -3) \to (-1, -1)$ ; $(3, 0) \to (-2, 2)$ . Comprobación con un vértice: $(-5 + 5,\ -1 - 2) = (0, -3)$ . ✔
3. Media
Aplicamos al punto $P(1, 2)$ la traslación de vector $\vec{u} = (3, -1)$ y, a continuación, la de vector $\vec{v} = (-5, 4)$ .

a) Calcula la imagen después de cada traslación.

b) Halla el vector de la traslación que hace lo mismo de una vez y comprueba que lleva $P$ al mismo punto.

c) ¿Cambia el resultado si aplicamos primero $\vec{v}$ y después $\vec{u}$ ?

Ver solución
a) $(4, 1)$ y $(-1, 5)$ . b) $(-2, 3)$ . c) No.
a) $P(1, 2) \to (1 + 3,\ 2 - 1) = (4, 1) \to (4 - 5,\ 1 + 4) = (-1, 5)$ .

b) $\vec{u} + \vec{v} = (3 - 5,\ -1 + 4) = (-2, 3)$ , y $P(1, 2) \to (1 - 2,\ 2 + 3) = (-1, 5)$ . ✔

c) No: $\vec{v} + \vec{u} = (-2, 3)$ también. Pasando por $(1 - 5,\ 2 + 4) = (-4, 6)$ se llega igualmente a $(-1, 5)$ .
4. Difícil
En una obra, una grúa torre lleva un palé de ladrillos desde el punto $(2, 0)$ del suelo hasta el punto $(14, 5)$ de un forjado. Las coordenadas están en metros: $x$ en horizontal y $y$ la altura. El palé no gira durante el trayecto.

a) ¿Cuál es el vector del desplazamiento?

b) ¿Cuánto mide el desplazamiento en línea recta?

c) Una esquina del palé estaba en $(1{,}2;\ 0)$ y otra, en $(1{,}2;\ 0{,}8)$ . ¿Dónde quedan?

Ver solución
a) $(12, 5)$ . b) 13 m. c) $(13{,}2;\ 5)$ y $(13{,}2;\ 5{,}8)$
a) $\vec{u} = (14 - 2,\ 5 - 0) = (12, 5)$ : 12 m en horizontal y 5 m hacia arriba.

b) $|\vec{u}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ m.

c) Como el palé no gira, es una traslación: $(1{,}2 + 12;\ 0 + 5) = (13{,}2;\ 5)$ y $(1{,}2 + 12;\ 0{,}8 + 5) = (13{,}2;\ 5{,}8)$ . Con decimales separamos las coordenadas con punto y coma.

Para practicar más

1. Fácil
Halla las imágenes de los puntos $A(0, 0)$ , $B(-2, 5)$ y $C(4, -1)$ en la traslación de vector $\vec{u} = (-3, -2)$ .

Ver solución
$A'(-3, -2)$ , $B'(-5, 3)$ , $C'(1, -3)$
Sumamos $-3$ a la abscisa y $-2$ a la ordenada: $A'(-3, -2)$ ; $B'(-2 - 3,\ 5 - 2) = B'(-5, 3)$ ; $C'(4 - 3,\ -1 - 2) = C'(1, -3)$ .
2. Media
Una traslación lleva el punto $M(4, -1)$ al punto $M'(-1, 1)$ .

a) Halla su vector y su módulo (redondea a las centésimas).

b) Halla la imagen de $N(2, 3)$ .

c) ¿Qué punto tiene por imagen el origen $(0, 0)$ ?

Ver solución
a) $(-5, 2)$ ; $\sqrt{29} \approx 5{,}39$ . b) $(-3, 5)$ . c) $(5, -2)$
a) $\vec{u} = (-1 - 4,\ 1 - (-1)) = (-5, 2)$ ; $|\vec{u}| = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$ .

b) $N'(2 - 5,\ 3 + 2) = N'(-3, 5)$ .

c) Restamos el vector a la imagen: $(0 + 5,\ 0 - 2) = (5, -2)$ . Comprobación: $(5 - 5,\ -2 + 2) = (0, 0)$ . ✔
3. Media
Una piragua da un paseo por el lago de la Casa de Campo. En el plano, cada unidad son 10 m. Desde el embarcadero hace tres tramos rectos: $\vec{a} = (4, 3)$ , $\vec{b} = (-2, 5)$ y $\vec{c} = (-2, -8)$ .

a) ¿Dónde termina el paseo? ¿Qué traslación equivale a los tres tramos?

b) ¿Cuántos metros ha remado? Redondea al metro.

Ver solución
a) En el embarcadero; vector $(0, 0)$ . b) Unos 186 m
a) $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (4 - 2 - 2,\ 3 + 5 - 8) = (0, 0)$ : vuelve al embarcadero. La suma es el vector nulo: es como no moverse.

b) $|\vec{a}| = \sqrt{16 + 9} = 5$ ; $|\vec{b}| = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}39$ ; $|\vec{c}| = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68} \approx 8{,}25$ . En total, $\approx 18{,}63$ unidades $\approx 186$ m.
4. Difícil
Aplicamos la traslación de vector $\vec{u} = (4, -1)$ y después otra de vector $\vec{v}$ , y el resultado es la traslación de vector $\vec{w} = (1, 2)$ .

a) Halla $\vec{v}$ .

b) ¿Qué vector tiene la traslación que devuelve cada punto a su posición inicial después de aplicar $\vec{w}$ ?

Ver solución
a) $\vec{v} = (-3, 3)$ . b) $(-1, -2)$
a) Tiene que cumplirse $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$ : $(4 + v_1,\ -1 + v_2) = (1, 2)$ , de donde $v_1 = 1 - 4 = -3$ y $v_2 = 2 + 1 = 3$ . Comprobación: $(4 - 3,\ -1 + 3) = (1, 2)$ . ✔

b) El vector opuesto de $\vec{w}$ : $-\vec{w} = (-1, -2)$ .

Traslaciones con coordenadas