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Explicación

Los movimientos en el plano

Un movimiento (o isometría) es una transformación que cambia una figura de posición sin cambiar su forma ni su tamaño. La figura que se obtiene, la imagen $F'$ , es igual que la figura original $F$ . Los movimientos del plano son las traslaciones, los giros y las simetrías. Empezamos por las traslaciones, y para ellas necesitamos los vectores.

Vectores

Un vector fijo $\overrightarrow{AB}$ es un segmento orientado: va del origen $A$ al extremo $B$ (donde se dibuja la flecha). Tiene:

módulo: su longitud;
dirección: la de la recta que lo contiene (o cualquier paralela);
sentido: de $A$ hacia $B$ .

En unos ejes con cuadrícula, sus componentes son lo que avanzamos en horizontal y en vertical para ir de $A$ a $B$ (extremo menos origen): $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)$

Por ejemplo, con $A(1, 2)$ y $B(5, 3)$ : $\overrightarrow{AB} = (5 - 1,\ 3 - 2) = (4, 1)$ , es decir, 4 cuadros a la derecha y 1 hacia arriba. Una componente negativa significa izquierda (la primera) o abajo (la segunda).

Todos los vectores con el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido tienen las mismas componentes. Los representamos con un único vector libre, por ejemplo $\vec{u} = (4, 1)$ , que podemos dibujar con el origen donde queramos.

Traslación de vector $\vec{u}$

La traslación de vector $\vec{u}$ lleva cada punto $P$ a otro punto $P'$ de modo que $\overrightarrow{PP'} = \vec{u}$ : todos los puntos se desplazan lo mismo, en la misma dirección y en el mismo sentido.

Para trasladar una figura en la cuadrícula:

Traslada cada vértice contando cuadros: primero lo que indica la componente horizontal y después la vertical.
Une los vértices imagen en el mismo orden que en la figura original.

Propiedades. $F'$ es igual que $F$ ; cada lado de $F'$ es paralelo e igual a su lado correspondiente de $F$ ; y la figura no se da la vuelta (conserva la orientación).

¿Qué vector es? Para saber qué traslación lleva $F$ a $F'$ basta un punto y su imagen: $\vec{u} = \overrightarrow{AA'}$ . Con un segundo vértice comprobamos que da lo mismo.

Puntos clave

Un movimiento cambia la posición de una figura sin cambiar su forma ni su tamaño: traslaciones, giros y simetrías.
Componentes de un vector: extremo menos origen, $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A,\ y_B - y_A)$ . Negativo = izquierda o abajo.
En la traslación de vector $\vec{u}$ cada punto se mueve exactamente $\vec{u}$ : $\overrightarrow{PP'} = \vec{u}$ .
El vector de una traslación se halla con un punto y su imagen: $\vec{u} = \overrightarrow{AA'}$ .
La traslación conserva la forma, el tamaño y la orientación, y cada lado imagen es paralelo al original.

Errores frecuentes

ErrorRestar al revés y calcular $\overrightarrow{AB}$ como origen menos extremo.
Cómo corregirloSiempre extremo menos origen. Comprueba en la cuadrícula: si $B$ está a la derecha de $A$ , la primera componente tiene que salir positiva.
ErrorCambiar el orden de las componentes: subir lo que había que avanzar en horizontal.
Cómo corregirloLa primera componente es horizontal (eje $x$ ) y la segunda, vertical (eje $y$ ), igual que en las coordenadas de un punto.
ErrorTrasladar solo un vértice y dibujar el resto de la figura «a ojo».
Cómo corregirloTraslada todos los vértices con el mismo vector y comprueba que cada lado de $F'$ es paralelo e igual a su lado en $F$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Trasladar un triángulo gráfico (en la cuadrícula)
Traslada el triángulo $F$ de vértices $A(-7, -3)$ , $B(-4, -3)$ y $C(-4, 1)$ con el vector $\vec{u} = (6, 2)$ . En la gráfica están $F$ , su imagen $F'$ y el vector $\overrightarrow{AA'}$ .

Resolución
El vector $\vec{u} = (6, 2)$ indica 6 cuadros a la derecha y 2 hacia arriba. Movemos cada vértice:
- $A(-7, -3) \to A'(-1, -1)$
- $B(-4, -3) \to B'(2, -1)$
- $C(-4, 1) \to C'(2, 3)$
Unimos $A'$ , $B'$ y $C'$ . Comprobación: $AB$ y $A'B'$ son horizontales y miden 3; $BC$ y $B'C'$ son verticales y miden 4. El triángulo no se ha dado la vuelta: el ángulo recto sigue abajo a la derecha.
Ejemplo 2. El salto del caballo de ajedrez situación real (hallar el vector)
En el tablero de ajedrez numeramos las columnas de la a a la h con los números del 1 al 8, y las filas del 1 al 8. Así, la casilla b1 es el punto $(2, 1)$ . Un caballo salta de b1 a c3.

a) ¿Qué vector describe el salto?

b) Desde c3, el caballo hace exactamente el mismo movimiento. ¿A qué casilla llega?

c) ¿Qué vector lo devuelve de c3 a b1?

Resolución
a) b1 $= (2, 1)$ y c3 $= (3, 3)$ . Extremo menos origen: $\vec{u} = (3 - 2,\ 3 - 1) = (1, 2)$ : una columna a la derecha y dos filas hacia arriba.

b) Repetimos el vector: $(3 + 1,\ 3 + 2) = (4, 5)$ , que es la casilla d5.

c) Para volver hay que hacer el camino contrario: $\overrightarrow{c3\,b1} = (2 - 3,\ 1 - 3) = (-1, -2)$ . Es el vector opuesto: mismo módulo y dirección, sentido contrario.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula las componentes de los vectores $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{CD}$ y $\overrightarrow{EG}$ y explica qué movimiento indican en la cuadrícula:

a) $A(1, 1)$ , $B(4, 3)$

b) $C(2, 5)$ , $D(-1, 5)$

c) $E(0, 4)$ , $G(-2, -1)$

Ver solución
a) $(3, 2)$ . b) $(-3, 0)$ . c) $(-2, -5)$ .
Extremo menos origen: a) $\overrightarrow{AB} = (4 - 1,\ 3 - 1) = (3, 2)$ : 3 a la derecha y 2 arriba. b) $\overrightarrow{CD} = (-1 - 2,\ 5 - 5) = (-3, 0)$ : 3 a la izquierda (vector horizontal). c) $\overrightarrow{EG} = (-2 - 0,\ -1 - 4) = (-2, -5)$ : 2 a la izquierda y 5 abajo.
2. Fácil
Traslada el cuadrilátero $ABCD$ de vértices $A(2, -3)$ , $B(5, -3)$ , $C(6, -1)$ y $D(3, -1)$ con el vector $\vec{v} = (-5, 3)$ . Dibuja la imagen y escribe las coordenadas de sus vértices.

Ver solución
$A'(-3, 0)$ , $B'(0, 0)$ , $C'(1, 2)$ , $D'(-2, 2)$
$\vec{v} = (-5, 3)$ : 5 cuadros a la izquierda y 3 hacia arriba. $A(2, -3) \to A'(-3, 0)$ ; $B(5, -3) \to B'(0, 0)$ ; $C(6, -1) \to C'(1, 2)$ ; $D(3, -1) \to D'(-2, 2)$ . Es un paralelogramo igual al original y con los lados paralelos a los de $ABCD$ .
3. Media
La casita $F'$ es la imagen de la casita $F$ mediante una traslación. Los vértices de $F$ son $(-7, -3)$ , $(-5, -3)$ , $(-5, -1)$ , $(-6, 0)$ y $(-7, -1)$ .

a) ¿Cuál es el vector de la traslación? Compruébalo con dos vértices.

b) ¿Qué vector llevaría $F'$ a $F$ ?

Ver solución
a) $\vec{u} = (8, 4)$ . b) $(-8, -4)$
a) El vértice $(-7, -3)$ va a $(1, 1)$ : $\vec{u} = (1 - (-7),\ 1 - (-3)) = (8, 4)$ . Con el tejado: $(-6, 0) \to (2, 4)$ , y $(2 - (-6),\ 4 - 0) = (8, 4)$ . ✔

b) El vector opuesto, $(-8, -4)$ : 8 a la izquierda y 4 abajo.
4. Media
En el plano de un aula (cada cuadro es 1 m) una mesa rectangular ocupa el rectángulo de vértices $(1, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ y $(1, 2)$ . Se desliza sin girarla hasta que la esquina $(1, 1)$ queda en el punto $(4, 3)$ .

a) ¿Cuál es el vector de la traslación?

b) ¿Dónde quedan las otras tres esquinas? Dibuja la mesa en su nueva posición.

Ver solución
a) $(3, 2)$ . b) $(6, 3)$ , $(6, 4)$ y $(4, 4)$
a) $\vec{u} = (4 - 1,\ 3 - 1) = (3, 2)$ : 3 m en horizontal y 2 m en vertical.

b) Sumamos 3 y 2 a cada esquina: $(3, 1) \to (6, 3)$ ; $(3, 2) \to (6, 4)$ ; $(1, 2) \to (4, 4)$ . La mesa sigue midiendo 2 m × 1 m.

Para practicar más

1. Fácil
a) Dibuja el vector $\vec{w} = (-3, 4)$ con origen en el punto $A(2, -3)$ . ¿En qué punto está su extremo?

b) Dibuja el mismo vector con origen en $O(0, 0)$ . ¿Dónde acaba ahora?

Ver solución
a) $(-1, 1)$ . b) $(-3, 4)$
a) Desde $A(2, -3)$ : 3 cuadros a la izquierda y 4 hacia arriba: $(2 - 3,\ -3 + 4) = (-1, 1)$ .

b) Desde el origen el extremo tiene las mismas coordenadas que las componentes del vector: $(-3, 4)$ . Son dos representantes del mismo vector libre.
2. Fácil
Traslada el triángulo de vértices $A(-6, 1)$ , $B(-2, 1)$ y $C(-4, 4)$ con el vector $\vec{v} = (4, -2)$ . Escribe las coordenadas de $A'$ , $B'$ y $C'$ .

Ver solución
$A'(-2, -1)$ , $B'(2, -1)$ , $C'(0, 2)$
$\vec{v} = (4, -2)$ : 4 cuadros a la derecha y 2 hacia abajo. $A(-6, 1) \to A'(-2, -1)$ ; $B(-2, 1) \to B'(2, -1)$ ; $C(-4, 4) \to C'(0, 2)$ .
3. Media
En la gráfica hay cuatro figuras con forma de L. ¿Cuáles de las figuras $G$ , $H$ y $J$ se obtienen de $F$ mediante una traslación? Para la que lo sea, da el vector; para las otras, explica por qué no.
Ver solución
Solo $G$ , con vector $(7, 1)$ . $H$ está dada la vuelta y $J$ está girada.
- $G$ : el vértice $(-7, 1)$ de $F$ va a $(0, 2)$ , y $(0 - (-7),\ 2 - 1) = (7, 1)$ . Comprobamos con otro: $(-4, 1) \to (3, 2)$ , también $(7, 1)$ . ✔ Es una traslación.
- $H$ : es como $F$ vista en un espejo horizontal (la L está «boca abajo»); la orientación ha cambiado, así que no es una traslación.
- $J$ : la L está dada media vuelta (girada 180°); sus lados son paralelos a los de $F$ , pero los vértices no se mueven todos con el mismo vector: $(-7, 1) \to (7, -1)$ es $(14, -2)$ y $(-4, 1) \to (4, -1)$ es $(8, -2)$ . No es una traslación.
4. Difícil
Una traslación lleva el punto $A(-2, 3)$ al punto $A'(4, 1)$ .

a) Halla el vector de la traslación.

b) Halla la imagen del segmento $BC$ , con $B(0, -3)$ y $C(1, 0)$ .

c) ¿Qué movimiento horizontal y vertical lleva $B$ a $C$ ? ¿Y $B'$ a $C'$ ? ¿Qué te dice eso de los segmentos $BC$ y $B'C'$ ?

Ver solución
a) $(6, -2)$ . b) $B'(6, -5)$ , $C'(7, -2)$ . c) Los dos, $(1, 3)$ : son paralelos e iguales.
a) $\vec{u} = \overrightarrow{AA'} = (4 - (-2),\ 1 - 3) = (6, -2)$ .

b) $B(0, -3) \to B'(6, -5)$ ; $C(1, 0) \to C'(7, -2)$ .

c) $\overrightarrow{BC} = (1, 3)$ y $\overrightarrow{B'C'} = (7 - 6,\ -2 - (-5)) = (1, 3)$ . Al ser el mismo vector, los segmentos tienen la misma longitud, la misma dirección (son paralelos) y el mismo sentido: la traslación no deforma la figura.

Vectores y traslaciones en la cuadrícula

Explicación

Los movimientos en el plano

Vectores

Traslación de vector $\vec{u}$

Puntos clave

Errores frecuentes

Ejemplos resueltos

Ejercicios

Para practicar más

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Los movimientos en el plano

Vectores

Traslación de vector u⃗\vec{u}u

Puntos clave

Errores frecuentes

Ejemplos resueltos

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Traslación de vector $\vec{u}$