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Explicación

El giro

Un giro de centro $O$ y ángulo $\alpha$ lleva cada punto $P$ a otro punto $P'$ de modo que:

$P'$ está a la misma distancia del centro que $P$ : $OP' = OP$ ;
el ángulo $\widehat{POP'}$ mide $\alpha$ .

Sentido del giro. Si el ángulo es positivo, se gira en sentido contrario a las agujas del reloj (antihorario); si es negativo, en el sentido de las agujas del reloj (horario). Por eso un giro de $-90^\circ$ es lo mismo que uno de $270^\circ$ , y un giro de $360^\circ$ deja todo como estaba. El centro es el único punto que no se mueve.

Girar en la cuadrícula: la regla de la escuadra

Para girar un punto $P$ alrededor de $O$ , mira cómo se va de $O$ a $P$ : $a$ cuadros en horizontal y $b$ en vertical, es decir, $\overrightarrow{OP} = (a, b)$ . El camino de $O$ a $P'$ es:

Giro	De $O$ a $P'$
$90^\circ$	$(-b,\ a)$
$180^\circ$	$(-a,\ -b)$
$270^\circ$ (o $-90^\circ$ )	$(b,\ -a)$

Es como girar una escuadra: los dos catetos se intercambian y uno cambia de signo. Por ejemplo, con $O(0, 0)$ y $P(3, 1)$ , el giro de $90^\circ$ da $P'(-1, 3)$ ; el de $180^\circ$ , $P'(-3, -1)$ , y el de $270^\circ$ , $P'(1, -3)$ .

Para girar una figura, gira cada vértice y únelos en el mismo orden.

Propiedades. La figura girada es igual que la original y, como en la traslación, no se da la vuelta (conserva la orientación). En el giro de $180^\circ$ cada lado queda paralelo al original; en el de $90^\circ$ , perpendicular.

Puntos clave

Un giro queda determinado por su centro $O$ y su ángulo $\alpha$ (con signo).
Ángulo positivo: contrario a las agujas del reloj. Negativo: como las agujas. $-90^\circ$ equivale a $270^\circ$ .
Cada punto se mantiene a la misma distancia del centro: $OP' = OP$ .
Regla de la escuadra: si $\overrightarrow{OP} = (a, b)$ , con $90^\circ$ se llega a $(-b, a)$ ; con $180^\circ$ , a $(-a, -b)$ ; con $270^\circ$ , a $(b, -a)$ .
El giro conserva la forma, el tamaño y la orientación.

Errores frecuentes

ErrorGirar en el sentido equivocado (horario cuando el ángulo es positivo).
Cómo corregirloPositivo = contrario a las agujas del reloj. Antes de calcular, señala con el dedo hacia dónde debe moverse la figura.
ErrorAplicar la regla de la escuadra a las coordenadas del punto cuando el centro no es el origen.
Cómo corregirloLa regla se aplica al camino de $O$ a $P$ , no a las coordenadas de $P$ . Cuenta primero cuántos cuadros hay del centro al punto.
ErrorGirar solo un vértice y dibujar la figura «a ojo».
Cómo corregirloGira todos los vértices y comprueba que los lados miden lo mismo que en la figura original.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El banderín gráfico (en la cuadrícula)

El banderín $F$ tiene vértices $(1, 0)$ , $(1, 4)$ , $(3, 3)$ y $(1, 2)$ . Gíralo $90^\circ$ y $180^\circ$ alrededor del origen $O(0, 0)$ . En la gráfica, $F'$ es el giro de $90^\circ$ y $F''$ el de $180^\circ$ .

Resolución

Aplicamos la regla de la escuadra a cada vértice (como el centro es el origen, el camino de $O$ a cada punto coincide con sus coordenadas):

Vértice	$90^\circ$ : $(-b, a)$	$180^\circ$ : $(-a, -b)$
$(1, 0)$	$(0, 1)$	$(-1, 0)$
$(1, 4)$	$(-4, 1)$	$(-1, -4)$
$(3, 3)$	$(-3, 3)$	$(-3, -3)$
$(1, 2)$	$(-2, 1)$	$(-1, -2)$

Con $90^\circ$ el mástil, que era vertical, queda horizontal y apunta a la izquierda; con $180^\circ$ el banderín queda «cabeza abajo», con el mástil otra vez vertical.

Ejemplo 2. La aguja del minutero situación real (sentido del giro)
Colocamos un reloj con el centro en el origen. A las 10:00 la punta del minutero está en el punto $(0, 4)$ .

a) ¿Qué giro da el minutero de las 10:00 a las 10:15? ¿Dónde está la punta a las 10:15?

b) ¿Dónde está la punta a las 10:30 y a las 10:45?

c) El giro de las 10:00 a las 10:45, ¿a qué giro de ángulo positivo equivale?

Resolución
a) En 15 min el minutero recorre un cuarto de vuelta en el sentido de las agujas del reloj: un giro de $-90^\circ$ (o $270^\circ$ ). El camino del centro a la punta es $(a, b) = (0, 4)$ y con $270^\circ$ pasa a $(b, -a) = (4, 0)$ : la punta señala las 3.

b) A las 10:30 ha girado $-180^\circ$ : $(-a, -b) = (0, -4)$ . A las 10:45, $-270^\circ$ : la punta está en $(-4, 0)$ .

c) Tres cuartos de vuelta en sentido horario equivalen a un cuarto de vuelta en sentido antihorario: $-270^\circ + 360^\circ = 90^\circ$ . Y en efecto, el giro de $90^\circ$ lleva $(0, 4)$ a $(-b, a) = (-4, 0)$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Con centro en el origen $O(0, 0)$ :

a) Gira $180^\circ$ los puntos $A(2, 3)$ , $B(-4, 1)$ y $C(0, -2)$ .

b) Gira $90^\circ$ el punto $A(2, 3)$ .

Ver solución
a) $A'(-2, -3)$ , $B'(4, -1)$ , $C'(0, 2)$ . b) $(-3, 2)$
a) Con $180^\circ$ , $(a, b) \to (-a, -b)$ : $A'(-2, -3)$ , $B'(4, -1)$ , $C'(0, 2)$ .

b) Con $90^\circ$ , $(a, b) \to (-b, a)$ : $(2, 3) \to (-3, 2)$ . Comprobación: $OA$ y $OA'$ miden $\sqrt{13}$ los dos.
2. Media
Gira $90^\circ$ el triángulo de vértices $A(2, 1)$ , $B(5, 1)$ y $C(2, 3)$ alrededor del punto $P(1, -1)$ . Dibuja la imagen y escribe sus vértices.
Ver solución
$A'(-1, 0)$ , $B'(-1, 3)$ , $C'(-3, 0)$
Contamos el camino desde $P$ hasta cada vértice y lo giramos con $(a, b) \to (-b, a)$ :
- $A$ : de $P$ a $A$ hay $(1, 2)$ , que pasa a $(-2, 1)$ ; desde $P$ : $A'(1 - 2,\ -1 + 1) = A'(-1, 0)$ .
- $B$ : $(4, 2) \to (-2, 4)$ ; $B'(-1, 3)$ .
- $C$ : $(1, 4) \to (-4, 1)$ ; $C'(-3, 0)$ . El lado $AB$ , que era horizontal, pasa a ser vertical ( $A'B'$ ).
3. Media
La figura $F'$ se ha obtenido girando la figura $F$ alrededor del origen. Los vértices de $F$ son $(1, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(2, 2)$ , $(2, 4)$ y $(1, 4)$ . ¿Qué ángulo tiene el giro? Da un ángulo positivo y uno negativo. Comprueba tu respuesta con un vértice.

Ver solución
$270^\circ$ o $-90^\circ$
$F$ está en el primer cuadrante y $F'$ en el cuarto: ha girado un cuarto de vuelta en el sentido de las agujas del reloj, es decir, $-90^\circ$ , que equivale a $270^\circ$ . Comprobación: con $270^\circ$ , $(a, b) \to (b, -a)$ ; el vértice $(3, 1)$ va a $(1, -3)$ y el vértice $(1, 4)$ va a $(4, -1)$ , que son vértices de $F'$ . ✔
4. Media
La barrera de un aparcamiento mide 6 m. En el plano (unidades en metros), el eje de giro está en $(0, 1)$ y, cuando la barrera está bajada, su extremo está en $(6, 1)$ . Para dejar pasar a un coche sube girando $90^\circ$ .

a) ¿Dónde queda el extremo de la barrera?

b) ¿A qué altura sobre el suelo ( $y = 0$ ) está el extremo?

c) ¿Qué giro la vuelve a bajar?

Ver solución
a) $(0, 7)$ . b) 7 m. c) $-90^\circ$ con el mismo centro
a) Del centro al extremo hay $(6, 0)$ ; con $90^\circ$ pasa a $(0, 6)$ . Desde $(0, 1)$ : $(0, 1 + 6) = (0, 7)$ .

b) A 7 m del suelo.

c) El giro contrario: centro $(0, 1)$ y ángulo $-90^\circ$ (o $270^\circ$ ).

Para practicar más

1. Fácil
Gira $90^\circ$ alrededor del origen los puntos $A(3, 0)$ , $B(2, -4)$ y $C(-1, -3)$ .

Ver solución
$A'(0, 3)$ , $B'(4, 2)$ , $C'(3, -1)$
Con $90^\circ$ , $(a, b) \to (-b, a)$ : $(3, 0) \to (0, 3)$ ; $(2, -4) \to (4, 2)$ ; $(-1, -3) \to (3, -1)$ .
2. Media
Gira $180^\circ$ el trapecio de vértices $(1, 2)$ , $(4, 2)$ , $(4, 4)$ y $(2, 4)$ alrededor del punto $M(0, 1)$ . Dibuja la imagen y escribe sus vértices.
Ver solución
$(-1, 0)$ , $(-4, 0)$ , $(-4, -2)$ , $(-2, -2)$
Con $180^\circ$ , el camino desde $M$ cambia de signo: $(a, b) \to (-a, -b)$ .
- $(1, 2)$ : de $M$ hay $(1, 1)$ , pasa a $(-1, -1)$ : $(-1, 0)$ .
- $(4, 2)$ : $(4, 1) \to (-4, -1)$ : $(-4, 0)$ .
- $(4, 4)$ : $(4, 3) \to (-4, -3)$ : $(-4, -2)$ .
- $(2, 4)$ : $(2, 3) \to (-2, -3)$ : $(-2, -2)$ .
3. Media
Gira $-90^\circ$ alrededor del origen el triángulo de vértices $(-5, 1)$ , $(-2, 1)$ y $(-2, 4)$ . Dibújalo y escribe los vértices de la imagen.

Ver solución
$(1, 5)$ , $(1, 2)$ , $(4, 2)$
$-90^\circ$ es lo mismo que $270^\circ$ : $(a, b) \to (b, -a)$ . $(-5, 1) \to (1, 5)$ ; $(-2, 1) \to (1, 2)$ ; $(-2, 4) \to (4, 2)$ . El triángulo pasa del segundo cuadrante al primero girando en el sentido de las agujas del reloj.
4. Difícil
Un giro de $180^\circ$ lleva el punto $A(-3, 2)$ al punto $A'(5, -4)$ .

a) ¿Dónde está el centro del giro? (Piensa en qué posición ocupa el centro en el segmento $AA'$ .)

b) ¿A qué punto lleva ese giro el origen $(0, 0)$ ?

Ver solución
a) $(1, -1)$ . b) $(2, -2)$
a) En un giro de $180^\circ$ , $A$ , el centro y $A'$ están alineados y el centro está a la misma distancia de los dos: es el punto medio de $AA'$ , $\left(\dfrac{-3 + 5}{2},\ \dfrac{2 + (-4)}{2}\right) = (1, -1)$ .

b) Del centro $(1, -1)$ al origen hay $(-1, 1)$ ; con $180^\circ$ pasa a $(1, -1)$ . Desde el centro: $(1 + 1,\ -1 - 1) = (2, -2)$ .

Giros de 90°, 180° y 270° en la cuadrícula