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Matemáticas 3.º ESO · Simetrías axial y central

Recuerda: la simetría axial

Objetivo: Al terminar, sabrás construir en la cuadrícula la figura simétrica de otra respecto de un eje y encontrar los ejes de simetría de figuras, letras y objetos.

Recuerda

La simetría axial

La simetría axial de eje $e$ lleva cada punto $P$ a un punto $P'$ de modo que:

el segmento $PP'$ es perpendicular al eje $e$ , y
$P$ y $P'$ están a la misma distancia del eje, uno a cada lado.

Es decir, el eje es la mediatriz de $PP'$ . Los puntos del eje no se mueven. Funciona como un espejo: la figura simétrica es igual que la original, pero dada la vuelta (lo que estaba a la derecha queda a la izquierda). Por eso se dice que la simetría axial es un movimiento inverso; otros movimientos, como las traslaciones y los giros, no dan la vuelta a la figura y se llaman directos.

En la cuadrícula, con el eje vertical $x = a$ cuenta los cuadros en horizontal desde el punto hasta el eje y cuenta los mismos al otro lado; la ordenada no cambia. Con el eje horizontal $y = b$ , igual pero en vertical; la abscisa no cambia.

Un eje de simetría de una figura es una recta que la divide en dos mitades simétricas: al aplicar la simetría, la figura coincide consigo misma. Por ejemplo, un rectángulo tiene 2 ejes, un cuadrado 4 y una circunferencia infinitos.

Herramientas para comprobarlo: un espejo colocado de canto sobre el eje (lo que ves reflejado es la figura simétrica), doblar el papel por el eje (al trasluz, la figura y su simétrica coinciden) o papel de calco.

Puntos clave

El eje de simetría es la mediatriz del segmento que une cada punto con su simétrico.
Eje vertical $x = a$ : cambia solo la abscisa. Eje horizontal $y = b$ : cambia solo la ordenada.
La simetría axial conserva forma y tamaño, pero da la vuelta a la figura (movimiento inverso).
Eje de simetría de una figura: al aplicar la simetría, la figura coincide consigo misma.

Errores frecuentes

ErrorContar la distancia desde el eje de coordenadas en lugar de desde el eje de simetría.
Cómo corregirloCuenta siempre los cuadros desde el punto hasta el eje $e$ , y los mismos al otro lado de $e$ .
ErrorPensar que la diagonal de un rectángulo es eje de simetría.
Cómo corregirloDobla mentalmente por la diagonal: las dos mitades no encajan. Solo el cuadrado (y el rombo) tienen ejes en las diagonales.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Simétrico de un triángulo con eje vertical gráfico (en la cuadrícula)
Halla el simétrico del triángulo $F$ de vértices $A(-5, -1)$ , $B(-1, 0)$ y $C(-3, 3)$ respecto del eje $e$ de ecuación $x = 1$ .

Resolución
El eje es vertical: la ordenada no cambia y contamos en horizontal hasta $x = 1$ .
- $A(-5, -1)$ está 6 cuadros a la izquierda del eje; su simétrico, 6 a la derecha: $A'(7, -1)$ .
- $B(-1, 0)$ está a 2 cuadros: $B'(3, 0)$ .
- $C(-3, 3)$ está a 4 cuadros: $C'(5, 3)$ .
En la gráfica se ve que $F'$ es igual que $F$ pero dado la vuelta: si recorres $A \to B \to C$ giras en un sentido, y si recorres $A' \to B' \to C'$ , en el contrario.
Ejemplo 2. Ejes de simetría de señales de tráfico situación real (ejes de una figura)
¿Cuántos ejes de simetría tiene la forma de estas señales (sin tener en cuenta el dibujo ni las letras de su interior)?

a) Ceda el paso: triángulo equilátero.

b) Stop: octógono regular.

c) Señal de información: cuadrado.

d) Entrada prohibida: círculo.

Resolución
a) El triángulo equilátero tiene 3 ejes: cada uno va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

b) El octógono regular tiene 8 ejes: 4 que unen vértices opuestos y 4 que unen puntos medios de lados opuestos.

c) El cuadrado tiene 4 ejes: las 2 diagonales y las 2 rectas que unen puntos medios de lados opuestos.

d) El círculo tiene infinitos ejes: cualquier recta que pase por el centro.

Un polígono regular de $n$ lados tiene $n$ ejes de simetría.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Dibuja el simétrico del cuadrilátero de vértices $(2, 2)$ , $(6, 3)$ , $(7, 5)$ y $(3, 4)$ respecto del eje horizontal $y = 1$ y escribe las coordenadas de sus vértices.

Ver solución
$(2, 0)$ , $(6, -1)$ , $(7, -3)$ , $(3, -2)$
El eje es horizontal: la abscisa no cambia y contamos en vertical hasta $y = 1$ . $(2, 2)$ está 1 cuadro por encima, su simétrico 1 por debajo: $(2, 0)$ . $(6, 3)$ : 2 cuadros, $(6, -1)$ . $(7, 5)$ : 4 cuadros, $(7, -3)$ . $(3, 4)$ : 3 cuadros, $(3, -2)$ .
2. Fácil
¿Cuántos ejes de simetría tiene cada figura? a) Rectángulo (no cuadrado). b) Rombo (no cuadrado). c) Triángulo isósceles (no equilátero). d) Hexágono regular. e) Trapecio isósceles. f) Paralelogramo que no es rectángulo ni rombo.

Ver solución
a) 2. b) 2. c) 1. d) 6. e) 1. f) 0
a) Las 2 rectas que unen puntos medios de lados opuestos (las diagonales no). b) Las 2 diagonales. c) La altura sobre el lado desigual. d) 6: 3 por vértices opuestos y 3 por puntos medios de lados opuestos. e) La recta que une los puntos medios de las bases. f) Ninguno (aunque queda igual al girarlo media vuelta).
3. Media
$F'$ es la simétrica de $F$ respecto de un eje vertical. Los vértices de $F$ son $(-7, -2)$ , $(-4, -2)$ , $(-3, 1)$ y $(-6, 2)$ . ¿Cuál es la ecuación del eje? Compruébalo con dos vértices.

Ver solución
$x = -1$
El vértice $(-7, -2)$ va a $(5, -2)$ . El eje pasa por el punto medio: $x = \dfrac{-7 + 5}{2} = -1$ . Con otro vértice: $(-3, 1) \to (1, 1)$ , y $\dfrac{-3 + 1}{2} = -1$ . ✔ El eje es la recta $x = -1$ .

Para practicar más

1. Fácil
Dibuja el simétrico del triángulo de vértices $(0, -3)$ , $(3, -1)$ y $(1, 2)$ respecto del eje $x = -2$ y escribe las coordenadas de sus vértices.

Ver solución
$(-4, -3)$ , $(-7, -1)$ , $(-5, 2)$
Contamos en horizontal hasta $x = -2$ : $(0, -3)$ está a 2 cuadros, va a $(-4, -3)$ ; $(3, -1)$ está a 5, va a $(-7, -1)$ ; $(1, 2)$ está a 3, va a $(-5, 2)$ .
2. Fácil
Escritas en mayúsculas de imprenta sencillas (sin adornos), ¿cuáles de estas letras tienen eje de simetría vertical, cuáles horizontal, cuáles los dos y cuáles ninguno?

A, B, C, D, E, H, I, M, N, O, S, X, Z
Ver solución
Solo vertical: A, M. Solo horizontal: B, C, D, E. Los dos: H, I, O, X. Ninguno: N, S, Z.
Doblamos mentalmente cada letra por una recta vertical y por una horizontal que pasen por su centro:
- Solo vertical: A, M.
- Solo horizontal: B, C, D, E.
- Los dos: H, I, O, X.
- Ninguno: N, S, Z (no tienen eje, aunque coinciden consigo mismas al girarlas media vuelta).
3. Media
La gráfica muestra media figura con forma de flecha; la otra mitad es simétrica respecto del eje $y$ . Los puntos dibujados son $(0, 4)$ , $(3, 1)$ , $(1, 1)$ , $(1, -3)$ y $(0, -3)$ . Completa la figura y escribe las coordenadas de los vértices que faltan.

Ver solución
$(-3, 1)$ , $(-1, 1)$ , $(-1, -3)$
El eje es $x = 0$ : basta cambiar el signo de la abscisa. $(3, 1) \to (-3, 1)$ ; $(1, 1) \to (-1, 1)$ ; $(1, -3) \to (-1, -3)$ . Los puntos $(0, 4)$ y $(0, -3)$ están en el eje y no se mueven. La flecha completa tiene 7 vértices.