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Explicación

Simetría respecto de un punto

La simetría central de centro $O$ lleva cada punto $P$ a un punto $P'$ de modo que $O$ es el punto medio del segmento $PP'$ : $P$ , $O$ y $P'$ están alineados y $OP' = OP$ . El centro es el único punto que no se mueve.

En la cuadrícula. Cuenta cómo se va de $P$ a $O$ , por ejemplo $(a, b)$ , y repite el mismo camino desde $O$ : llegas a $P'$ . Si el centro es el origen, basta cambiar de signo las dos coordenadas: $P(x, y) \to P'(-x, -y)$ .

Para encontrar el centro de una simetría central conocidos un punto y su imagen, calcula el punto medio: $O = \left(\dfrac{x + x'}{2},\ \dfrac{y + y'}{2}\right)$

Simetría central = giro de 180°

Si giras $P$ un ángulo de $180^\circ$ alrededor de $O$ , llegas al mismo $P'$ . Por tanto, la simetría central no da la vuelta a la figura: es un movimiento directo, como los giros. Cada lado de la figura simétrica es paralelo al original, pero «apunta» al revés.

Centro de simetría de una figura

Una figura tiene centro de simetría $O$ si coincide con su simétrica respecto de $O$ (es decir, si queda igual al girarla media vuelta). Por ejemplo:

Todos los paralelogramos (también rectángulos, rombos y cuadrados): el centro es el punto donde se cortan las diagonales.
Los polígonos regulares con un número par de lados y el círculo.
Letras como N, S, Z, H, O, X.

No tienen centro de simetría los triángulos, el pentágono regular ni el trapecio isósceles.

Comparación

	Simetría axial (eje $e$ )	Simetría central (centro $O$ )
¿Qué se mantiene fijo?	Los puntos del eje	Solo el centro
Relación entre $P$ , $P'$	$e$ es la mediatriz de $PP'$	$O$ es el punto medio de $PP'$
¿Da la vuelta a la figura?	Sí (inverso)	No (directo, giro de $180^\circ$ )

Puntos clave

Simetría central de centro $O$ : $O$ es el punto medio de cada segmento $PP'$ .
Con centro en el origen, $P(x, y) \to P'(-x, -y)$ .
La simetría central es un giro de $180^\circ$ : no da la vuelta a la figura.
El centro se halla con el punto medio de un punto y su imagen.
Tienen centro de simetría los paralelogramos, los polígonos regulares de número par de lados y el círculo.

Errores frecuentes

ErrorConfundir la simetría central con la axial y dibujar la figura «en espejo».
Cómo corregirloEn la simetría central la figura queda girada media vuelta, no reflejada. Comprueba que $P$ , $O$ y $P'$ están en línea recta.
ErrorLlevar el punto solo hasta el centro (o pasarse) en lugar de recorrer dos veces el mismo camino.
Cómo corregirloEl camino de $P$ a $O$ se repite exactamente desde $O$ : el centro tiene que quedar en el medio.
ErrorPensar que el triángulo equilátero tiene centro de simetría porque es «muy simétrico».
Cómo corregirloGíralo media vuelta: queda con un vértice hacia abajo, así que no coincide consigo mismo. Tiene ejes, pero no centro.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Simétrico de un triángulo respecto de un punto gráfico (en la cuadrícula)
Halla el simétrico del triángulo $F$ de vértices $A(-4, 2)$ , $B(-1, 4)$ y $C(-2, 0)$ respecto del punto $M(1, 1)$ .

Resolución
Para cada vértice, contamos el camino hasta $M$ y lo repetimos desde $M$ :
- De $A(-4, 2)$ a $M(1, 1)$ : $(5, -1)$ . Desde $M$ : $A'(1 + 5,\ 1 - 1) = A'(6, 0)$ .
- De $B(-1, 4)$ a $M$ : $(2, -3)$ . $B'(3, -2)$ .
- De $C(-2, 0)$ a $M$ : $(3, 1)$ . $C'(4, 2)$ .
Comprobación: el punto medio de $AA'$ es $\left(\dfrac{-4 + 6}{2},\ \dfrac{2 + 0}{2}\right) = (1, 1) = M$ . ✔ En la gráfica se ve que $F'$ es $F$ girado media vuelta: el vértice $B$ , que era el más alto, pasa a ser el más bajo.
Ejemplo 2. Letras y palabras con centro de simetría situación real (reconocer centros)
a) ¿Cuáles de estas letras mayúsculas tienen centro de simetría: A, H, N, S, T, X, Z?

b) Las palabras SOS y OSO, escritas en mayúsculas, se leen igual si giras la hoja media vuelta. ¿Por qué?

Resolución
a) Giramos cada letra media vuelta: quedan iguales H, N, S, X y Z. La A y la T quedan cabeza abajo, así que no tienen centro (sí tienen eje vertical).

b) Al girar media vuelta la palabra entera, cada letra se gira y además el orden se invierte (la primera pasa a ser la última). En SOS y OSO, la S y la O tienen centro de simetría y la palabra es igual leída al revés, así que todo coincide. El centro de simetría es el centro de la letra del medio.
Ejemplo 3. El vértice que falta numérico (centro de un paralelogramo)
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$ son $A(-3, -3)$ , $B(3, -2)$ y $C(5, 3)$ . Usa el centro de simetría para hallar el vértice $D$ .

Resolución
En un paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio, que es el centro de simetría. Ese centro es el punto medio de $AC$ : $M = \left(\dfrac{-3 + 5}{2},\ \dfrac{-3 + 3}{2}\right) = (1, 0)$ $D$ es el simétrico de $B$ respecto de $M$ . De $B$ a $M$ hay $(-2, 2)$ ; desde $M$ : $D(1 - 2,\ 0 + 2) = D(-1, 2)$ .

Comprobación: de $A$ a $B$ hay $(6, 1)$ y de $D$ a $C$ también $(6, 1)$ : los lados $AB$ y $DC$ son paralelos e iguales. ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Halla los simétricos respecto del origen de $A(3, -2)$ , $B(-4, -1)$ , $C(0, 5)$ y $D(-2, 0)$ .

Ver solución
$A'(-3, 2)$ , $B'(4, 1)$ , $C'(0, -5)$ , $D'(2, 0)$
Con centro en el origen cambiamos de signo las dos coordenadas: $A'(-3, 2)$ , $B'(4, 1)$ , $C'(0, -5)$ , $D'(2, 0)$ .
2. Fácil
Dibuja el simétrico del paralelogramo de vértices $(-6, 2)$ , $(-3, 2)$ , $(-2, 4)$ y $(-5, 4)$ respecto del punto $C(-1, 1)$ y escribe sus vértices.
Ver solución
$(4, 0)$ , $(1, 0)$ , $(0, -2)$ , $(3, -2)$
Camino de cada vértice al centro, repetido desde el centro:
- $(-6, 2)$ : hasta $C$ hay $(5, -1)$ ; imagen $(4, 0)$ .
- $(-3, 2)$ : $(2, -1)$ ; imagen $(1, 0)$ .
- $(-2, 4)$ : $(1, -3)$ ; imagen $(0, -2)$ .
- $(-5, 4)$ : $(4, -3)$ ; imagen $(3, -2)$ .
3. Media
Una simetría central lleva el punto $A(-5, 3)$ al punto $A'(3, -1)$ .

a) ¿Cuál es el centro?

b) ¿Cuál es el simétrico de $B(0, 4)$ ?

Ver solución
a) $(-1, 1)$ . b) $(-2, -2)$
a) Punto medio de $AA'$ : $\left(\dfrac{-5 + 3}{2},\ \dfrac{3 - 1}{2}\right) = (-1, 1)$ .

b) De $B(0, 4)$ al centro hay $(-1, -3)$ ; desde el centro: $(-1 - 1,\ 1 - 3) = (-2, -2)$ .
4. Media
Indica si cada figura tiene centro de simetría y cuántos ejes de simetría tiene: cuadrado, triángulo equilátero, rombo, trapecio isósceles, pentágono regular, hexágono regular.
Ver solución
Cuadrado: sí, 4 ejes. Triángulo equilátero: no, 3. Rombo: sí, 2. Trapecio isósceles: no, 1. Pentágono regular: no, 5. Hexágono regular: sí, 6.
Para el centro, imaginamos cada figura girada media vuelta:
- Cuadrado, rombo y hexágono regular quedan iguales: tienen centro (el corte de las diagonales o el centro del polígono).
- Triángulo equilátero y pentágono regular quedan con un vértice hacia abajo: no tienen centro (los polígonos regulares de número impar de lados no lo tienen).
- El trapecio isósceles queda con la base mayor arriba: no tiene centro. Ejes: 4, 3, 2, 1, 5 y 6, respectivamente.
5. Difícil
Un hexágono $ABCDEF$ tiene centro de simetría en el origen. Conocemos tres vértices consecutivos: $A(-5, 1)$ , $B(-2, 4)$ y $C(3, 3)$ . Halla los otros tres y dibuja el hexágono.

Ver solución
$D(5, -1)$ , $E(2, -4)$ , $F(-3, -3)$
Cada vértice tiene su simétrico en el hexágono: el de $A$ es $D$ , el de $B$ es $E$ y el de $C$ es $F$ (están «enfrente»). Con centro en el origen cambiamos los signos: $D(5, -1)$ , $E(2, -4)$ , $F(-3, -3)$ . El hexágono tiene los lados opuestos paralelos e iguales: por ejemplo, de $A$ a $B$ hay $(3, 3)$ y de $D$ a $E$ , $(-3, -3)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Halla los simétricos de $P(0, 0)$ , $Q(5, 1)$ y $R(-1, -4)$ respecto del punto $M(2, -1)$ .
Ver solución
$P'(4, -2)$ , $Q'(-1, -3)$ , $R'(5, 2)$
Camino de cada punto a $M$ , repetido desde $M$ :
- $P$ : $(2, -1)$ ; $P'(4, -2)$ .
- $Q$ : $(-3, -2)$ ; $Q'(-1, -3)$ .
- $R$ : $(3, 3)$ ; $R'(5, 2)$ . Comprobación de $Q$ : $\left(\dfrac{5 - 1}{2},\ \dfrac{1 - 3}{2}\right) = (2, -1)$ . ✔
2. Fácil
Dibuja el simétrico respecto del origen del triángulo de vértices $(-6, 1)$ , $(-2, 2)$ y $(-4, 4)$ y escribe sus vértices. ¿Es lo mismo que girarlo $180^\circ$ alrededor del origen?

Ver solución
$(6, -1)$ , $(2, -2)$ , $(4, -4)$ . Sí.
Cambiamos de signo las coordenadas: $(6, -1)$ , $(2, -2)$ , $(4, -4)$ . Sí: la simetría central es un giro de $180^\circ$ con el mismo centro.
3. Media
En el dominó cada ficha tiene dos mitades con puntos de 0 a 6.

a) ¿Tiene centro de simetría la ficha 4|4? ¿Y la ficha 2|5?

b) ¿Qué fichas del dominó tienen centro de simetría?

Ver solución
a) 4|4 sí; 2|5 no. b) Las 7 fichas dobles (0|0, 1|1, …, 6|6).
a) Al girar media vuelta una ficha, sus dos mitades se intercambian y cada mitad queda girada. Los dibujos de puntos del dominó quedan iguales al girarlos media vuelta, así que la ficha 4|4 queda igual: tiene centro. La 2|5 queda como 5|2: no coincide.

b) Solo las dobles: 0|0, 1|1, 2|2, 3|3, 4|4, 5|5 y 6|6. Son 7.
4. Media
Tres vértices consecutivos de un paralelogramo $ABCD$ son $A(-3, -1)$ , $B(3, -1)$ y $C(5, 3)$ . Halla su centro de simetría y el cuarto vértice $D$ .

Ver solución
Centro $(1, 1)$ ; $D(-1, 3)$
El centro es el punto medio de la diagonal $AC$ : $\left(\dfrac{-3 + 5}{2},\ \dfrac{-1 + 3}{2}\right) = (1, 1)$ . $D$ es el simétrico de $B$ : de $B$ al centro hay $(-2, 2)$ ; $D(1 - 2,\ 1 + 2) = D(-1, 3)$ . Comprobación: de $A$ a $B$ hay $(6, 0)$ y de $D$ a $C$ , $(6, 0)$ . ✔
5. Difícil
Al triángulo de vértices $A(1, 1)$ , $B(4, 1)$ y $C(1, 3)$ le aplicamos:
- la simetría central de centro $O(0, 0)$ , y
- la simetría axial de eje $y$ .
a) Halla las dos imágenes. ¿Coinciden?

b) ¿Cuál de las dos da la vuelta al triángulo?

c) ¿Qué simetría axial hay que aplicar a la segunda imagen para obtener la primera?
Ver solución
a) $(-1, -1)$ , $(-4, -1)$ , $(-1, -3)$ y $(-1, 1)$ , $(-4, 1)$ , $(-1, 3)$ ; no coinciden. b) La axial. c) La de eje $x$ .
a) Central: $(-1, -1)$ , $(-4, -1)$ , $(-1, -3)$ . Axial de eje $y$ (cambia el signo de la abscisa): $(-1, 1)$ , $(-4, 1)$ , $(-1, 3)$ . No coinciden: una está en el tercer cuadrante y la otra en el segundo.

b) La axial (es un movimiento inverso); la central es un giro de $180^\circ$ .

c) Si a $(-1, 1)$ , $(-4, 1)$ , $(-1, 3)$ le cambiamos el signo de la ordenada (simetría de eje $x$ ), obtenemos $(-1, -1)$ , $(-4, -1)$ , $(-1, -3)$ : la primera imagen. Dos simetrías axiales de ejes perpendiculares equivalen a una simetría central.