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Explicación

Construir un giro con instrumentos

Para girar un punto $P$ alrededor de un centro $O$ un ángulo $\alpha$ :

Traza el segmento $OP$ .
Coloca el transportador con el centro en $O$ y la línea de $0^\circ$ sobre $OP$ . Mide $\alpha$ en el sentido que corresponda (positivo: contrario a las agujas del reloj) y traza una semirrecta desde $O$ .
Con el compás, centro en $O$ y abertura $OP$ , corta esa semirrecta. El punto de corte es $P'$ .

Para girar una figura, repite los pasos con cada vértice y une las imágenes. Comprueba que los lados de la figura girada miden lo mismo que los de la original.

Encontrar el centro y el ángulo de un giro

Si un giro lleva $A$ a $A'$ , el centro está a la misma distancia de $A$ que de $A'$ . Los puntos que equidistan de $A$ y de $A'$ forman la mediatriz del segmento $AA'$ (la recta perpendicular a $AA'$ por su punto medio). Por tanto:

Traza la mediatriz de $AA'$ y la de $BB'$ (con dos parejas de puntos basta).
El centro $O$ es el punto donde se cortan.
El ángulo es $\widehat{AOA'}$ : mídelo con el transportador y fíjate en el sentido para ponerle signo.

Recuerda cómo se traza la mediatriz de $AA'$ con compás: con centro en $A$ y en $A'$ y la misma abertura (más de la mitad de $AA'$ ), traza dos arcos que se corten en dos puntos; la recta que los une es la mediatriz. En la cuadrícula también puedes trazarla por el punto medio, perpendicular al segmento.

Comprobación rápida. Si te dan $O$ , $A$ y $A'$ y $OA \neq OA'$ , no existe ningún giro de centro $O$ que lleve $A$ a $A'$ .

Puntos clave

Para construir $P'$ : segmento $OP$ , ángulo $\alpha$ con el transportador desde $OP$ y arco de radio $OP$ con centro en $O$ .
El ángulo positivo se mide en sentido contrario a las agujas del reloj.
El centro de un giro está en la mediatriz de cada segmento $AA'$ : se halla cortando dos mediatrices.
El ángulo del giro es $\widehat{AOA'}$ , con signo según el sentido.
En un giro, $OA' = OA$ para todos los puntos: si no se cumple, no es un giro con ese centro.

Errores frecuentes

ErrorMedir el ángulo con la escala equivocada del transportador (por ejemplo, 120° en lugar de 60°).
Cómo corregirloEmpieza a contar desde el 0 que está sobre $OP$ y comprueba a ojo: un ángulo de 60° es menor que un recto.
ErrorUsar como radio la distancia entre dos vértices en lugar de la distancia al centro.
Cómo corregirloEl compás siempre se pincha en el centro del giro y se abre hasta el punto que vas a girar.
ErrorBuscar el centro en el punto medio de $AA'$ .
Cómo corregirloEl punto medio solo es el centro en el giro de $180^\circ$ . En general hay que cortar dos mediatrices.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Girar un triángulo 60° construcción con instrumentos
Gira $60^\circ$ alrededor del origen $O$ el triángulo $F$ de vértices $A(4, 0)$ , $B(6, 2)$ y $C(3, 3)$ . En la gráfica aparecen $F$ y su imagen $F'$ .

Resolución
Para cada vértice:
1. Unimos $O$ con el vértice; por ejemplo, $OB$ .
2. Con el transportador en $O$ , medimos $60^\circ$ desde $OB$ en sentido contrario a las agujas del reloj y trazamos la semirrecta.
3. Con el compás pinchado en $O$ y abierto hasta $B$ , cortamos la semirrecta: es $B'$ .
Se obtiene, aproximadamente, $A'(2;\ 3{,}46)$ , $B'(1{,}27;\ 6{,}20)$ y $C'(-1{,}10;\ 4{,}10)$ .

Comprobación: $OB = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} \approx 6{,}32$ y $OB'$ también mide $6{,}32$ (lo comprobamos con la regla o con el compás). Los lados del triángulo no cambian: $AB = A'B' = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ .
Ejemplo 2. ¿Dónde está el centro? gráfico (mediatrices en la cuadrícula)
El triángulo $F'$ , de vértices $A'(0, 2)$ , $B'(-3, 3)$ y $C'(-1, -1)$ , se ha obtenido girando el triángulo $F$ , de vértices $A(2, -2)$ , $B(1, 1)$ y $C(-1, -3)$ . Encuentra el centro y el ángulo del giro.

Resolución
1. Mediatriz de $AA'$ . Punto medio: $\left(\dfrac{2 + 0}{2},\ \dfrac{-2 + 2}{2}\right) = (1, 0)$ . De $A$ a $A'$ se va $(-2, 4)$ ; la perpendicular avanza $(2, 1)$ (dos a la derecha y uno arriba). La mediatriz pasa por $(1, 0)$ , $(-1, -1)$ , $(-3, -2)$ …
2. Mediatriz de $BB'$ . Punto medio: $(-1, 2)$ . De $B$ a $B'$ se va $(-4, 2)$ ; la perpendicular avanza $(1, 2)$ . Pasa por $(-1, 2)$ , $(-2, 0)$ , $(-3, -2)$ …
3. Se cortan en $O(-3, -2)$ : ese es el centro. Comprobación: $OA = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$ y $OA' = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ . ✔
4. Ángulo: con el transportador, $\widehat{AOA'} \approx 53^\circ$ , en sentido contrario a las agujas del reloj. El giro es de centro $(-3, -2)$ y ángulo $\approx 53^\circ$ .
Ejemplo 3. La noria situación real (cálculo del ángulo)
Una noria tiene 18 cabinas repartidas por igual alrededor de su eje y gira en sentido contrario a las agujas del reloj. Ahora mismo la cabina 7 está en lo más alto. ¿Qué ángulo tiene que girar la noria para que la cabina 1 llegue a lo más alto, si la cabina 1 está 6 puestos por detrás?

Resolución
Entre dos cabinas consecutivas hay $\dfrac{360^\circ}{18} = 20^\circ$ . La cabina 1 tiene que avanzar 6 puestos: $6 \cdot 20^\circ = 120^\circ$ . Es un giro de centro el eje de la noria y ángulo $120^\circ$ (positivo, porque gira en sentido contrario a las agujas del reloj).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Con regla, compás y transportador, gira $45^\circ$ alrededor del origen $O(0, 0)$ los puntos $A(4, 0)$ y $B(0, 3)$ . Mide las coordenadas aproximadas de $A'$ y de $B'$ .
Ver solución
$A' \approx (2{,}83;\ 2{,}83)$ ; $B' \approx (-2{,}12;\ 2{,}12)$
- $A'$ : a $4$ unidades de $O$ sobre la semirrecta que forma $45^\circ$ con el eje $x$ (la bisectriz del primer cuadrante): $A' \approx (2{,}83;\ 2{,}83)$ .
- $B'$ : a $3$ unidades de $O$ , $45^\circ$ más allá del eje $y$ en sentido antihorario (bisectriz del segundo cuadrante): $B' \approx (-2{,}12;\ 2{,}12)$ . Se aceptan medidas con un error de unas décimas.
2. Media
a) Un giro de centro $O(0, 0)$ lleva el punto $A(5, 0)$ al punto $A'(4, 3)$ . Comprueba que $OA = OA'$ y mide el ángulo del giro con el transportador.

b) ¿Puede un giro de centro $O$ llevar $A(5, 0)$ al punto $B(3, 3)$ ? Justifícalo.

Ver solución
a) $OA = OA' = 5$ ; ángulo $\approx 37^\circ$ . b) No: $OB \approx 4{,}24 \neq 5$
a) $OA = 5$ y $OA' = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ . Con el transportador, $\widehat{AOA'} \approx 37^\circ$ , en sentido antihorario: giro de $\approx 37^\circ$ .

b) $OB = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24$ , distinto de $OA = 5$ . En un giro, la distancia al centro no cambia, así que no es posible.
3. Media
El triángulo $F'$ , de vértices $A'(0, -3)$ , $B'(2, -1)$ y $C'(3, -4)$ , es la imagen del triángulo $F$ , de vértices $A(2, 1)$ , $B(0, 3)$ y $C(3, 4)$ , mediante un giro. Traza las mediatrices de $AA'$ y $BB'$ para encontrar el centro y después halla el ángulo.
Ver solución
Centro $(-1, 0)$ ; ángulo $-90^\circ$ (o $270^\circ$ )
- Mediatriz de $AA'$ : punto medio $(1, -1)$ ; de $A$ a $A'$ se va $(-2, -4)$ , la perpendicular avanza $(2, -1)$ : pasa por $(1, -1)$ y $(-1, 0)$ .
- Mediatriz de $BB'$ : punto medio $(1, 1)$ ; de $B$ a $B'$ se va $(2, -4)$ , la perpendicular avanza $(2, 1)$ : pasa por $(1, 1)$ y $(-1, 0)$ .
- Centro: $O(-1, 0)$ . Comprobación: $OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ y $OA' = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$ . ✔
- De $O$ a $A$ hay $(3, 1)$ y de $O$ a $A'$ , $(1, -3)$ : es un cuarto de vuelta en el sentido de las agujas del reloj, $-90^\circ$ .
4. Difícil
La puerta giratoria de un centro comercial tiene 4 hojas iguales y da 2 vueltas por minuto en sentido contrario a las agujas del reloj (vista desde arriba).

a) ¿Qué ángulo gira en 5 segundos?

b) ¿Cuánto tarda una hoja en llegar a la posición que tenía la siguiente?

Ver solución
a) $60^\circ$ . b) 7,5 s
a) 2 vueltas por minuto son $2 \cdot 360^\circ = 720^\circ$ en 60 s, es decir, $12^\circ$ por segundo. En 5 s: $5 \cdot 12^\circ = 60^\circ$ .

b) Entre dos hojas hay $\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ . Tarda $\dfrac{90}{12} = 7{,}5$ s.

Para practicar más

1. Fácil
Con regla, compás y transportador, gira $120^\circ$ alrededor del origen los puntos $A(3, 0)$ y $B(0, -2)$ . Mide las coordenadas aproximadas de sus imágenes.
Ver solución
$A' \approx (-1{,}5;\ 2{,}6)$ ; $B' \approx (1{,}73;\ 1)$
- $A'$ : a 3 unidades de $O$ , formando $120^\circ$ con el semieje positivo de las $x$ (en el segundo cuadrante): $A' \approx (-1{,}5;\ 2{,}6)$ .
- $B$ está en el semieje negativo de las $y$ ; girando $120^\circ$ en sentido antihorario pasa al primer cuadrante, a 2 unidades de $O$ : $B' \approx (1{,}73;\ 1)$ .
2. Media
Comprueba que existe un giro de centro $O(1, 1)$ que lleva el punto $A(4, 5)$ al punto $A'(-2, 5)$ y mide su ángulo con el transportador.

Ver solución
$OA = OA' = 5$ ; ángulo $\approx 74^\circ$
De $O$ a $A$ hay $(3, 4)$ : $OA = \sqrt{9 + 16} = 5$ . De $O$ a $A'$ hay $(-3, 4)$ : $OA' = \sqrt{9 + 16} = 5$ . Como son iguales, el giro existe. Medido con el transportador, $\widehat{AOA'} \approx 74^\circ$ , en sentido antihorario.
3. Media
El triángulo $F'$ , de vértices $A'(-1, -2)$ , $B'(-2, -4)$ y $C'(3, -4)$ , es la imagen del triángulo $F$ , de vértices $A(1, 0)$ , $B(2, -2)$ y $C(5, 2)$ , mediante un giro. Encuentra el centro con las mediatrices y mide el ángulo.
Ver solución
Centro $(-2, 1)$ ; ángulo $\approx -53^\circ$
- Mediatriz de $AA'$ : punto medio $(0, -1)$ ; de $A$ a $A'$ se va $(-2, -2)$ , la perpendicular avanza $(-1, 1)$ : pasa por $(0, -1)$ , $(-1, 0)$ y $(-2, 1)$ .
- Mediatriz de $BB'$ : punto medio $(0, -3)$ ; de $B$ a $B'$ se va $(-4, -2)$ , la perpendicular avanza $(-1, 2)$ : pasa por $(0, -3)$ , $(-1, -1)$ y $(-2, 1)$ .
- Centro: $O(-2, 1)$ . Comprobación: de $O$ a $A$ hay $(3, -1)$ y de $O$ a $A'$ , $(1, -3)$ ; las dos distancias valen $\sqrt{10}$ . ✔
- $\widehat{AOA'} \approx 53^\circ$ en el sentido de las agujas del reloj: ángulo $\approx -53^\circ$ .
4. Difícil
Un coche entra en una rotonda de 20 m de radio por la salida sur y la abandona por la salida oeste. En España las rotondas se recorren en sentido contrario a las agujas del reloj.

a) ¿Qué ángulo gira el coche alrededor del centro de la rotonda?

b) ¿Cuántos metros recorre dentro de la rotonda? Redondea a las décimas.

Ver solución
a) $270^\circ$ . b) 94,2 m
a) En sentido antihorario, del sur se pasa al este ( $90^\circ$ ), al norte ( $180^\circ$ ) y al oeste ( $270^\circ$ ). Gira $270^\circ$ , tres cuartos de vuelta.

b) Es un arco de circunferencia: $L = \dfrac{2\pi \cdot 20 \cdot 270}{360} = 30\pi \approx 94{,}2$ m.

Giros de cualquier ángulo: construcción, centro y ángulo