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Explicación

Movimientos en el arte y el diseño

Muchos diseños se construyen repitiendo una figura, el motivo, con movimientos. Según cómo se repite, tenemos frisos, mosaicos o rosetones.

Frisos

Un friso es una franja decorada en la que el motivo se repite a lo largo de una dirección mediante una traslación. El vector que lleva cada motivo al siguiente es el vector del friso. Además de la traslación, un friso puede quedar igual con otros movimientos: simetrías de eje vertical, simetría de eje horizontal (el que recorre la franja por el centro) o giros de $180^\circ$ . Ejemplos: cenefas de azulejos, rejas de balcones, grecas de cerámica.

Mosaicos

Un mosaico (o teselación) recubre el plano con piezas (teselas) sin dejar huecos y sin superponerse. Se genera con traslaciones en dos direcciones, y a veces también con giros y simetrías.

Los mosaicos regulares usan un solo tipo de polígono regular. En cada vértice, los ángulos que coinciden tienen que sumar $360^\circ$ , así que el ángulo del polígono debe dividir exactamente a $360^\circ$ . Solo funcionan tres polígonos:

triángulo equilátero: $6 \cdot 60^\circ = 360^\circ$ ;
cuadrado: $4 \cdot 90^\circ = 360^\circ$ ;
hexágono regular: $3 \cdot 120^\circ = 360^\circ$ .

Combinando varios polígonos regulares se obtienen otros mosaicos (semirregulares). Los mosaicos nazaríes de la Alhambra de Granada y los dibujos de M. C. Escher son ejemplos famosos.

Rosetones

Un rosetón se forma girando un motivo alrededor de un centro. Si el motivo aparece $n$ veces, el giro más pequeño que deja el rosetón igual es de $\dfrac{360^\circ}{n}$ , y también lo dejan igual sus múltiplos. Muchos rosetones tienen además $n$ ejes de simetría. Ejemplos: los rosetones de las catedrales góticas, los tapacubos, las flores.

Recuerda: el ángulo interior de un polígono regular de $n$ lados mide $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$ .

Puntos clave

Friso: un motivo repetido por traslación en una dirección.
Mosaico: recubre el plano sin huecos ni superposiciones; traslaciones en dos direcciones.
Mosaicos regulares: solo con triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares (sus ángulos dividen a $360^\circ$ ).
Rosetón: un motivo repetido $n$ veces por giros de $\dfrac{360^\circ}{n}$ alrededor de un centro.
Para analizar un diseño, pregunta qué movimiento lleva un motivo al siguiente.

Errores frecuentes

ErrorPensar que cualquier polígono regular sirve para hacer un mosaico regular.
Cómo corregirloComprueba si su ángulo interior divide a $360^\circ$ : el pentágono regular ( $108^\circ$ ) no lo hace y deja huecos.
ErrorConfundir el friso (una dirección) con el mosaico (todo el plano).
Cómo corregirloSi el diseño solo se repite a lo largo de una franja, es un friso; si se repite hacia los lados y hacia arriba y abajo, es un mosaico.
ErrorEn un rosetón de $n$ motivos, decir que el giro es de $n$ grados o de $\dfrac{180^\circ}{n}$ .
Cómo corregirloUna vuelta completa son $360^\circ$ , repartidos entre los $n$ motivos: $\dfrac{360^\circ}{n}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un friso de triángulos gráfico (analizar un friso)
El friso de la gráfica se ha hecho con el triángulo rectángulo de vértices $(-7, 0)$ , $(-5, 0)$ y $(-7, 2)$ . ¿Qué movimiento lleva cada triángulo al siguiente? ¿Dónde estaría el triángulo que va después del último?

Resolución
El vértice $(-7, 0)$ del primer triángulo pasa a $(-3, 0)$ en el segundo: es una traslación de vector $(4, 0)$ , que se repite. Los triángulos son $(-7, 0)$ , $(-3, 0)$ , $(1, 0)$ y $(5, 0)$ (vértice del ángulo recto). El siguiente tendría vértices $(9, 0)$ , $(11, 0)$ y $(9, 2)$ .

Este friso no tiene ejes de simetría verticales: el triángulo rectángulo tiene el cateto vertical a la izquierda, y al reflejarlo quedaría a la derecha.

Ejemplo 2. ¿Qué polígonos regulares hacen mosaico? numérico (ángulos)

Calcula el ángulo interior del triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono, el hexágono y el octógono regulares y decide con cuáles se puede hacer un mosaico usando solo ese polígono.

Resolución

Con $\dfrac{180^\circ \cdot (n - 2)}{n}$ y dividiendo $360^\circ$ entre el ángulo:

Polígono	Ángulo	$360^\circ$ : ángulo	¿Mosaico?
Triángulo ( $n = 3$ )	$60^\circ$	$6$	Sí
Cuadrado ( $n = 4$ )	$90^\circ$	$4$	Sí
Pentágono ( $n = 5$ )	$108^\circ$	$3{,}33\ldots$	No
Hexágono ( $n = 6$ )	$120^\circ$	$3$	Sí
Octógono ( $n = 8$ )	$135^\circ$	$2{,}66\ldots$	No

A partir del hexágono el ángulo es mayor que $120^\circ$ y menor que $180^\circ$ : caben más de 2 y menos de 3 en $360^\circ$ , así que ninguno más sirve.

Ejemplo 3. El tapacubos situación real (rosetón)
Un tapacubos tiene 5 radios iguales repartidos alrededor del centro. ¿Qué giros con centro en el centro del tapacubos lo dejan igual? ¿Cuántos ejes de simetría tiene si cada radio es simétrico?

Resolución
El motivo aparece 5 veces: el giro mínimo es de $\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ . También lo dejan igual sus múltiplos: $144^\circ$ , $216^\circ$ , $288^\circ$ (y $360^\circ$ , la vuelta completa). Si cada radio es simétrico, hay 5 ejes de simetría, uno por cada radio.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica qué tipo de diseño es (friso, mosaico o rosetón) o qué movimiento se ve en cada caso:

a) El suelo de una cocina con baldosas cuadradas iguales.

b) Una cenefa de azulejos que recorre la pared de un baño.

c) La hélice de tres palas de un barco.

d) Un paisaje reflejado en el agua del estanque del Retiro.

Ver solución
a) Mosaico. b) Friso. c) Rosetón (giros de $120^\circ$ ). d) Simetría axial.
a) Recubre el suelo sin huecos con traslaciones en dos direcciones: mosaico. b) El motivo se repite a lo largo de una franja: friso (traslación). c) Las palas se obtienen girando una de ellas $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ : rosetón. d) La orilla hace de eje: simetría axial.
2. Media
El friso de la gráfica está formado por triángulos isósceles. El primero tiene vértices $(-8, 1)$ , $(-6, 1)$ y $(-7, 3)$ .

a) ¿Cuál es el vector del friso?

b) Escribe los vértices del triángulo que va después del último.

c) Da dos ejes de simetría verticales del friso.

Ver solución
a) $(3, 0)$ . b) $(4, 1)$ , $(6, 1)$ , $(5, 3)$ . c) Por ejemplo, $x = -7$ y $x = -5{,}5$ .
a) El vértice $(-7, 3)$ pasa a $(-4, 3)$ en el segundo triángulo: vector $(3, 0)$ .

b) El último tiene vértices $(1, 1)$ , $(3, 1)$ , $(2, 3)$ ; sumando $(3, 0)$ : $(4, 1)$ , $(6, 1)$ , $(5, 3)$ .

c) Cada triángulo es isósceles: la recta vertical por su vértice superior es eje (por ejemplo $x = -7$ ). También hay ejes entre dos triángulos: la recta $x = -5{,}5$ lleva el primer triángulo al segundo (el vértice $(-7, 3)$ va a $(-4, 3)$ ).
3. Media
Un rosetón tiene 8 pétalos iguales repartidos alrededor del centro.

a) ¿Cuál es el giro más pequeño que lo deja igual?

b) ¿Lo deja igual un giro de $90^\circ$ ? ¿Y uno de $135^\circ$ ? ¿Y uno de $60^\circ$ ?

Ver solución
a) $45^\circ$ . b) $90^\circ$ sí; $135^\circ$ sí; $60^\circ$ no.
a) $\dfrac{360^\circ}{8} = 45^\circ$ .

b) Lo dejan igual los múltiplos de $45^\circ$ : $90^\circ = 2 \cdot 45^\circ$ sí; $135^\circ = 3 \cdot 45^\circ$ sí; $60^\circ$ no es múltiplo de $45^\circ$ , así que no.
4. Difícil
En muchos suelos se combinan octógonos regulares y cuadrados.

a) Comprueba que en cada vértice pueden coincidir dos octógonos y un cuadrado.

b) Con triángulos equiláteros y hexágonos regulares, busca dos formas distintas de completar los $360^\circ$ alrededor de un vértice.

Ver solución
a) $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ . b) 2 triángulos y 2 hexágonos; 4 triángulos y 1 hexágono.
a) El ángulo del octógono regular es $\dfrac{180^\circ \cdot 6}{8} = 135^\circ$ : $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ = 360^\circ$ . ✔

b) Con $60^\circ$ y $120^\circ$ : $2 \cdot 60^\circ + 2 \cdot 120^\circ = 360^\circ$ y $4 \cdot 60^\circ + 120^\circ = 360^\circ$ . (También $6 \cdot 60^\circ$ y $3 \cdot 120^\circ$ , pero esos usan un solo polígono.)

Para practicar más

1. Fácil
¿Cuál es el giro más pequeño que deja igual cada objeto?

a) Un aerogenerador de 3 palas.

b) Una flor de 6 pétalos iguales.

c) Una estrella de 5 puntas.

Ver solución
a) $120^\circ$ . b) $60^\circ$ . c) $72^\circ$
Dividimos $360^\circ$ entre el número de veces que se repite el motivo: a) $\dfrac{360^\circ}{3} = 120^\circ$ ; b) $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ ; c) $\dfrac{360^\circ}{5} = 72^\circ$ .
2. Media
El suelo de una habitación de 3 m × 2,4 m se cubre con baldosas cuadradas de 30 cm de lado.

a) ¿Qué traslaciones llevan una baldosa a sus vecinas?

b) ¿Cuántas baldosas hacen falta?

Ver solución
a) Vectores de 30 cm en horizontal y en vertical. b) 80 baldosas
a) Traslaciones de vectores $(30, 0)$ , $(-30, 0)$ , $(0, 30)$ y $(0, -30)$ (en cm): es un mosaico generado por traslaciones en dos direcciones.

b) A lo largo caben $300 : 30 = 10$ baldosas y a lo ancho $240 : 30 = 8$ : en total $10 \cdot 8 = 80$ .
3. Media
a) Calcula el ángulo interior del heptágono regular (redondea a las centésimas) y del dodecágono regular (12 lados). ¿Se puede hacer un mosaico solo con heptágonos? ¿Y solo con dodecágonos?

b) Comprueba que alrededor de un vértice pueden coincidir un triángulo equilátero y dos dodecágonos regulares.

Ver solución
a) $128{,}57^\circ$ y $150^\circ$ ; no en los dos casos. b) $60^\circ + 150^\circ + 150^\circ = 360^\circ$
a) Heptágono: $\dfrac{180^\circ \cdot 5}{7} \approx 128{,}57^\circ$ ; $360 : 128{,}57 \approx 2{,}8$ , no es exacto: no. Dodecágono: $\dfrac{180^\circ \cdot 10}{12} = 150^\circ$ ; $360 : 150 = 2{,}4$ : no.

b) $60^\circ + 150^\circ + 150^\circ = 360^\circ$ . ✔ Con esta combinación se puede hacer un mosaico semirregular.
4. Difícil
Escribimos cuatro frisos repitiendo una letra mayúscula de imprenta: AAAAA, DDDDD, NNNNN y HHHHH. Además de la traslación, ¿qué otros movimientos dejan igual cada friso: simetrías de eje vertical, simetría de eje horizontal o giros de $180^\circ$ ?
Ver solución
AAAAA: ejes verticales. DDDDD: eje horizontal. NNNNN: giros de $180^\circ$ . HHHHH: los tres.
Miramos las simetrías de la letra:
- A: eje vertical → el friso tiene ejes verticales (por cada letra y entre dos letras).
- D: eje horizontal → el friso tiene el eje horizontal que lo recorre por el centro.
- N: centro de simetría → el friso queda igual con giros de $180^\circ$ con centro en cada letra.
- H: eje vertical, eje horizontal y centro → el friso tiene los tres tipos.

Frisos, mosaicos y rosetones