Taller: movimientos con GeoGebra

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorEscribir Rota(pol, 90, O) sin el símbolo de grados.

  Cómo corregirloEscribe 90° (Alt + O). Sin el símbolo, el número se interpreta en radianes.

• ErrorEscribir el vector con mayúscula (U = (5, 2)) y que GeoGebra cree un punto.

  Cómo corregirloUsa una letra minúscula para los vectores o el comando Vector(P, Q).

• ErrorCopiar las coordenadas de la imagen con punto decimal.

  Cómo corregirloGeoGebra puede mostrar los decimales con punto; en la hoja escríbelos con coma.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Trasladar un triángulo actividad guiada en GeoGebra (traslación)

   En GeoGebra, crea los puntos $A(-4, -1)$, $B(-1, -1)$ y $C(-3, 2)$, el triángulo pol = Polígono(A, B, C) y el vector u = (5, 2). Aplica Traslada(pol, u). Anota las coordenadas de $A'$, $B'$ y $C'$ y arrastra el punto $C$: ¿qué le pasa a la imagen?

   Resolución

   GeoGebra dibuja el triángulo imagen con vértices $A'(1, 1)$, $B'(4, 1)$ y $C'(2, 4)$: cada vértice se ha movido 5 a la derecha y 2 hacia arriba.

   Al arrastrar $C$, el vértice $C'$ se mueve exactamente igual, y el triángulo imagen sigue siendo igual que el original: la traslación se aplica a la figura, sea cual sea su forma.

2. Ejemplo 2. Girar con el comando Rota actividad guiada en GeoGebra (giro)

   Con el mismo triángulo, crea el punto O = (0, 0) y escribe Rota(pol, 90°, O). Anota los vértices de la imagen. Después escribe Distancia(O, A) y Distancia(O, A'). ¿Qué observas?

   Resolución

   Se obtiene el triángulo de vértices $A'(1, -4)$, $B'(1, -1)$ y $C'(-2, -3)$, girado un cuarto de vuelta en sentido contrario a las agujas del reloj.

   Las dos distancias valen lo mismo, $\sqrt{17} \approx 4{,}12$: en un giro, cada punto se mantiene a la misma distancia del centro.

3. Ejemplo 3. Simetrías con Refleja actividad guiada en GeoGebra (simetrías)

   Con el mismo triángulo:

   a) Crea la recta r: x = 2 y aplica Refleja(pol, r).

   b) Crea el punto M = (0, 1) y aplica Refleja(pol, M).

   Anota los vértices de las dos imágenes.

   Resolución

   a) Simetría axial de eje $x = 2$: $A'(8, -1)$, $B'(5, -1)$, $C'(7, 2)$. La ordenada no cambia y el eje queda en medio de cada punto y su imagen.

   b) Simetría central de centro $M(0, 1)$: $(4, 3)$, $(1, 3)$, $(3, 0)$. $M$ es el punto medio de cada vértice y su imagen.

   El mismo comando hace las dos simetrías: si le das una recta, axial; si le das un punto, central.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   En GeoGebra, crea el cuadrado de vértices $(1, 1)$, $(3, 1)$, $(3, 3)$ y $(1, 3)$ y trasládalo con el vector $\vec{v} = (-5, -3)$. Escribe los comandos que usas y las coordenadas de la imagen.

   Ver solución

   $(-4, -2)$, $(-2, -2)$, $(-2, 0)$, $(-4, 0)$

   Comandos: P = (1, 1), Q = (3, 1), R = (3, 3), S = (1, 3), cuad = Polígono(P, Q, R, S), v = (-5, -3), Traslada(cuad, v). Imagen: $P'(-4, -2)$, $Q'(-2, -2)$, $R'(-2, 0)$, $S'(-4, 0)$.

2. 2. Media

   Crea el triángulo de vértices $P(2, 0)$, $Q(5, 1)$ y $R(4, 3)$ y gíralo $75^\circ$ alrededor del origen.

   a) Anota las coordenadas de la imagen (con dos decimales).

   b) Comprueba con Distancia que $OQ = OQ'$ y que $PQ = P'Q'$.

   Ver solución

   a) $P'(0{,}52;\ 1{,}93)$, $Q'(0{,}33;\ 5{,}09)$, $R'(-1{,}86;\ 4{,}64)$. b) $OQ = OQ' \approx 5{,}10$; $PQ = P'Q' \approx 3{,}16$

   a) O = (0, 0), t = Polígono(P, Q, R), Rota(t, 75°, O). GeoGebra da $P'(0{,}52;\ 1{,}93)$, $Q'(0{,}33;\ 5{,}09)$ y $R'(-1{,}86;\ 4{,}64)$.

   b) Distancia(O, Q) y Distancia(O, Q') dan $5{,}10$ ($\sqrt{26}$). Distancia(P, Q) y Distancia(P', Q') dan $3{,}16$ ($\sqrt{10}$). El giro conserva las distancias al centro y las longitudes de los lados.

3. 3. Media

   Crea la recta r: y = x y el triángulo de vértices $(1, -2)$, $(4, -1)$ y $(2, 1)$.

   a) Aplica la simetría axial de eje $r$. ¿Qué les pasa a las coordenadas de cada vértice?

   b) Aplica otra vez la misma simetría a la imagen. ¿Qué obtienes?

   Ver solución

   a) $(-2, 1)$, $(-1, 4)$, $(1, 2)$: se intercambian las coordenadas. b) El triángulo original.

   a) Refleja(pol, r) da $(-2, 1)$, $(-1, 4)$ y $(1, 2)$: la simetría respecto de $y = x$ intercambia la abscisa y la ordenada.

   b) Al aplicarla dos veces, cada punto vuelve a su sitio: obtenemos el triángulo original.

4. 4. Media

   Construye un friso. Crea el triángulo M = Polígono((-8, -1), (-7, -1), (-8, 1)) y el vector u = (3, 0). Escribe:

   Secuencia(Traslada(M, k*u), k, 0, 5)

   a) ¿Cuántos triángulos aparecen?

   b) ¿Cuáles son los vértices del último?

   c) ¿Qué cambiarías para que los triángulos estuvieran el doble de separados?

   Ver solución

   a) 6. b) $(7, -1)$, $(8, -1)$, $(7, 1)$. c) Usar u = (6, 0).

   a) $k$ toma los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5: 6 triángulos (el de $k = 0$ es el original).

   b) El último se ha trasladado $5 \cdot (3, 0) = (15, 0)$: $(7, -1)$, $(8, -1)$, $(7, 1)$.

   c) Duplicar el vector del friso: u = (6, 0). (Habría que poner menos copias para que quepan en la pantalla.)

5. 5. Difícil

   Construye un rosetón con el triángulo M = Polígono((-8, -1), (-7, -1), (-8, 1)) y el centro $O = (0, 0)$:

   Secuencia(Rota(M, k*45°, O), k, 0, 7)

   a) ¿Cuántas copias aparecen y qué ángulo hay entre dos consecutivas?

   b) ¿Qué pasa si $k$ llega hasta 8?

   c) ¿Qué valor de $k$ da la copia simétrica de $M$ respecto de $O$?

   Ver solución

   a) 8 copias, $45^\circ$. b) La copia de $k = 8$ coincide con la de $k = 0$. c) $k = 4$

   a) $k = 0, 1, \ldots, 7$: 8 copias, separadas $45^\circ$ ($8 \cdot 45^\circ = 360^\circ$).

   b) $8 \cdot 45^\circ = 360^\circ$: es una vuelta completa, así que esa copia se superpone a la original.

   c) La simetría central es el giro de $180^\circ = 4 \cdot 45^\circ$: $k = 4$.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Sin ordenador: ¿qué punto dibujará GeoGebra con cada comando? Si tienes GeoGebra, compruébalo.

   a) Traslada(A, u), con A = (2, -3) y u = (-4, 6).

   b) Refleja(B, EjeX), con B = (5, 2).

   c) Rota(C, 180°, (0, 0)), con C = (-1, 4).

   Ver solución

   a) $(-2, 3)$. b) $(5, -2)$. c) $(1, -4)$

   a) Traslación: $(2 - 4,\ -3 + 6) = (-2, 3)$. b) Simetría respecto del eje de abscisas: cambia el signo de la ordenada, $(5, -2)$. c) Giro de $180^\circ$ con centro el origen (simetría central): $(1, -4)$.

2. 2. Media

   Escribe los comandos de GeoGebra para obtener, a partir de un polígono pol ya creado:

   a) Su simétrico respecto del punto $(2, 2)$.

   b) Su giro de $-90^\circ$ alrededor de su vértice $A$.

   c) Su simétrico respecto de la recta $y = -1$.

   Ver solución

   a) M = (2, 2) y Refleja(pol, M). b) Rota(pol, -90°, A). c) r: y = -1 y Refleja(pol, r).

   a) Primero el centro, M = (2, 2); después Refleja(pol, M) (con un punto, la simetría es central). b) Rota(pol, -90°, A): el ángulo negativo gira en el sentido de las agujas del reloj. c) Primero la recta, r: y = -1; después Refleja(pol, r) (con una recta, la simetría es axial).

3. 3. Difícil

   Un compañero escribe Rota(pol, 90, O) y la figura aparece girada un ángulo extraño.

   a) ¿Qué error ha cometido?

   b) GeoGebra ha interpretado el 90 en radianes. Sabiendo que 1 radián son unos $57{,}3^\circ$, ¿cuántos grados ha girado la figura? ¿A qué giro de menos de una vuelta equivale? Redondea a las décimas.

   Ver solución

   a) Le falta el símbolo de grados. b) Unos $5156{,}6^\circ$, que equivalen a unos $116{,}6^\circ$.

   a) Tenía que escribir Rota(pol, 90°, O).

   b) $90 \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 5156{,}6^\circ$ (con $57{,}3^\circ$ por radián sale $\approx 5157^\circ$). Quitamos vueltas completas: $5156{,}6 : 360 \approx 14{,}3$, así que $5156{,}6^\circ - 14 \cdot 360^\circ \approx 116{,}6^\circ$.

4. 4. Media

   Escribe un comando con Secuencia que dibuje un rosetón de 6 copias de un polígono M alrededor del origen. ¿Qué ángulo hay entre dos copias consecutivas?

   Ver solución

   Secuencia(Rota(M, k*60°, (0, 0)), k, 0, 5); $60^\circ$

   Seis copias reparten la vuelta en $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Con $k$ de 0 a 5: Secuencia(Rota(M, k*60°, (0, 0)), k, 0, 5). (También vale crear antes O = (0, 0) y usar O como centro.)