Ampliación: construcciones robustas con GeoGebra

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorColocar un punto «encima» de una recta o de un corte a ojo, sin que dependa de ellos.

  Cómo corregirloCrea los puntos de corte con Interseca o con la herramienta de intersección; si al arrastrar el punto se separa, no estaba bien construido.

• ErrorDar por demostrado algo porque se cumple en la pantalla.

  Cómo corregirloGeoGebra muestra decimales redondeados y casos concretos. Úsalo para conjeturar y busca después por qué se cumple.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Comprobar el cuadrado actividad en GeoGebra (test del arrastre)

   Construye el cuadrado robusto de la explicación con $A = (0, 0)$ y $B = (3, 0)$. Mide la diagonal con Distancia(A, C). Arrastra $B$ y observa la relación entre el lado y la diagonal.

   Resolución

   Con lado 3, Distancia(A, C) da $4{,}24$. Al arrastrar $B$, el cociente diagonal : lado se mantiene en $1{,}41\ldots$: la diagonal es $\sqrt{2}$ veces el lado ($3\sqrt{2} \approx 4{,}24$). Se justifica con el teorema de Pitágoras: $d^2 = l^2 + l^2 = 2l^2$.

2. Ejemplo 2. El triángulo equilátero de Euclides construcción clásica en GeoGebra

   Construye un triángulo equilátero robusto a partir de dos puntos $A$ y $B$ con dos circunferencias, y comprueba sus ángulos.

   Resolución

   1. c1 = Circunferencia(A, B) y c2 = Circunferencia(B, A).
   2. Interseca(c1, c2) da dos puntos; llamamos $C$ a uno de ellos.
   3. Polígono(A, B, C).

   $AC = AB$ porque los dos son radios de $c_1$, y $BC = BA$ porque son radios de $c_2$: los tres lados son iguales. Con Ángulo se comprueba que los tres ángulos miden $60^\circ$, aunque arrastremos $A$ o $B$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   ¿Cuáles de estas construcciones son robustas? Justifícalo.

   a) Un rectángulo con sus cuatro vértices escritos uno a uno: (1, 1), (5, 1), (5, 3), (1, 3), y unidos con Polígono, si después se arrastra un vértice.

   b) Un rectángulo hecho con perpendiculares y paralelas.

   c) Polígono(A, B, 6).

   d) Un triángulo con tres puntos libres colocados para que «parezca» isósceles.

   Ver solución

   Robustas: b) y c). No: a) y d).

   a) No: los vértices son independientes; al arrastrar uno, deja de ser un rectángulo. b) Sí: los ángulos rectos y los lados paralelos dependen de las rectas construidas. c) Sí: GeoGebra construye un hexágono regular sobre $AB$ y lo mantiene al arrastrar. d) No: nada obliga a que dos lados sean iguales.

2. 2. Media

   Construye un rectángulo robusto con $A = (1, 1)$, $B = (5, 1)$ y el lado $BC$ de 3 unidades. Escribe los pasos y mide la diagonal $AC$.

   Ver solución

   Por ejemplo: perpendicular a $AB$ por $B$, circunferencia de centro $B$ y radio 3, corte $C$, paralelas para $D$; diagonal 5.

   1. a = Recta(A, B), q = Perpendicular(B, a).
   2. C = Interseca(q, Circunferencia(B, 3)) (el punto de arriba, $(5, 4)$).
   3. p = Perpendicular(A, a) y D = Interseca(p, Recta(C, a)), que es $(1, 4)$.
   4. Polígono(A, B, C, D). Distancia(A, C) da 5, como dice el teorema de Pitágoras: $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

3. 3. Difícil

   Construye un paralelogramo robusto a partir de tres puntos libres $A = (0, 0)$, $B = (5, 0)$ y $D = (1, 3)$: $C$ es el corte de la paralela a $AB$ por $D$ con la paralela a $AD$ por $B$.

   a) ¿Cuáles son las coordenadas de $C$?

   b) Halla el punto $M$ de corte de las diagonales y mide $AM$, $MC$, $BM$ y $MD$. ¿Qué observas? ¿Se cumple al arrastrar?

   c) ¿Qué movimiento deja el paralelogramo igual?

   Ver solución

   a) $(6, 3)$. b) $M(3;\ 1{,}5)$; $AM = MC \approx 3{,}35$ y $BM = MD = 2{,}5$: las diagonales se cortan en su punto medio. c) La simetría central de centro $M$.

   a) C = Interseca(Recta(D, Recta(A, B)), Recta(B, Recta(A, D))) da $(6, 3)$.

   b) M = Interseca(Segmento(A, C), Segmento(B, D)) da $(3;\ 1{,}5)$. $AM = MC \approx 3{,}35$ y $BM = MD = 2{,}5$. Al arrastrar $A$, $B$ o $D$ las parejas siguen siendo iguales: las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

   c) Como $M$ es el punto medio de $AC$ y de $BD$, la simetría central de centro $M$ lleva $A$ a $C$ y $B$ a $D$: $M$ es el centro de simetría del paralelogramo.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Explica cómo construir en GeoGebra un triángulo isósceles robusto usando la mediatriz. ¿Por qué es robusto?

   Ver solución

   Puntos libres $A$ y $B$; mediatriz de $AB$; punto $C$ sobre la mediatriz; Polígono(A, B, C).

   1. Puntos libres $A$ y $B$.
   2. m = Mediatriz(A, B).
   3. Un punto $C$ sobre $m$ (con la herramienta de punto, pinchando sobre la recta, o con Punto(m)).
   4. Polígono(A, B, C). Es robusto porque todo punto de la mediatriz está a la misma distancia de $A$ que de $B$: siempre $CA = CB$, aunque muevas $A$, $B$ o $C$ por la recta.

2. 2. Media

   Construye un triángulo rectángulo robusto con $A = (0, 0)$, $B = (3, 0)$ y el vértice $C$ sobre la perpendicular a $AB$ por $A$.

   a) Coloca $C$ en $(0, 4)$ y mide $BC$.

   b) Mueve $C$ a $(0, 2)$. ¿Cuánto mide ahora $BC$? Compruébalo con el teorema de Pitágoras.

   Ver solución

   a) 5. b) $\sqrt{13} \approx 3{,}61$

   Pasos: p = Perpendicular(A, Recta(A, B)) y un punto $C$ sobre $p$; Polígono(A, B, C). a) Distancia(B, C) da 5: $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. b) Da $3{,}61$: $\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13} \approx 3{,}61$. El ángulo en $A$ sigue siendo recto al mover $C$.

3. 3. Media

   Con $A = (0, 0)$ y $B = (2, 0)$, escribe hex = Polígono(A, B, 6).

   a) Mide uno de sus ángulos y su área con Área(hex) (dos decimales).

   b) Comprueba el área con la fórmula $A = \dfrac{\text{perímetro} \cdot \text{apotema}}{2}$, sabiendo que la apotema mide $\sqrt{3} \approx 1{,}73$.

   c) ¿Tiene centro de simetría? ¿Cuántos ejes?

   Ver solución

   a) $120^\circ$; $10{,}39$. b) $\dfrac{12 \cdot \sqrt{3}}{2} \approx 10{,}39$. c) Sí; 6 ejes.

   a) Cada ángulo mide $120^\circ$ y Área(hex) da $10{,}39$.

   b) Perímetro $6 \cdot 2 = 12$; $A = \dfrac{12 \cdot \sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39$. ✔

   c) Sí, su centro (es un polígono regular con número par de lados). Tiene 6 ejes de simetría.