Ampliación: investiga con GeoGebra qué conservan los movimientos

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorCrear un deslizador numérico (sin el símbolo de grados) para un giro.

  Cómo corregirloUsa Deslizador(0°, 360°, 1°) o marca la opción de ángulo al crear el deslizador.

• ErrorAnidar los comandos en el orden contrario al que pide el enunciado.

  Cómo corregirloEl comando de dentro se aplica primero: en Refleja(Refleja(pol, r), s), primero $r$ y después $s$.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Un giro con deslizador investigación en GeoGebra (qué se conserva)

   Crea un triángulo pol con vértices $A$, $B$ y $C$, el punto O = (0, 0), el deslizador α = Deslizador(0°, 360°, 1°) y la imagen Rota(pol, α, O). Mide el área y un lado de las dos figuras mientras mueves α. ¿Qué observas? ¿Qué pasa cuando $α = 180^\circ$?

   Resolución

   El área y la longitud de cada lado son iguales en las dos figuras para cualquier valor de α: el giro conserva longitudes y áreas. La orientación tampoco cambia: si $A$, $B$, $C$ están en sentido antihorario, $A'$, $B'$, $C'$ también.

   Con $α = 180^\circ$ la imagen coincide con Refleja(pol, O): el giro de $180^\circ$ es la simetría central de centro $O$.

2. Ejemplo 2. Dos simetrías de ejes paralelos investigación en GeoGebra (composición)

   Crea el triángulo de vértices $(-6, 1)$, $(-4, 1)$ y $(-6, 4)$, el deslizador d = Deslizador(0, 5, 0.5), las rectas r: x = 0 y s: x = d, y la figura Refleja(Refleja(pol, r), s). ¿Qué movimiento lleva el triángulo original a la última figura? ¿Qué relación hay con $d$?

   Resolución

   La figura final es el triángulo original trasladado en horizontal. Con $d = 1{,}5$, por ejemplo, los vértices pasan a $(-3, 1)$, $(-1, 1)$, $(-3, 4)$: se han movido $(3, 0)$. Moviendo el deslizador se ve que el desplazamiento es siempre $2d$: la composición de dos simetrías de ejes paralelos a distancia $d$ es una traslación de módulo $2d$, perpendicular a los ejes.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Investiga con GeoGebra y completa la tabla con «sí» o «no».

   	Longitudes	Ángulos	Área	Orientación	Cada lado imagen es paralelo al original
   Traslación
   Giro de $90^\circ$
   Simetría central
   Simetría axial

   Ver solución

   Longitudes, ángulos y área: sí en todos. Orientación: sí, sí, sí, no. Lados paralelos: sí, no, sí, no (en general).

   Los cuatro movimientos conservan longitudes, ángulos y áreas.

   • Orientación: la conservan la traslación, el giro y la simetría central; la simetría axial la invierte.
   • Lados paralelos a los originales: en la traslación y en la simetría central (giro de $180^\circ$), sí; en el giro de $90^\circ$ cada lado queda perpendicular al original; en la simetría axial, solo los lados paralelos o perpendiculares al eje quedan paralelos a su original.

2. 2. Media

   Crea el punto $A = (4, 1)$, el deslizador β = Deslizador(0°, 180°, 1°), la recta r: y = 0 y la recta s = Rota(r, β, (0, 0)), que forma un ángulo β con $r$. Escribe A'' = Refleja(Refleja(A, r), s).

   a) Con $β = 30^\circ$, ¿cuáles son las coordenadas de $A''$ (dos decimales)?

   b) Mide Ángulo(A, (0, 0), A'') para varios valores de β. ¿Qué conjetura haces?

   Ver solución

   a) $(1{,}13;\ 3{,}96)$. b) El ángulo es $2β$: la composición es un giro de centro $(0, 0)$ y ángulo $2β$.

   a) Con $β = 30^\circ$: $A$ va primero a $(4, -1)$ y luego a $A''(1{,}13;\ 3{,}96)$.

   b) Con $β = 30^\circ$ el ángulo es $60^\circ$; con $β = 45^\circ$, $90^\circ$; con $β = 60^\circ$, $120^\circ$… Siempre el doble: dos simetrías de ejes que se cortan en $O$ formando un ángulo β equivalen a un giro de centro $O$ y ángulo $2β$. Además, $OA = OA''$.

3. 3. Difícil

   Investiga qué movimiento resulta al aplicar dos simetrías centrales seguidas. Crea los puntos libres $A = (0, 0)$, $B = (3, 1)$ y $P = (1, 2)$, y calcula P'' = Refleja(Refleja(P, A), B).

   a) ¿Qué coordenadas tiene $P''$?

   b) Arrastra $P$: ¿qué tienen en común el vector $\overrightarrow{PP''}$ y el vector $\overrightarrow{AB}$?

   c) ¿Qué movimiento es la composición?

   Ver solución

   a) $(7, 4)$. b) $\overrightarrow{PP''} = (6, 2) = 2 \cdot \overrightarrow{AB}$, sea cual sea $P$. c) Una traslación de vector $2\overrightarrow{AB}$.

   a) Simetría de centro $A$: $P(1, 2) \to (-1, -2)$. Simetría de centro $B$: de $(-1, -2)$ a $B$ hay $(4, 3)$; desde $B$: $(7, 4)$.

   b) $\overrightarrow{PP''} = (7 - 1,\ 4 - 2) = (6, 2)$ y $\overrightarrow{AB} = (3, 1)$: es el doble. Al arrastrar $P$, el vector $\overrightarrow{PP''}$ no cambia.

   c) Todos los puntos se mueven con el mismo vector: es una traslación de vector $2\overrightarrow{AB}$. Tiene sentido: cada simetría central es un giro de $180^\circ$ y, al sumar $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$, la figura queda sin girar, solo desplazada.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Con un deslizador α, gira un cuadrado alrededor de su centro. ¿Para qué valores de α entre $0^\circ$ y $360^\circ$ el cuadrado coincide consigo mismo? ¿Y si es un hexágono regular?

   Ver solución

   Cuadrado: $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ y $360^\circ$. Hexágono: múltiplos de $60^\circ$.

   El cuadrado se repite cada $\dfrac{360^\circ}{4} = 90^\circ$: coincide para $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ y $360^\circ$ (y $0^\circ$). El hexágono regular, cada $\dfrac{360^\circ}{6} = 60^\circ$: $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$, $300^\circ$ y $360^\circ$.

2. 2. Media

   Sin ordenador: aplicamos al origen $O(0, 0)$ la simetría central de centro $A(1, 1)$ y después la de centro $B(-2, 3)$. ¿Dónde acaba? Comprueba que se ha trasladado con el vector $2\overrightarrow{AB}$.

   Ver solución

   En $(-6, 4)$; $2\overrightarrow{AB} = (-6, 4)$.

   Centro $A(1, 1)$: $O \to (2, 2)$. Centro $B(-2, 3)$: de $(2, 2)$ a $B$ hay $(-4, 1)$; desde $B$: $(-6, 4)$. $\overrightarrow{AB} = (-2 - 1,\ 3 - 1) = (-3, 2)$ y $2\overrightarrow{AB} = (-6, 4)$. ✔

3. 3. Difícil

   Las huellas que dejamos al andar por la arena se obtienen unas de otras con un movimiento nuevo: una simetría axial seguida de una traslación paralela al eje. Para estudiarlo, aplica al triángulo de vértices $(0, 1)$, $(1, 1)$ y $(0, 3)$ la simetría de eje $x$ y después la traslación de vector $(3, 0)$.

   a) ¿Qué figura obtienes?

   b) ¿Conserva la orientación?

   c) Aplica el mismo movimiento a la figura obtenida. ¿Qué movimiento lleva el triángulo inicial a la última figura?

   Ver solución

   a) $(3, -1)$, $(4, -1)$, $(3, -3)$. b) No. c) La traslación de vector $(6, 0)$.

   a) Simetría de eje $x$: $(0, -1)$, $(1, -1)$, $(0, -3)$. Traslación $(3, 0)$: $(3, -1)$, $(4, -1)$, $(3, -3)$.

   b) No: incluye una simetría axial, que da la vuelta a la figura (como el pie izquierdo y el derecho).

   c) Repitiendo: $(3, 1)$, $(4, 1)$, $(3, 3)$ y después $(6, 1)$, $(7, 1)$, $(6, 3)$. Es el triángulo inicial trasladado $(6, 0)$: dos «pasos» del mismo pie.