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Explicación

Componer movimientos

Componer dos movimientos es aplicar el primero a una figura $F$ (se obtiene $F'$ ) y después el segundo a $F'$ (se obtiene $F''$ ). El resultado es otro movimiento, que lleva $F$ directamente a $F''$ .

Primero	Después	Resultado
Traslación de vector $\vec{u}$	Traslación de vector $\vec{v}$	Traslación de vector $\vec{u} + \vec{v}$
Giro de centro $O$ y ángulo $\alpha$	Giro de centro $O$ y ángulo $\beta$	Giro de centro $O$ y ángulo $\alpha + \beta$
Simetría de eje $e_1$	Simetría de eje $e_2$ , paralelo a $e_1$	Traslación
Simetría de eje $e_1$	Simetría de eje $e_2$ , secante a $e_1$ en $O$	Giro de centro $O$

Dos simetrías de ejes paralelos

Si los ejes están a una distancia $d$ , el resultado es una traslación:

su vector es perpendicular a los ejes;
su módulo es $2d$ , el doble de la distancia entre los ejes;
su sentido va del primer eje hacia el segundo.

Dos simetrías de ejes secantes

Si los ejes se cortan en $O$ formando un ángulo $\beta$ , el resultado es un giro de centro $O$ y ángulo $2\beta$ , el doble del ángulo entre los ejes, en el sentido que va del primer eje al segundo. Si los ejes son perpendiculares ( $\beta = 90^\circ$ ), el giro es de $180^\circ$ : una simetría central de centro $O$ .

El orden importa

Al cambiar el orden de las dos simetrías, el resultado cambia: la traslación tiene el vector opuesto y el giro tiene el ángulo opuesto.

¿Por qué sale una traslación o un giro? Cada simetría axial da la vuelta a la figura; al aplicar dos, la figura vuelve a quedar «del derecho». Por eso el resultado es un movimiento directo.

Puntos clave

Componer: aplicar un movimiento y, a la figura obtenida, otro.
Dos traslaciones: se suman los vectores. Dos giros del mismo centro: se suman los ángulos.
Dos simetrías de ejes paralelos a distancia $d$ : traslación perpendicular a los ejes, de módulo $2d$ , del primer eje hacia el segundo.
Dos simetrías de ejes secantes con ángulo $\beta$ : giro con centro en el punto de corte y ángulo $2\beta$ ; si son perpendiculares, simetría central.
En la composición de simetrías el orden importa.

Errores frecuentes

ErrorPensar que la traslación mide lo mismo que la distancia entre los ejes.
Cómo corregirloMide el doble: comprueba con un punto, que pasa al otro lado del primer eje y luego al otro lado del segundo.
ErrorDar como ángulo del giro el ángulo que forman los ejes.
Cómo corregirloEl giro es del doble del ángulo entre los ejes: con ejes a $45^\circ$ sale un giro de $90^\circ$ .
ErrorAplicar la segunda simetría a la figura original en lugar de a la imagen de la primera.
Cómo corregirloLa segunda simetría se aplica a $F'$ , no a $F$ . Escribe $F \to F' \to F''$ y no te saltes ningún paso.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos espejos paralelos gráfico (ejes paralelos)
Al triángulo $F$ de vértices $(-8, 0)$ , $(-6, 0)$ y $(-8, 3)$ le aplicamos la simetría de eje $e_1$ : $x = -5$ y, a la figura obtenida, la simetría de eje $e_2$ : $x = -1$ . ¿Qué movimiento lleva $F$ a $F''$ directamente?

Resolución
1. Simetría de eje $x = -5$ : $(-8, 0) \to (-2, 0)$ ; $(-6, 0) \to (-4, 0)$ ; $(-8, 3) \to (-2, 3)$ . Es $F'$ , dado la vuelta.
2. Simetría de eje $x = -1$ aplicada a $F'$ : $(-2, 0) \to (0, 0)$ ; $(-4, 0) \to (2, 0)$ ; $(-2, 3) \to (0, 3)$ . Es $F''$ , otra vez «del derecho».
3. Comparamos $F$ con $F''$ : $(-8, 0) \to (0, 0)$ , $(-6, 0) \to (2, 0)$ , $(-8, 3) \to (0, 3)$ . Todos se mueven $(8, 0)$ : es la traslación de vector $(8, 0)$ .
Los ejes están a distancia $d = 4$ y la traslación mide $2d = 8$ , perpendicular a los ejes y del primero hacia el segundo (hacia la derecha).
Ejemplo 2. Dos espejos que se cortan gráfico (ejes secantes)
Al triángulo $F$ de vértices $(3, 1)$ , $(5, 1)$ y $(3, 2)$ le aplicamos la simetría de eje $e_1$ , el eje de abscisas ( $y = 0$ ), y después la simetría de eje $e_2$ , la bisectriz $y = x$ . ¿Qué movimiento lleva $F$ a $F''$ ?

Resolución
1. Simetría respecto del eje de abscisas (cambia el signo de la ordenada): $(3, -1)$ , $(5, -1)$ , $(3, -2)$ . Es $F'$ .
2. Simetría respecto de $y = x$ (se intercambian las coordenadas): $(-1, 3)$ , $(-1, 5)$ , $(-2, 3)$ . Es $F''$ .
3. Los ejes se cortan en el origen y forman un ángulo de $45^\circ$ (del eje $x$ a la bisectriz, en sentido antihorario). El resultado debe ser un giro de centro $O(0, 0)$ y ángulo $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$ .
Comprobación con la regla de la escuadra ( $(a, b) \to (-b, a)$ ): $(3, 1) \to (-1, 3)$ , $(5, 1) \to (-1, 5)$ , $(3, 2) \to (-2, 3)$ . ✔

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Qué movimiento se obtiene al componer estos giros del mismo centro $O$ ?

a) Giro de $50^\circ$ y después giro de $70^\circ$ .

b) Giro de $200^\circ$ y después giro de $250^\circ$ .

c) Giro de $30^\circ$ y después giro de $-30^\circ$ .

Ver solución
a) Giro de $120^\circ$ . b) Giro de $90^\circ$ . c) La identidad: cada punto queda en su sitio.
Se suman los ángulos: a) $50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$ . b) $200^\circ + 250^\circ = 450^\circ = 360^\circ + 90^\circ$ : una vuelta completa más $90^\circ$ , es decir, un giro de $90^\circ$ . c) $30^\circ - 30^\circ = 0^\circ$ : la figura vuelve a su posición (es la identidad).
2. Media
Consideramos los ejes horizontales $e_1$ : $y = -1$ y $e_2$ : $y = 2$ .

a) Aplica al punto $P(3, -3)$ la simetría de eje $e_1$ y después la de eje $e_2$ . ¿Qué traslación equivale a las dos?

b) Repite el apartado a) cambiando el orden: primero $e_2$ y después $e_1$ .

Ver solución
a) $(3, 1)$ y $(3, 3)$ ; traslación de vector $(0, 6)$ . b) $(3, 7)$ y $(3, -9)$ ; vector $(0, -6)$ .
a) Respecto de $y = -1$ : $P$ está 2 por debajo, va 2 por encima: $(3, 1)$ . Respecto de $y = 2$ : $(3, 1)$ está 1 por debajo, va 1 por encima: $(3, 3)$ . De $(3, -3)$ a $(3, 3)$ : vector $(0, 6)$ . Los ejes están a distancia 3 y la traslación mide $2 \cdot 3 = 6$ , hacia arriba (de $e_1$ hacia $e_2$ ).

b) Respecto de $y = 2$ : $(3, -3)$ está 5 por debajo, va 5 por encima: $(3, 7)$ . Respecto de $y = -1$ : $(3, 7)$ está 8 por encima, va 8 por debajo: $(3, -9)$ . Vector $(0, -6)$ , el opuesto.
3. Media
Aplica al punto $A(4, 2)$ la simetría de eje $x = 1$ y después la de eje $y = -2$ . Comprueba que el resultado es el mismo que el de la simetría central de centro $(1, -2)$ .

Ver solución
$(-2, 2)$ y después $(-2, -6)$ ; la simetría central de centro $(1, -2)$ también da $(-2, -6)$ .
Respecto de $x = 1$ : $A$ está 3 a la derecha, va 3 a la izquierda: $(-2, 2)$ . Respecto de $y = -2$ : $(-2, 2)$ está 4 por encima, va 4 por debajo: $(-2, -6)$ . Simetría central de centro $(1, -2)$ : de $A(4, 2)$ al centro hay $(-3, -4)$ ; desde el centro, $(1 - 3,\ -2 - 4) = (-2, -6)$ . ✔ Los ejes son perpendiculares y se cortan en $(1, -2)$ : el resultado es un giro de $2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$ , una simetría central.
4. Difícil
Ponemos dos espejos verticales unidos por un borde y formando un ángulo, y un objeto entre ellos. Una de las imágenes que vemos se forma al reflejarse la luz primero en un espejo y luego en el otro.

a) Si los espejos forman $45^\circ$ , ¿qué giro transforma el objeto en esa imagen?

b) ¿Y si forman $60^\circ$ ?

c) ¿Qué ángulo deben formar para que esa imagen sea el objeto girado media vuelta?

Ver solución
a) Giro de $90^\circ$ . b) Giro de $120^\circ$ . c) $90^\circ$
Cada espejo es una simetría axial (vista desde arriba, los espejos son dos ejes que se cortan en el borde común). La composición de las dos es un giro con centro en ese borde y ángulo el doble del que forman los espejos: a) $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$ . b) $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$ . c) Media vuelta son $180^\circ = 2 \cdot 90^\circ$ : espejos perpendiculares.
5. Difícil
Escribe la traslación de vector $(6, 0)$ como composición de dos simetrías axiales. Da dos soluciones distintas.

Ver solución
Por ejemplo, ejes $x = 0$ y $x = 3$ , o ejes $x = -2$ y $x = 1$ .
Los ejes deben ser perpendiculares al vector (verticales), estar a distancia $\dfrac{6}{2} = 3$ y el segundo a la derecha del primero. Sirven $x = 0$ y después $x = 3$ ; también $x = -2$ y después $x = 1$ , o cualquier pareja $x = a$ y $x = a + 3$ . Comprobación con $x = 0$ y $x = 3$ : $(1, 1) \to (-1, 1) \to (7, 1)$ , que es $(1 + 6,\ 1)$ . ✔

Para practicar más

1. Fácil
Indica el movimiento resultante:

a) Traslación de vector $(2, -5)$ y después traslación de vector $(-7, 1)$ .

b) Giro de centro $O$ y ángulo $135^\circ$ y después giro de centro $O$ y ángulo $-45^\circ$ .

Ver solución
a) Traslación de vector $(-5, -4)$ . b) Giro de centro $O$ y ángulo $90^\circ$ .
a) Se suman los vectores: $(2 - 7,\ -5 + 1) = (-5, -4)$ .

b) Se suman los ángulos: $135^\circ + (-45^\circ) = 90^\circ$ .
2. Media
Aplica al punto $P(-5, 4)$ la simetría de eje $x = -3$ y después la de eje $x = 2$ . ¿Qué traslación equivale a las dos? Comprueba que su módulo es el doble de la distancia entre los ejes.

Ver solución
$(-1, 4)$ y después $(5, 4)$ ; traslación de vector $(10, 0)$ .
Respecto de $x = -3$ : $P$ está 2 a la izquierda, va 2 a la derecha: $(-1, 4)$ . Respecto de $x = 2$ : $(-1, 4)$ está 3 a la izquierda, va 3 a la derecha: $(5, 4)$ . De $(-5, 4)$ a $(5, 4)$ : vector $(10, 0)$ , de módulo 10. Los ejes están a distancia $2 - (-3) = 5$ , y $2 \cdot 5 = 10$ . ✔
3. Media
Aplica al punto $R(3, 1)$ la simetría respecto del eje de abscisas y después la simetría respecto de la recta $y = -x$ (que cambia $(x, y)$ por $(-y, -x)$ ). ¿A qué giro de centro el origen equivale? Comprueba la respuesta girando el punto $-90^\circ$ alrededor del origen.

Ver solución
$(3, -1)$ y después $(1, -3)$ ; giro de $-90^\circ$ .
Eje de abscisas: $(3, 1) \to (3, -1)$ . Recta $y = -x$ : $(3, -1) \to (1, -3)$ . Los ejes se cortan en el origen y forman $45^\circ$ ; del eje $x$ positivo a la recta $y = -x$ (hacia el cuarto cuadrante) se va en el sentido de las agujas del reloj, así que el giro es de $2 \cdot (-45^\circ) = -90^\circ$ . Comprobación: con $-90^\circ$ (o $270^\circ$ ), $(a, b) \to (b, -a)$ : $(3, 1) \to (1, -3)$ . ✔
4. Difícil
Consideramos las simetrías respecto del eje de ordenadas ( $x = 0$ ) y respecto de la recta $y = -x$ .

a) Aplica al punto $S(4, 1)$ primero la de $y = -x$ y después la de $x = 0$ .

b) Aplícale primero la de $x = 0$ y después la de $y = -x$ .

c) ¿Qué giro de centro el origen equivale a cada composición? ¿Da igual el orden?

Ver solución
a) $(-1, -4)$ y después $(1, -4)$ . b) $(-4, 1)$ y después $(-1, 4)$ . c) a) $-90^\circ$ ; b) $90^\circ$ . No da igual.
a) $y = -x$ : $(4, 1) \to (-1, -4)$ . Eje de ordenadas (cambia el signo de la abscisa): $(-1, -4) \to (1, -4)$ . Con $-90^\circ$ , $(4, 1) \to (1, -4)$ . ✔

b) Eje de ordenadas: $(4, 1) \to (-4, 1)$ . $y = -x$ : $(-4, 1) \to (-1, 4)$ . Con $90^\circ$ , $(4, 1) \to (-1, 4)$ . ✔

c) Cambiar el orden cambia el sentido del giro: $-90^\circ$ en un caso y $90^\circ$ en el otro.

Composición de movimientos