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Matemáticas 3.º ESO · Taller: movimientos con geometría dinámica

Recuerda: construcción de triángulos y cuadriláteros

Objetivo: Al terminar, sabrás construir con regla, compás y transportador un triángulo conocidos tres de sus elementos (tres lados, dos lados y el ángulo comprendido, o un lado y sus dos ángulos) y los cuadriláteros más habituales, y decidir si la construcción es posible.

Recuerda

Construcciones con regla, compás y transportador

Para construir figuras usamos la regla (trazar y medir), el compás (trasladar distancias y trazar arcos), el transportador (medir y dibujar ángulos) y la escuadra y el cartabón (paralelas y perpendiculares).

Triángulos

Un triángulo queda determinado si conocemos:

Los tres lados (LLL). Dibuja un lado. Con centro en cada extremo, traza arcos con las longitudes de los otros dos lados. Donde se cortan está el tercer vértice. Solo es posible si se cumple la desigualdad triangular: el lado mayor es menor que la suma de los otros dos.
Dos lados y el ángulo comprendido (LAL). Dibuja un lado; en uno de sus extremos, dibuja el ángulo con el transportador; sobre el nuevo lado del ángulo, mide el otro lado con el compás. Une los extremos.
Un lado y sus dos ángulos contiguos (ALA). Dibuja el lado y, en cada extremo, su ángulo. Las dos semirrectas se cortan en el tercer vértice. Solo es posible si los dos ángulos suman menos de $180^\circ$ .

Cuadriláteros

Cuadrado (conocido el lado) y rectángulo (conocidos los dos lados): con ángulos rectos (escuadra) y el compás para llevar las medidas.
Rombo (lado y un ángulo) y paralelogramo (dos lados y el ángulo que forman): dibuja el ángulo con sus dos lados y completa trazando paralelas, o con arcos desde los extremos.

Para copiar un segmento basta abrir el compás con su longitud. Para copiar un ángulo, traza un arco con centro en su vértice y lleva con el compás la abertura entre los dos puntos de corte.

Con geometría dinámica

En GeoGebra se construye igual que con compás: por ejemplo, para un triángulo equilátero se dibuja un segmento $AB$ , una circunferencia con centro $A$ que pasa por $B$ y otra con centro $B$ que pasa por $A$ ; un punto de corte es $C$ . Si después arrastras $A$ o $B$ , la figura cambia de tamaño pero sigue siendo equilátera: la construcción está bien hecha. Si se deforma, es que se ha dibujado «a ojo».

Puntos clave

Un triángulo se puede construir con LLL, LAL o ALA.
Desigualdad triangular: el lado mayor debe ser menor que la suma de los otros dos.
En el caso ALA, los dos ángulos deben sumar menos de $180^\circ$ .
El compás sirve para trasladar longitudes; el transportador, para los ángulos.

Errores frecuentes

ErrorIntentar construir un triángulo con lados 2, 5 y 7 cm: los arcos se tocan en un punto de la base y el triángulo queda «aplastado».
Cómo corregirloComprueba antes la desigualdad triangular: $7 = 2 + 5$ , no es menor. No existe ese triángulo.
ErrorAbrir el compás «a ojo» o con la medida de otro lado.
Cómo corregirloAjusta la abertura del compás sobre la regla con la medida exacta antes de cada arco.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un triángulo con sus tres lados construcción con instrumentos (LLL)
Construye un triángulo $ABC$ con $AB = 6$ cm, $BC = 5$ cm y $AC = 4$ cm. Después mide su ángulo mayor.

Resolución
1. ¿Es posible? El lado mayor mide 6 cm y $4 + 5 = 9 > 6$ . Sí.
2. Dibuja $AB = 6$ cm con la regla.
3. Con centro en $A$ y abertura 4 cm, traza un arco. Con centro en $B$ y abertura 5 cm, traza otro arco que corte al primero.
4. El punto de corte es $C$ . Une $C$ con $A$ y con $B$ .
El ángulo mayor está enfrente del lado mayor: es el ángulo $C$ , y mide unos $83^\circ$ . (Los otros miden unos $56^\circ$ y $41^\circ$ ; los tres suman $180^\circ$ .)
Ejemplo 2. Un rombo de lado 4 cm y ángulo 60° construcción con instrumentos (cuadrilátero)
Construye un rombo de 4 cm de lado con un ángulo de $60^\circ$ y mide sus diagonales.

Resolución
1. Dibuja $AB = 4$ cm.
2. En $A$ , con el transportador, dibuja un ángulo de $60^\circ$ y lleva sobre el nuevo lado $AD = 4$ cm.
3. Con centro en $B$ y en $D$ y abertura 4 cm, traza dos arcos: se cortan en $C$ .
4. Une $B$ con $C$ y $D$ con $C$ .
La diagonal $BD$ mide 4 cm (el triángulo $ABD$ es equilátero) y la diagonal $AC$ , unos 6,9 cm.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
¿Se puede construir un triángulo con estos lados? Justifícalo.

a) 3 cm, 4 cm y 8 cm.

b) 5 cm, 5 cm y 9 cm.

c) 2 cm, 7 cm y 5 cm.

d) 6 cm, 8 cm y 10 cm.

Ver solución
a) No. b) Sí. c) No. d) Sí.
Comparamos el lado mayor con la suma de los otros dos: a) $8 > 3 + 4 = 7$ : no. b) $9 < 5 + 5 = 10$ : sí (isósceles). c) $7 = 2 + 5$ : no (no es menor; los arcos se tocan sobre la base). d) $10 < 6 + 8 = 14$ : sí (si lo construyes, verás que además tiene un ángulo recto: compruébalo con la escuadra).
2. Media
Construye un triángulo con dos lados de 5 cm y 7 cm que formen un ángulo de $40^\circ$ . Mide el tercer lado.

Ver solución
Unos 4,5 cm
Dibuja el lado de 7 cm; en uno de sus extremos, un ángulo de $40^\circ$ ; sobre el nuevo lado lleva 5 cm con el compás; une los extremos. El tercer lado mide unos 4,5 cm.
3. Media
a) Construye un triángulo con un lado de 6 cm y los ángulos contiguos de $50^\circ$ y $70^\circ$ . ¿Cuánto mide el tercer ángulo?

b) ¿Se puede construir un triángulo con un lado de 6 cm y ángulos contiguos de $100^\circ$ y $90^\circ$ ?

Ver solución
a) $60^\circ$ . b) No.
a) Dibuja el lado de 6 cm y, en sus extremos, ángulos de $50^\circ$ y $70^\circ$ hacia el mismo lado. Se cortan en el tercer vértice. El tercer ángulo mide $180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$ .

b) No: $100^\circ + 90^\circ = 190^\circ > 180^\circ$ . Las semirrectas se separan y no llegan a cortarse.

Para practicar más

1. Fácil
Construye un paralelogramo con lados de 6 cm y 4 cm que formen un ángulo de $120^\circ$ . Mide sus dos diagonales.

Ver solución
Unos 8,7 cm y 5,3 cm
Dibuja el lado de 6 cm, en un extremo el ángulo de $120^\circ$ y sobre él 4 cm. Completa con arcos (de 4 cm desde el otro extremo del lado de 6 cm y de 6 cm desde el extremo del lado de 4 cm) o con paralelas. La diagonal que va del vértice del ángulo de $120^\circ$ al vértice opuesto mide unos 5,3 cm, y la otra, unos 8,7 cm.
2. Media
Construye un rectángulo de 8 cm × 6 cm con regla, escuadra y compás. Mide la diagonal y comprueba la medida con el teorema de Pitágoras.

Ver solución
10 cm
Dibuja un lado de 8 cm; en sus extremos, perpendiculares con la escuadra; lleva 6 cm sobre cada una con el compás y une los extremos. La diagonal mide 10 cm: $\sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10$ cm.
3. Media
Construye un triángulo isósceles con la base de 6 cm y los lados iguales de 5 cm. Traza la altura sobre la base con la escuadra y mídela. ¿Qué relación tiene esa altura con la simetría del triángulo?

Ver solución
Altura de 4 cm; es el eje de simetría del triángulo.
Dibuja la base de 6 cm y, desde sus extremos, arcos de 5 cm que se corten: es el vértice superior. La altura cae en el punto medio de la base y mide 4 cm ( $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ ). Esa altura es el eje de simetría del triángulo: divide al triángulo en dos triángulos rectángulos simétricos.