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Matemáticas 3.º ESO · Los números reales

Recuerda: naturales, enteros, racionales e irracionales

Objetivo: Al terminar, sabrás clasificar números dados en naturales, enteros, racionales e irracionales.

Recuerda

Los conjuntos numéricos

¿Por qué hacen falta nuevos números? Para contar bastan los naturales (28 alumnos). Para temperaturas bajo cero o plantas de un aparcamiento hacen falta los enteros ( $-3$ ). Para repartir (media pizza, 2,35 €) necesitamos las fracciones y los decimales. Y al medir aparecen números con infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, como $\pi = 3{,}14159\ldots$

Conjunto	Símbolo	Qué números tiene	Ejemplos
Naturales	$\mathbb{N}$	Los que sirven para contar: $0, 1, 2, 3, \ldots$	$5$ , $120$ , $\dfrac{12}{4} = 3$
Enteros	$\mathbb{Z}$	Los naturales y sus opuestos: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$	$-7$ , $0$ , $-\sqrt{16} = -4$
Racionales	$\mathbb{Q}$	Los que se pueden escribir como fracción $\dfrac{a}{b}$ de enteros ( $b \neq 0$ ): decimales exactos o periódicos	$\dfrac{2}{5}$ , $-1{,}25$ , $0{,}\widehat{4}$
Irracionales	$\mathbb{I}$	Decimales con infinitas cifras no periódicas; no son fracciones	$\sqrt{11}$ , $\pi$ , $-\sqrt{2}$

(Algunos libros no incluyen el 0 entre los naturales.)

Todo natural es también entero, y todo entero es también racional: $5 = \dfrac{5}{1}$ , $-7 = \dfrac{-7}{1}$ .
Un número es racional o irracional, pero nunca las dos cosas.
Antes de clasificar, simplifica: $\dfrac{12}{4} = 3$ es natural; $-\sqrt{16} = -4$ es entero.

En un diagrama de conjuntos, el óvalo de $\mathbb{N}$ va dentro del de $\mathbb{Z}$ , y este dentro del de $\mathbb{Q}$ . El de $\mathbb{I}$ va aparte, sin tocar a $\mathbb{Q}$ .

Puntos clave

$\mathbb{N}$ : naturales; $\mathbb{Z}$ : enteros; $\mathbb{Q}$ : racionales (fracciones); $\mathbb{I}$ : irracionales.
Todo natural es entero y todo entero es racional.
Racional: decimal exacto o periódico. Irracional: decimal infinito no periódico.
Simplifica antes de clasificar.

Errores frecuentes

ErrorClasificar $\dfrac{12}{4}$ solo como racional «porque es una fracción».
Cómo corregirlo $\dfrac{12}{4} = 3$ : es natural, y por tanto también entero y racional. Marca todos los conjuntos a los que pertenece.
ErrorDecir que $-\sqrt{16}$ es irracional porque lleva una raíz.
Cómo corregirlo $\sqrt{16} = 4$ es exacta: $-\sqrt{16} = -4$ es entero.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Una tabla de clasificación clasificar (tabla)

Indica a qué conjuntos ( $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{I}$ ) pertenece cada número: $7$ , $-3$ , $\dfrac{2}{5}$ , $-1{,}25$ , $0{,}\widehat{4}$ , $\sqrt{11}$ , $-\sqrt{16}$ , $\pi$ , $\dfrac{12}{4}$ .

Resolución

Número	$\mathbb{N}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Q}$	$\mathbb{I}$
$7$	✔	✔	✔
$-3$		✔	✔
$\dfrac{2}{5}$			✔
$-1{,}25$			✔
$0{,}\widehat{4}$			✔
$\sqrt{11}$				✔
$-\sqrt{16} = -4$		✔	✔
$\pi$				✔
$\dfrac{12}{4} = 3$	✔	✔	✔

Fíjate: los naturales tienen tres marcas, porque también son enteros y racionales.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Clasifica en una tabla como la del ejemplo: $-8$ , $\dfrac{18}{6}$ , $-\dfrac{3}{4}$ , $2{,}\widehat{7}$ , $\sqrt{25}$ , $\sqrt{13}$ , $0{,}009$ , $-\pi$ .

Ver solución
$\mathbb{N}$ : $\dfrac{18}{6}$ , $\sqrt{25}$ . $\mathbb{Z}$ : además $-8$ . $\mathbb{Q}$ : además $-\dfrac{3}{4}$ , $2{,}\widehat{7}$ , $0{,}009$ . $\mathbb{I}$ : $\sqrt{13}$ , $-\pi$ .
$\dfrac{18}{6} = 3$ y $\sqrt{25} = 5$ : naturales, enteros y racionales. $-8$ : entero y racional. $-\dfrac{3}{4}$ , $2{,}\widehat{7}$ (periódico) y $0{,}009$ (exacto): solo racionales. $\sqrt{13}$ (raíz no exacta) y $-\pi$ : irracionales.
2. Fácil
Escribe un ejemplo de cada caso: a) Un número entero que no sea natural. b) Un número racional que no sea entero. c) Un número irracional negativo. d) Una fracción que sea un número natural.

Ver solución
Por ejemplo: a) $-6$ ; b) $0{,}5$ ; c) $-\sqrt{3}$ ; d) $\dfrac{20}{5}$ .
a) Cualquier entero negativo: $-6$ . b) $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ . c) $-\sqrt{3} = -1{,}732\ldots$ d) $\dfrac{20}{5} = 4$ .
3. Media
¿Verdadero o falso? a) $-5$ es un número natural. b) Todo número natural es racional. c) $0{,}\widehat{3}$ es irracional porque tiene infinitas cifras.

Ver solución
a) F. b) V. c) F.
a) Falso: es entero negativo. b) Verdadero: $n = \dfrac{n}{1}$ . c) Falso: es periódico, $0{,}\widehat{3} = \dfrac{1}{3}$ , racional.

Para practicar más

1. Fácil
Clasifica en $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$ (todos los conjuntos a los que pertenezca): $12$ , $-\dfrac{18}{6}$ , $1{,}\widehat{36}$ , $\sqrt{20}$ , $-0{,}5$ , $\sqrt{81}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ .

Ver solución
$12$ y $\sqrt{81}$ : $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ . $-\dfrac{18}{6}$ : $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ . $1{,}\widehat{36}$ , $-0{,}5$ : $\mathbb{Q}$ . $\sqrt{20}$ , $\dfrac{\pi}{4}$ : $\mathbb{I}$ .
$\sqrt{81} = 9$ ; $-\dfrac{18}{6} = -3$ ; $1{,}\widehat{36}$ es periódico y $-0{,}5$ es exacto (racionales); $\sqrt{20}$ no es exacta y $\dfrac{\pi}{4}$ tiene infinitas cifras no periódicas (irracionales).
2. Media
Dibuja un diagrama de conjuntos con $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ y sitúa en él: $4$ , $-4$ , $\dfrac{1}{4}$ , $\sqrt{4}$ , $\sqrt{5}$ , $-2{,}\widehat{1}$ .

Ver solución
$4$ y $\sqrt{4}$ en $\mathbb{N}$ ; $-4$ en $\mathbb{Z}$ fuera de $\mathbb{N}$ ; $\dfrac{1}{4}$ y $-2{,}\widehat{1}$ en $\mathbb{Q}$ fuera de $\mathbb{Z}$ ; $\sqrt{5}$ en $\mathbb{I}$ .
Óvalo de $\mathbb{N}$ dentro del de $\mathbb{Z}$ , dentro del de $\mathbb{Q}$ ; óvalo de $\mathbb{I}$ aparte. $\sqrt{4} = 2$ va con el 4 en $\mathbb{N}$ . $-4$ en la parte de $\mathbb{Z}$ que no es $\mathbb{N}$ . $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ y $-2{,}\widehat{1}$ en la parte de $\mathbb{Q}$ que no es $\mathbb{Z}$ . $\sqrt{5}$ en $\mathbb{I}$ .
3. Media
Escribe un número de cada tipo: a) racional negativo no entero; b) irracional entre 1 y 2; c) natural escrito como raíz cuadrada.

Ver solución
Por ejemplo: a) $-\dfrac{2}{3}$ ; b) $\sqrt{3}$ ; c) $\sqrt{49} = 7$ .
a) $-\dfrac{2}{3} = -0{,}\widehat{6}$ . b) $\sqrt{3} = 1{,}73\ldots$ (o $\sqrt{2}$ ). c) $\sqrt{49} = 7$ .