Los números reales: relaciones entre los conjuntos numéricos

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorPensar que un número con raíz siempre es irracional: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ «es irracional».

  Cómo corregirloSimplifica: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$, que es natural.

• ErrorEscribir $\mathbb{Q} \subset \mathbb{I}$ o colocar el óvalo de $\mathbb{I}$ dentro del de $\mathbb{Q}$.

  Cómo corregirlo$\mathbb{Q}$ e $\mathbb{I}$ no tienen ningún número en común; los dos están dentro de $\mathbb{R}$.

• ErrorDecir que $\sqrt{-9} = -3$.

  Cómo corregirlo$(-3)^2 = 9$, no $-9$. Ningún número real al cuadrado da $-9$: $\sqrt{-9}$ no es real.

• ErrorConfundir $\in$ con $\subset$: escribir $5 \subset \mathbb{N}$.

  Cómo corregirlo$\in$ relaciona un número con un conjunto ($5 \in \mathbb{N}$); $\subset$ relaciona dos conjuntos ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$).

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Simplificar antes de clasificar clasificar expresiones con raíces y π

   Clasifica cada número indicando el conjunto más pequeño ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$) al que pertenece, o di si no es real: a) $-\sqrt{25}$ b) $\sqrt{\dfrac{4}{9}}$ c) $\sqrt{0{,}09}$ d) $3\pi$ e) $1 - \sqrt{2}$ f) $\left(\sqrt{7}\right)^2$ g) $\sqrt{-9}$

   Resolución

   a) $-\sqrt{25} = -5 \in \mathbb{Z}$. b) $\sqrt{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{2}{3} \in \mathbb{Q}$. c) $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3 \in \mathbb{Q}$ (porque $0{,}3^2 = 0{,}09$). d) $3\pi = 9{,}424\ldots \in \mathbb{I}$ (un racional por un irracional). e) $1 - \sqrt{2} = -0{,}414\ldots \in \mathbb{I}$ (un racional más un irracional). f) $\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7 \in \mathbb{N}$. g) $\sqrt{-9}$ no es real: ningún real al cuadrado da $-9$.

2. Ejemplo 2. ¿Verdadero o falso? Razona argumentar (verdadero/falso)

   Di si es verdadero o falso. Si es falso, da un contraejemplo. a) Todo número entero es racional. b) Todo número decimal es racional. c) La raíz cuadrada de un número natural es siempre irracional. d) Hay números reales que no son racionales.

   Resolución

   a) Verdadero: cualquier entero se escribe como fracción, $-6 = \dfrac{-6}{1}$. b) Falso: $\sqrt{3} = 1{,}732\ldots$ es un número decimal (infinito no periódico) y es irracional. Solo los decimales exactos y periódicos son racionales. c) Falso: $\sqrt{36} = 6$ es natural. d) Verdadero: los irracionales, como $\pi$, son reales y no son racionales.

3. Ejemplo 3. Mirar la expresión decimal análisis de la expresión decimal

   Indica si cada número es racional o irracional por su expresión decimal: a) $2{,}343434\ldots$ (se repite «34») b) $2{,}3434434443\ldots$ (cada vez un 4 más) c) $-0{,}1\widehat{2}$ d) La calculadora da $0{,}428\,571\,4$ para $3 : 7$.

   Resolución

   a) Periódico puro ($2{,}\widehat{34}$): racional. b) Infinito y no periódico (los bloques cambian): irracional. c) Periódico mixto: racional. d) Es una fracción, $\dfrac{3}{7}$: racional. La calculadora no muestra el periodo completo: $\dfrac{3}{7} = 0{,}\widehat{428571}$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Completa con $\in$ o $\notin$: a) $-4 \;\square\; \mathbb{N}$ b) $-4 \;\square\; \mathbb{Z}$ c) $\dfrac{3}{5} \;\square\; \mathbb{Z}$ d) $\dfrac{3}{5} \;\square\; \mathbb{Q}$ e) $\sqrt{7} \;\square\; \mathbb{Q}$ f) $\sqrt{7} \;\square\; \mathbb{R}$ g) $\pi \;\square\; \mathbb{I}$ h) $0{,}\widehat{3} \;\square\; \mathbb{I}$

   Ver solución

   a) $\notin$ b) $\in$ c) $\notin$ d) $\in$ e) $\notin$ f) $\in$ g) $\in$ h) $\notin$

   a) $-4$ es negativo: no es natural. b) Sí es entero. c) $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$ no es entero. d) Es racional. e) $\sqrt{7}$ es irracional. f) Todo irracional es real. g) Sí. h) $0{,}\widehat{3} = \dfrac{1}{3}$ es racional, así que no es irracional.

2. 2. Media

   Simplifica y clasifica en el conjunto más pequeño ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{I}$), o di si no es real: a) $\sqrt{\dfrac{25}{16}}$ b) $\sqrt{0{,}49}$ c) $\left(\sqrt{11}\right)^2$ d) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ e) $\dfrac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$ f) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$ g) $5 - \sqrt{5}$ h) $\sqrt{-16}$

   Ver solución

   a) $\dfrac{5}{4} \in \mathbb{Q}$ b) $0{,}7 \in \mathbb{Q}$ c) $11 \in \mathbb{N}$ d) $6 \in \mathbb{N}$ e) $5 \in \mathbb{N}$ f) $\sqrt{6} \in \mathbb{I}$ g) $\in \mathbb{I}$ h) no es real.

   a) $\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \dfrac{5}{4}$. b) $0{,}7^2 = 0{,}49$, así que $\sqrt{0{,}49} = 0{,}7$. c) $11$. d) $\sqrt{36} = 6$. e) $\sqrt{\dfrac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5$. f) $\sqrt{6}$, raíz no exacta: irracional. g) Racional menos irracional: irracional ($2{,}763\ldots$). h) Ningún real al cuadrado da $-16$.

3. 3. Media

   Verdadero o falso. Si es falso, da un contraejemplo. a) $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. b) Todo número racional es entero. c) Hay números que son a la vez racionales e irracionales. d) Todo número real es racional o irracional. e) El opuesto de un número natural es natural.

   Ver solución

   a) V b) F ($\dfrac{1}{2}$) c) F d) V e) F ($-3$)

   a) Verdadero: todo entero es una fracción de denominador 1. b) Falso: $\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ es racional y no es entero. c) Falso: un número es racional (exacto o periódico) o irracional (no periódico), nunca las dos cosas. d) Verdadero: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$. e) Falso: el opuesto de 3 es $-3$, que no es natural.

4. 4. Media

   Escribe, si es posible, un número que cumpla cada condición. Si no es posible, explica por qué. a) Real pero no racional. b) Racional y no real. c) Irracional y mayor que 10. d) Entero y no racional. e) Real que no sea ni racional ni irracional.

   Ver solución

   a) $\sqrt{2}$ b) No existe. c) $\sqrt{101}$ d) No existe. e) No existe.

   a) Cualquier irracional: $\sqrt{2}$, $\pi$. b) Imposible: $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, todo racional es real. c) Por ejemplo, $\sqrt{101} = 10{,}04\ldots$ o $10 + \pi$. d) Imposible: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$. e) Imposible: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.

5. 5. Difícil

   Calcula y clasifica cada resultado: a) $\sqrt{2} + \left(2 - \sqrt{2}\right)$ b) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20}$ c) $\left(1 + \sqrt{2}\right) - \sqrt{2}$ d) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ ¿Es siempre irracional la suma o el producto de dos números irracionales?

   Ver solución

   a) $2 \in \mathbb{N}$ b) $10 \in \mathbb{N}$ c) $1 \in \mathbb{N}$ d) irracional ($3{,}146\ldots$). No siempre: la suma o el producto de dos irracionales puede ser racional.

   a) $\sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} = 2$. b) $\sqrt{100} = 10$. c) $1 + \sqrt{2} - \sqrt{2} = 1$. d) $1{,}414\ldots + 1{,}732\ldots = 3{,}146\ldots$, irracional. En a), b) y c) se operan dos irracionales y sale un natural: la suma o el producto de dos irracionales no siempre es irracional.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Completa con $\in$, $\notin$ o $\subset$ según corresponda: a) $-\sqrt{9} \;\square\; \mathbb{Z}$ b) $1{,}0\widehat{6} \;\square\; \mathbb{I}$ c) $\mathbb{N} \;\square\; \mathbb{Q}$ d) $\dfrac{\pi}{2} \;\square\; \mathbb{Q}$ e) $\mathbb{I} \;\square\; \mathbb{R}$ f) $\sqrt{\dfrac{1}{100}} \;\square\; \mathbb{Q}$

   Ver solución

   a) $\in$ b) $\notin$ c) $\subset$ d) $\notin$ e) $\subset$ f) $\in$

   a) $-\sqrt{9} = -3 \in \mathbb{Z}$. b) Periódico mixto, racional: $\notin \mathbb{I}$. c) Dos conjuntos: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$. d) Irracional: $\notin \mathbb{Q}$. e) $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$. f) $\sqrt{\dfrac{1}{100}} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1 \in \mathbb{Q}$.

2. 2. Media

   Simplifica y clasifica en el conjunto más pequeño, o di si no es real: a) $\sqrt{1{,}44}$ b) $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$ c) $-\sqrt{\dfrac{81}{4}}$ d) $2\sqrt{3}$ e) $\sqrt{-1}$ f) $\pi - 3$

   Ver solución

   a) $1{,}2 \in \mathbb{Q}$ b) $3 \in \mathbb{N}$ c) $-\dfrac{9}{2} \in \mathbb{Q}$ d) $\in \mathbb{I}$ e) no es real f) $\in \mathbb{I}$

   a) $1{,}2^2 = 1{,}44$. b) $\sqrt{9} = 3$. c) $-\dfrac{9}{2} = -4{,}5$. d) Racional por irracional: irracional. e) Ningún real al cuadrado da $-1$. f) Irracional menos racional: irracional ($0{,}141\,59\ldots$).

3. 3. Media

   Indica si es racional o irracional por su expresión decimal: a) $5{,}0$ b) $0{,}717\,717\,717\ldots$ c) $0{,}7\,17\,117\,1117\ldots$ (cada vez un 1 más) d) $-3{,}2\widehat{45}$ e) La calculadora da $2{,}645\,751\,3$ al calcular $\sqrt{7}$.

   Ver solución

   a) Racional b) Racional c) Irracional d) Racional e) Irracional

   a) Exacto (es el entero 5). b) Periódico puro, $0{,}\widehat{717}$. c) No se repite ningún bloque fijo. d) Periódico mixto. e) $\sqrt{7}$ es raíz no exacta: irracional, aunque la pantalla solo muestre unas cifras.

4. 4. Media

   Verdadero o falso. Razónalo con un ejemplo o un contraejemplo. a) Todo número irracional es real. b) Hay números enteros que no son naturales. c) Si un número tiene infinitas cifras decimales, es irracional. d) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$ es irracional.

   Ver solución

   a) V b) V c) F d) F

   a) Verdadero: $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$. b) Verdadero: $-2 \in \mathbb{Z}$ y $-2 \notin \mathbb{N}$. c) Falso: $0{,}\widehat{6}$ tiene infinitas cifras y es racional ($\dfrac{2}{3}$). d) Falso: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$, natural.

5. 5. Difícil

   Explica para qué hace falta cada ampliación de los conjuntos numéricos dando una operación o una medida que no se pueda hacer en el conjunto anterior: a) De $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$. b) De $\mathbb{Z}$ a $\mathbb{Q}$. c) De $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R}$.

   Ver solución

   Por ejemplo: a) $2 - 7$; b) $2 : 7$; c) la diagonal de un cuadrado de lado 1 ($\sqrt{2}$).

   a) $2 - 7 = -5$ no es natural: hacen falta los enteros (temperaturas bajo cero, deudas…). b) $2 : 7 = \dfrac{2}{7}$ no es entero: hacen falta los racionales (repartos, medidas con decimales). c) La diagonal de un cuadrado de lado 1 mide $\sqrt{2}$, que no es racional; también la longitud de una circunferencia de diámetro 1, $\pi$: hacen falta los irracionales y, con ellos, los reales.