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Matemáticas 3.º ESO · Números irracionales. Representación en la recta

Representar raíces cuadradas en la recta con el teorema de Pitágoras

Objetivo: Al terminar, sabrás representar de forma exacta en la recta numérica raíces cuadradas como √2, √5 o √13 construyendo triángulos rectángulos con regla y compás.

Explicación

Recuerda: el teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: $a^2 = b^2 + c^2 \qquad\Rightarrow\qquad a = \sqrt{b^2 + c^2}$

Representar $\sqrt{2}$ de forma exacta

Una aproximación como 1,41 no sirve para situar $\sqrt{2}$ exactamente en la recta. Pero sí podemos construir un segmento que mida exactamente $\sqrt{2}$ :

Dibuja la recta y marca el 0 y el 1 (elige una unidad cómoda, por ejemplo 2 cm).
En el punto 1, levanta un segmento perpendicular a la recta de 1 unidad de longitud.
Une el 0 con el extremo de ese segmento. Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 1 y 1: $\text{hipotenusa} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
Pincha el compás en el 0, ábrelo hasta el extremo de la hipotenusa y traza un arco hasta cortar la recta. El punto de corte es $\sqrt{2}$ .

Representar $\sqrt{n}$ en general

Busca dos números cuyos cuadrados sumen $n$ : $n = a^2 + b^2$ . Después dibuja un triángulo rectángulo con un cateto de longitud $a$ sobre la recta (desde el 0) y otro de longitud $b$ , perpendicular, en el punto $a$ . El arco con centro en 0 que pasa por el extremo de la hipotenusa corta la recta en $\sqrt{n}$ .

Número	Suma de cuadrados	Catetos
$\sqrt{5}$	$5 = 2^2 + 1^2$	2 y 1
$\sqrt{8}$	$8 = 2^2 + 2^2$	2 y 2
$\sqrt{10}$	$10 = 3^2 + 1^2$	3 y 1
$\sqrt{13}$	$13 = 3^2 + 2^2$	3 y 2

Para representar $-\sqrt{n}$ , el arco se traza hacia la izquierda del 0.
Si $n$ no es suma de dos cuadrados de números enteros (como 3 o 6), se usa como cateto una hipotenusa ya construida: $3 = (\sqrt{2})^2 + 1^2$ , $6 = (\sqrt{5})^2 + 1^2$ .

La espiral de Teodoro

Encadenando triángulos rectángulos con un cateto de 1 unidad se obtienen, una tras otra, todas las raíces: a partir del triángulo de catetos 1 y 1 (hipotenusa $\sqrt{2}$ ), se levanta sobre esa hipotenusa un cateto de 1 y se obtiene $\sqrt{3}$ ; después $\sqrt{4} = 2$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{6}$ … La figura parece una espiral.

Puntos clave

Con el teorema de Pitágoras se construye un segmento que mide exactamente $\sqrt{n}$ ; con el compás se lleva a la recta.
Para $\sqrt{n}$ , busca $n = a^2 + b^2$ y usa catetos $a$ y $b$ .
El compás se pincha siempre en el 0 (o en el punto desde el que empieza el cateto que está sobre la recta).
$-\sqrt{n}$ se representa con el arco hacia la izquierda.
Si $n$ no es suma de dos cuadrados enteros, se usa como cateto una raíz ya construida (espiral de Teodoro).

Errores frecuentes

ErrorSituar $\sqrt{2}$ midiendo 1,41 unidades con la regla y decir que es su posición exacta.
Cómo corregirloEso es una aproximación. La construcción con el triángulo y el compás da la posición exacta (con la precisión del dibujo).
ErrorPinchar el compás en el extremo del cateto horizontal (en el 2 para $\sqrt{5}$ ) en lugar de en el 0.
Cómo corregirloEl radio del arco tiene que ser la hipotenusa, que empieza en el 0: el compás se pincha en el 0.
ErrorUsar catetos que suman $n$ en lugar de catetos cuyos cuadrados suman $n$ : para $\sqrt{5}$ , catetos 3 y 2.
Cómo corregirloComprueba con Pitágoras: $3^2 + 2^2 = 13$ , que daría $\sqrt{13}$ . Para $\sqrt{5}$ : $2^2 + 1^2 = 5$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Representar $\sqrt{5}$ construcción con regla y compás
Representa $\sqrt{5}$ de forma exacta en la recta numérica y comprueba el resultado con la calculadora.

Resolución
1. Buscamos dos cuadrados que sumen 5: $5 = 4 + 1 = 2^2 + 1^2$ . Los catetos miden 2 y 1.
2. Dibujamos la recta con el 0, el 1, el 2 y el 3. En el punto 2 levantamos un segmento perpendicular de 1 unidad.
3. Unimos el 0 con el extremo de ese segmento: la hipotenusa mide $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ .
4. Con el compás pinchado en el 0 y abierto hasta el extremo de la hipotenusa, trazamos un arco que corta la recta entre el 2 y el 3. Ese punto es $\sqrt{5}$ .
Comprobación: $\sqrt{5} = 2{,}236\ldots$ ; el punto queda un poco a la derecha del 2, como en el dibujo.
Ejemplo 2. La espiral de Teodoro: $\sqrt{3}$ construcción encadenada
Representa $\sqrt{3}$ en la recta. Ten en cuenta que 3 no es la suma de los cuadrados de dos números enteros.

Resolución
1. Primero construimos $\sqrt{2}$ : triángulo de catetos 1 y 1 con un cateto sobre la recta, de 0 a 1. Su hipotenusa mide $\sqrt{2}$ .
2. En el extremo de esa hipotenusa levantamos un segmento perpendicular a la hipotenusa de 1 unidad.
3. Unimos el 0 con el extremo nuevo. Esta hipotenusa mide $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$ .
4. Con el compás pinchado en el 0 llevamos esa longitud a la recta: obtenemos $\sqrt{3} = 1{,}732\ldots$
Si seguimos añadiendo triángulos con un cateto de 1, obtenemos $\sqrt{4} = 2$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{6}$ … Es la espiral de Teodoro.
Ejemplo 3. Un número negativo: $-\sqrt{10}$ construcción (sentido negativo)
Representa $-\sqrt{10}$ en la recta numérica.

Resolución
1. $10 = 9 + 1 = 3^2 + 1^2$ : catetos 3 y 1.
2. Dibujamos el cateto de 3 unidades sobre la recta, desde el 0 hacia la izquierda (hasta el $-3$ ), y en el $-3$ levantamos un segmento perpendicular de 1 unidad.
3. La hipotenusa mide $\sqrt{10}$ . Con el compás en el 0, el arco corta la recta a la izquierda del $-3$ : ese punto es $-\sqrt{10} = -3{,}162\ldots$
(También se puede construir el triángulo hacia la derecha y trazar el arco completo: corta la recta en $\sqrt{10}$ y en $-\sqrt{10}$ .)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe cada número como suma de los cuadrados de dos números naturales e indica qué catetos usarías para representar su raíz: 10, 13, 17, 20 y 29.

Ver solución
$10 = 3^2 + 1^2$ ; $13 = 3^2 + 2^2$ ; $17 = 4^2 + 1^2$ ; $20 = 4^2 + 2^2$ ; $29 = 5^2 + 2^2$ .
Probamos con los cuadrados 1, 4, 9, 16, 25: $10 = 9 + 1$ (catetos 3 y 1); $13 = 9 + 4$ (3 y 2); $17 = 16 + 1$ (4 y 1); $20 = 16 + 4$ (4 y 2); $29 = 25 + 4$ (5 y 2).
2. Media
Representa en la misma recta $\sqrt{8}$ y $\sqrt{13}$ (usa 1 unidad = 1 cm o 2 cm). Comprueba con la calculadora que están bien situados.

Ver solución
$\sqrt{8}$ con catetos 2 y 2 ( $\approx 2{,}83$ ); $\sqrt{13}$ con catetos 3 y 2 ( $\approx 3{,}61$ ).
$\sqrt{8}$ : $8 = 2^2 + 2^2$ ; cateto de 0 a 2 y perpendicular de 2 en el punto 2. Arco desde el 0: corta en $2{,}83\ldots$ $\sqrt{13}$ : $13 = 3^2 + 2^2$ ; cateto de 0 a 3 y perpendicular de 2 en el punto 3. Arco desde el 0: corta en $3{,}61\ldots$
3. Media
Para representar un número, alguien dibuja sobre la recta un cateto desde el 0 hasta el $-4$ ; en el $-4$ levanta un segmento perpendicular de 1 unidad; une el 0 con el extremo de ese segmento y, con el compás pinchado en el 0, traza un arco que corta la recta a la izquierda del $-4$ . ¿Qué número ha representado?

Ver solución
$-\sqrt{17}$ ( $\approx -4{,}12$ )
La hipotenusa mide $\sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$ y el arco corta la recta a la izquierda del 0: es $-\sqrt{17} = -4{,}123\ldots$
4. Difícil
Representa $\sqrt{6}$ en la recta. Pista: $6 = (\sqrt{2})^2 + 2^2$ .
Ver solución
Triángulo de catetos $\sqrt{2}$ (llevado a la recta) y 2; $\sqrt{6} \approx 2{,}45$ .
1. Construye $\sqrt{2}$ (catetos 1 y 1) y llévalo a la recta con el compás.
2. En el punto $\sqrt{2}$ levanta un segmento perpendicular de 2 unidades.
3. La hipotenusa desde el 0 mide $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{2 + 4} = \sqrt{6}$ . El arco con centro en 0 corta la recta en $\sqrt{6} = 2{,}449\ldots$ (Otra forma: con la espiral de Teodoro, $6 = (\sqrt{5})^2 + 1^2$ .)

Para practicar más

1. Fácil
Representa $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ en la recta numérica (1 unidad = 3 cm). Mide con la regla dónde quedan y compáralo con $\sqrt{2} \approx 1{,}414$ .

Ver solución
Catetos 1 y 1; el arco completo corta la recta en $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ (a unos 4,2 cm del 0).
Triángulo de catetos 1 y 1 (de 0 a 1 y perpendicular de 1 en el punto 1). La hipotenusa mide $\sqrt{2}$ . El arco con centro en 0 corta la recta a la derecha en $\sqrt{2}$ y a la izquierda en $-\sqrt{2}$ . Con 1 unidad = 3 cm, cada punto queda a $3 \cdot 1{,}414 \approx 4{,}2$ cm del 0.
2. Media
Representa en la recta $\sqrt{10}$ y $\sqrt{20}$ .

Ver solución
$\sqrt{10}$ : catetos 3 y 1 ( $\approx 3{,}16$ ). $\sqrt{20}$ : catetos 4 y 2 ( $\approx 4{,}47$ ).
$10 = 3^2 + 1^2$ : cateto de 0 a 3 y perpendicular de 1 en el 3; arco desde el 0 → $\sqrt{10} = 3{,}162\ldots$ $20 = 4^2 + 2^2$ : cateto de 0 a 4 y perpendicular de 2 en el 4; arco desde el 0 → $\sqrt{20} = 4{,}472\ldots$
3. Media
Representa el número $1 + \sqrt{5}$ . Pista: construye el triángulo empezando en el 1 en lugar de en el 0.

Ver solución
Catetos 2 y 1 desde el 1; arco con centro en el 1; $1 + \sqrt{5} \approx 3{,}24$ .
Cateto horizontal desde el 1 hasta el 3 (2 unidades) y perpendicular de 1 unidad en el 3. La hipotenusa, que empieza en el 1, mide $\sqrt{5}$ . Con el compás pinchado en el 1, el arco corta la recta en $1 + \sqrt{5} = 3{,}236\ldots$
4. Difícil
a) Comprueba que 7 no se puede escribir como suma de los cuadrados de dos números naturales. b) Explica cómo representarías $\sqrt{7}$ usando que $7 = (\sqrt{3})^2 + 2^2$ y hazlo.

Ver solución
a) Las sumas posibles con 1 y 4 son 2, 5 y 8. b) Construye $\sqrt{3}$ , y en ese punto levanta un cateto de 2; $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ .
a) Los cuadrados menores que 7 son 1 y 4: $1 + 1 = 2$ , $1 + 4 = 5$ , $4 + 4 = 8$ . Ninguna suma da 7. b) Construye $\sqrt{3}$ con la espiral de Teodoro ( $\sqrt{2}$ y luego $\sqrt{3}$ ) y llévalo a la recta. En el punto $\sqrt{3}$ levanta un segmento perpendicular de 2 unidades. La hipotenusa desde el 0 mide $\sqrt{3 + 4} = \sqrt{7}$ ; con el compás en el 0 la llevas a la recta: $\sqrt{7} = 2{,}645\ldots$