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Explicación

Intervalos

Un intervalo es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos números $a$ y $b$ (con $a < b$ ), que se llaman extremos. Según se incluyan o no los extremos:

Nombre	Notación	Desigualdad	En la recta
Abierto	$(a, b)$	$a < x < b$	○ en $a$ y ○ en $b$
Cerrado	$[a, b]$	$a \le x \le b$	● en $a$ y ● en $b$
Semiabierto (abierto por la izquierda)	$(a, b]$	$a < x \le b$	○ en $a$ y ● en $b$
Semiabierto (abierto por la derecha)	$[a, b)$	$a \le x < b$	● en $a$ y ○ en $b$

Corchete $[\;]$ y punto relleno ●: el extremo está incluido ( $\le$ ).
Paréntesis $(\;)$ y punto hueco ○: el extremo no está incluido ( $<$ ).
En la recta se colorea el tramo entre los extremos.

Semirrectas

Cuando el conjunto no tiene final por un lado, se usa el símbolo $\infty$ (infinito), siempre con paréntesis:

Notación	Desigualdad	Se lee
$(a, +\infty)$	$x > a$	mayores que $a$
$[a, +\infty)$	$x \ge a$	mayores o iguales que $a$
$(-\infty, b)$	$x < b$	menores que $b$
$(-\infty, b]$	$x \le b$	menores o iguales que $b$

Toda la recta real es $\mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$ .

Extremos con decimales

Si los extremos llevan coma decimal, se separan con punto y coma para no confundirse: $[1{,}20;\ 1{,}95)$ .

¿Pertenece un número a un intervalo?

Se comprueba si cumple la desigualdad. Por ejemplo, $-3 \in (-5, -3]$ porque $-5 < -3 \le -3$ ; en cambio, $-5 \notin (-5, -3]$ .

Puntos clave

Corchete = extremo incluido (●, $\le$ ); paréntesis = extremo excluido (○, $<$ ).
Con $\infty$ siempre va paréntesis.
Un intervalo tiene infinitos números reales, aunque sea muy pequeño.
Con extremos decimales, se separan con punto y coma: $[2{,}5;\ 4)$ .
Para saber si un número pertenece a un intervalo, se comprueba la desigualdad, con cuidado en los extremos.

Errores frecuentes

ErrorEscribir $[3, +\infty]$ con corchete en el infinito.
Cómo corregirlo $+\infty$ no es un número: nunca se alcanza, así que va con paréntesis: $[3, +\infty)$ .
ErrorEscribir el extremo mayor primero: $(5, -2)$ .
Cómo corregirloEl extremo de la izquierda (el menor) va siempre primero: $(-2, 5)$ .
ErrorTraducir «menores que 4» como $(-\infty, 4]$ .
Cómo corregirlo«Menor que» excluye el 4: $(-\infty, 4)$ . Solo «menor o igual que» lo incluye.
ErrorPensar que en $(0, 1)$ solo hay unos pocos números (0,1; 0,2…).
Cómo corregirloEntre dos números reales distintos hay infinitos números: 0,5; 0,51; 0,501; $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ …

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres formas de escribir lo mismo tabla intervalo-desigualdad-recta
Escribe cada conjunto como intervalo, como desigualdad y describe su representación en la recta: a) $[-2, 3)$ b) $x > 1$ c) Los números menores o iguales que 0. d) Los números comprendidos entre $-1$ y $4$ , ambos incluidos.

Resolución
a) $[-2, 3)$ : $-2 \le x < 3$ . En la recta, ● en $-2$ , ○ en 3 y el tramo entre ellos coloreado. Es semiabierto. b) $x > 1$ : $(1, +\infty)$ . ○ en 1 y todo lo que hay a la derecha coloreado. c) $x \le 0$ : $(-\infty, 0]$ . ● en 0 y todo lo que hay a la izquierda coloreado. d) $-1 \le x \le 4$ : $[-1, 4]$ . ● en $-1$ y ● en 4, con el tramo coloreado. Es cerrado.
Ejemplo 2. Las alturas de una atracción situación real
En un parque de atracciones, para subir a una montaña rusa hay que medir al menos 1,20 m y menos de 1,95 m (datos inventados). a) Escribe el conjunto de alturas permitidas como intervalo y como desigualdad. b) ¿Pueden subir Hugo (1,19 m), Irene (1,20 m) y su padre (1,95 m)?

Resolución
a) «Al menos 1,20» incluye 1,20 y «menos de 1,95» excluye 1,95: $1{,}20 \le h < 1{,}95 \qquad h \in [1{,}20;\ 1{,}95)$ (con punto y coma entre los extremos porque son decimales). b) Hugo: $1{,}19 < 1{,}20$ , no puede. Irene: 1,20 es el extremo incluido, sí puede. Su padre: 1,95 es el extremo excluido, no puede.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Completa la tabla con el intervalo, la desigualdad y la representación (● o ○ en cada extremo): a) $(-3, 2]$ b) $-1 \le x \le 5$ c) $x < 4$ d) $[0, +\infty)$ e) Los números mayores que $-2$ y menores que 0.

Ver solución
a) $-3 < x \le 2$ ; ○ en $-3$ , ● en 2. b) $[-1, 5]$ ; ● y ●. c) $(-\infty, 4)$ ; ○ en 4 hacia la izquierda. d) $x \ge 0$ ; ● en 0 hacia la derecha. e) $(-2, 0)$ , $-2 < x < 0$ ; ○ y ○.
a) Abierto en $-3$ y cerrado en 2. b) Cerrado. c) Semirrecta abierta. d) Semirrecta cerrada. e) Intervalo abierto.
2. Fácil
¿Pertenece cada número al intervalo indicado? Escribe $\in$ o $\notin$ . a) $3$ y $[3, 7)$ b) $7$ y $[3, 7)$ c) $-2{,}5$ y $(-3, -2)$ d) $0$ y $(-\infty, 0)$ e) $\sqrt{10}$ y $(3, 4)$ f) $\pi$ y $[3{,}14;\ 3{,}15]$

Ver solución
a) $\in$ b) $\notin$ c) $\in$ d) $\notin$ e) $\in$ f) $\in$
a) 3 es el extremo incluido. b) 7 es el extremo excluido. c) $-3 < -2{,}5 < -2$ . d) 0 no es menor que 0. e) $\sqrt{10} = 3{,}16\ldots$ f) $3{,}14 \le 3{,}1415\ldots \le 3{,}15$ .
3. Media
Expresa cada situación con un intervalo o una semirrecta: a) Las notas de aprobado van de 5 a 10, ambos incluidos, y las de suspenso, desde 0 hasta 5 sin incluirlo. b) Una báscula de cocina pesa hasta 5 kg. c) Un descuento es para personas de 14 a 30 años, ambas edades incluidas. d) Para votar hay que tener 18 años o más.

Ver solución
a) Aprobado $[5, 10]$ ; suspenso $[0, 5)$ . b) $(0, 5]$ kg. c) $[14, 30]$ . d) $[18, +\infty)$ .
a) $5 \le n \le 10$ → $[5, 10]$ ; $0 \le n < 5$ → $[0, 5)$ . b) Masas mayores que 0 y como mucho 5 kg: $(0, 5]$ . c) $14 \le e \le 30$ → $[14, 30]$ . d) $e \ge 18$ → $[18, +\infty)$ .
4. Media
Escribe el intervalo que corresponde a cada descripción de su representación en la recta: a) Punto hueco en $-4$ , punto relleno en 1 y el tramo entre ellos coloreado. b) Punto relleno en 2,5 y coloreado todo lo que hay a su derecha. c) Punto hueco en $-\dfrac{1}{2}$ y coloreado todo lo que hay a su izquierda.

Ver solución
a) $(-4, 1]$ b) $[2{,}5;\ +\infty)$ c) $\left(-\infty, -\dfrac{1}{2}\right)$
a) $-4 < x \le 1$ . b) $x \ge 2{,}5$ (punto y coma porque el extremo lleva coma decimal). c) $x < -\dfrac{1}{2}$ .
5. Difícil
a) ¿Cuántos números enteros hay en el intervalo $(-2, 3]$ ? ¿Cuáles? b) ¿Cuántos números reales hay en ese intervalo? c) Escribe tres números racionales y un número irracional que estén en el intervalo $(0, 1)$ .

Ver solución
a) 5: $-1, 0, 1, 2, 3$ . b) Infinitos. c) Por ejemplo $0{,}5$ , $\dfrac{1}{3}$ , $0{,}99$ y $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
a) El $-2$ no entra y el 3 sí: $-1, 0, 1, 2, 3$ . b) Infinitos: entre dos reales distintos siempre hay infinitos reales. c) Racionales: $0{,}5$ ; $\dfrac{1}{3} = 0{,}\widehat{3}$ ; $0{,}99$ . Irracional: $\dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0{,}707\ldots$ (o $\dfrac{\pi}{4} = 0{,}785\ldots$ ).

Para practicar más

1. Fácil
Escribe cada conjunto como intervalo y como desigualdad, y describe su representación: a) $[-5, -1)$ b) $x \ge 3$ c) Los números menores que 2,5. d) $0 < x \le 6$

Ver solución
a) $-5 \le x < -1$ ; ● y ○. b) $[3, +\infty)$ ; ● en 3 hacia la derecha. c) $(-\infty;\ 2{,}5)$ , $x < 2{,}5$ ; ○ en 2,5 hacia la izquierda. d) $(0, 6]$ ; ○ y ●.
a) Semiabierto: incluye $-5$ , no incluye $-1$ . b) Semirrecta cerrada. c) Semirrecta abierta (punto y coma por el decimal). d) Semiabierto: no incluye 0, incluye 6.
2. Fácil
Escribe $\in$ o $\notin$ : a) $-1$ y $(-1, 4]$ b) $4$ y $(-1, 4]$ c) $0{,}5$ y $\left[\dfrac{1}{2}, 1\right)$ d) $\sqrt{5}$ y $(2;\ 2{,}2)$ e) $-100$ y $(-\infty, -99]$

Ver solución
a) $\notin$ b) $\in$ c) $\in$ d) $\notin$ e) $\in$
a) Extremo excluido. b) Extremo incluido. c) $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$ , extremo incluido. d) $\sqrt{5} = 2{,}236\ldots > 2{,}2$ . e) $-100 \le -99$ .
3. Media
Expresa con un intervalo o una semirrecta: a) La temperatura del congelador debe estar por debajo de $-18$ °C. b) El frigorífico debe estar entre 2 °C y 5 °C, ambos incluidos. c) Un ascensor admite hasta 450 kg. d) Una oferta es para compras de más de 50 €.

Ver solución
a) $(-\infty, -18)$ b) $[2, 5]$ c) $(0, 450]$ kg d) $(50, +\infty)$ €
a) $T < -18$ . b) $2 \le T \le 5$ . c) Carga mayor que 0 y como mucho 450 kg. d) $c > 50$ .
4. Difícil
Considera el intervalo $[-\sqrt{2}, \pi)$ . a) Escribe sus extremos con dos decimales. b) ¿Qué números enteros contiene? c) ¿Pertenecen a él $-1{,}5$ , $3{,}14$ y $\pi$ ?

Ver solución
a) $-1{,}41$ y $3{,}14$ (aproximados). b) $-1, 0, 1, 2, 3$ . c) $-1{,}5 \notin$ ; $3{,}14 \in$ ; $\pi \notin$ .
a) $-\sqrt{2} = -1{,}414\ldots \approx -1{,}41$ ; $\pi = 3{,}141\ldots \approx 3{,}14$ . b) Los enteros mayores o iguales que $-1{,}414\ldots$ y menores que $3{,}141\ldots$ : $-1, 0, 1, 2, 3$ . c) $-1{,}5 < -1{,}414\ldots$ : no pertenece. $3{,}14 < 3{,}1415\ldots$ : sí pertenece. $\pi$ es el extremo excluido: no pertenece.

Intervalos y semirrectas