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Explicación

Decimales que no son exactos ni periódicos

Los números racionales son los que se pueden escribir como fracción. Su expresión decimal es exacta ( $0{,}75$ ) o periódica ( $0{,}\widehat{3}$ , $1{,}2\widehat{3}$ ).

Pero hay números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras que no se repiten de forma periódica. Se llaman números irracionales y no se pueden escribir como fracción. Su conjunto se representa con la letra $\mathbb{I}$ .

Ejemplos de números irracionales

Raíces cuadradas no exactas de números naturales: $\sqrt{2} = 1{,}414\,213\,56\ldots$ , $\sqrt{3}$ , $\sqrt{5}$ , $\sqrt{10}$ … (En cambio, $\sqrt{9} = 3$ y $\sqrt{25} = 5$ son exactas: son racionales.)
El número $\pi = 3{,}141\,592\,65\ldots$ , que es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro: $L = \pi \cdot d$ .
El número de oro o número áureo: $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618\,033\ldots$ (también se escribe $\Phi$ )
Decimales construidos con una regla que no se repite: $0{,}1010010001\ldots$ (cada vez un cero más entre los unos).

Se puede demostrar que estos números no son racionales: por muchas cifras que calculemos, nunca aparece un periodo.

Aproximaciones

Como un irracional tiene infinitas cifras sin periodo, en los cálculos usamos aproximaciones: $\sqrt{2} \approx 1{,}41$ ; $\pi \approx 3{,}14$ . La calculadora también da solo una aproximación (las cifras que caben en la pantalla).

Aproximar una raíz por tanteo. Buscamos entre qué números está $\sqrt{2}$ elevando al cuadrado:

$1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ , así que $1 < \sqrt{2} < 2$ .
$1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$ , así que $1{,}4 < \sqrt{2} < 1{,}5$ .
$1{,}41^2 = 1{,}988\,1 < 2 < 2{,}016\,4 = 1{,}42^2$ , así que $1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42$ .

Cada paso nos da una cifra decimal más.

Puntos clave

Un número irracional tiene infinitas cifras decimales no periódicas y no se puede escribir como fracción.
Son irracionales las raíces cuadradas no exactas de números naturales ( $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$ …), $\pi$ y el número de oro $\varphi$ .
$\sqrt{16} = 4$ es racional: no todas las raíces son irracionales.
En los cálculos se usan aproximaciones ( $\pi \approx 3{,}14$ ), pero el número no es igual a su aproximación.
Para aproximar $\sqrt{n}$ por tanteo, se buscan dos números cuyos cuadrados queden por debajo y por encima de $n$ .

Errores frecuentes

ErrorCreer que $\pi = 3{,}14$ o que $\pi = \dfrac{22}{7}$ .
Cómo corregirloSon aproximaciones: $\dfrac{22}{7} = 3{,}\widehat{142857}$ es periódico (racional) y $\pi = 3{,}141\,59\ldots$ no lo es. Escribe $\pi \approx 3{,}14$ .
ErrorPensar que cualquier raíz es irracional ( $\sqrt{36}$ , $\sqrt{0{,}25}$ …).
Cómo corregirloCalcula primero la raíz: $\sqrt{36} = 6$ y $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$ son racionales. Solo son irracionales las raíces que no son exactas, como $\sqrt{35}$ .
ErrorDecidir que un número es irracional porque la calculadora muestra muchas cifras: $\dfrac{1}{7} = 0{,}142\,857\,1\ldots$
Cómo corregirloSi el número es una fracción, es racional aunque la pantalla no muestre el periodo: $\dfrac{1}{7} = 0{,}\widehat{142857}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Racional o irracional? clasificar
Indica si cada número es racional o irracional y explica por qué: a) $\sqrt{49}$ b) $\sqrt{50}$ c) $0{,}\widehat{36}$ d) $0{,}36\,336\,3336\,33336\ldots$ (cada vez un 3 más) e) $\dfrac{22}{7}$ f) $\dfrac{\pi}{2}$

Resolución
a) $\sqrt{49} = 7$ : racional (raíz exacta). b) $\sqrt{50}$ : 50 no es un cuadrado perfecto ( $7^2 = 49$ , $8^2 = 64$ ): irracional. c) $0{,}\widehat{36}$ es periódico: racional ( $\dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$ ). d) Las cifras siguen una regla, pero no se repite siempre el mismo bloque: no es periódico, irracional. e) $\dfrac{22}{7}$ es una fracción: racional (es una aproximación de $\pi$ , no $\pi$ ). f) La mitad de $\pi$ sigue teniendo infinitas cifras no periódicas: irracional.
Ejemplo 2. Acorralar $\sqrt{7}$ numérico (aproximar por tanteo)
Sin usar la tecla de raíz de la calculadora, encuentra entre qué dos números con dos decimales está $\sqrt{7}$ .

Resolución
1. Enteros: $2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ , así que $2 < \sqrt{7} < 3$ .
2. Décimas: $2{,}6^2 = 6{,}76 < 7 < 7{,}29 = 2{,}7^2$ , así que $2{,}6 < \sqrt{7} < 2{,}7$ .
3. Centésimas: probamos cerca de 2,6: $2{,}64^2 = 6{,}969\,6 < 7$ y $2{,}65^2 = 7{,}022\,5 > 7$ .
Resultado: $2{,}64 < \sqrt{7} < 2{,}65$ . (La calculadora da $\sqrt{7} = 2{,}645\,751\ldots$ )
Ejemplo 3. La forma de una hoja A4 situación real
Una hoja A4 mide 297 mm × 210 mm. Si la doblas por la mitad, obtienes una hoja A5 que tiene la misma forma (es semejante). Esto ocurre porque el cociente largo : ancho de las hojas A es $\sqrt{2}$ . Calcula $297 : 210$ y compáralo con $\sqrt{2}$ .

Resolución
$297 : 210 = 1{,}414\,285\ldots$ y $\sqrt{2} = 1{,}414\,213\ldots$

Coinciden en las tres primeras cifras decimales. Las medidas de una hoja son números de milímetros enteros, así que su cociente es un número racional: es una aproximación de $\sqrt{2}$ , que es irracional. El número $\sqrt{2}$ es el que hace que, al doblar, la forma se conserve.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Clasifica en racional o irracional: a) $\sqrt{36}$ b) $\sqrt{20}$ c) $1{,}2\widehat{5}$ d) $3{,}1415$ e) $2{,}010010001\ldots$ (cada vez un 0 más) f) $\pi$ g) $\sqrt{\dfrac{1}{4}}$

Ver solución
Racionales: a), c), d), g). Irracionales: b), e), f).
a) $\sqrt{36} = 6$ , racional. b) 20 no es cuadrado perfecto: irracional. c) Periódico mixto: racional. d) Decimal exacto: racional (es una aproximación de $\pi$ ). e) No es periódico: irracional. f) Irracional. g) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$ : racional.
2. Fácil
Sin la tecla de raíz: a) ¿Entre qué dos números enteros están $\sqrt{30}$ , $\sqrt{50}$ y $\sqrt{90}$ ? b) ¿Entre qué dos números con una cifra decimal está $\sqrt{30}$ ?

Ver solución
a) $5 < \sqrt{30} < 6$ ; $7 < \sqrt{50} < 8$ ; $9 < \sqrt{90} < 10$ . b) $5{,}4 < \sqrt{30} < 5{,}5$ .
a) $25 < 30 < 36$ ; $49 < 50 < 64$ ; $81 < 90 < 100$ . b) $5{,}4^2 = 29{,}16 < 30 < 30{,}25 = 5{,}5^2$ .
3. Media
La rueda de una bicicleta tiene 66 cm de diámetro. a) Calcula la longitud de la rueda ( $L = \pi \cdot d$ ) con $\pi \approx 3{,}14$ y con la tecla $\pi$ de la calculadora. ¿Por qué no salen igual? b) ¿Cuántas vueltas da la rueda, aproximadamente, en 1 km?

Ver solución
a) 207,24 cm con 3,14; 207,345… cm con la tecla π. b) Unas 482 vueltas.
a) $66 \cdot 3{,}14 = 207{,}24$ cm; $66 \cdot \pi = 207{,}345\ldots$ cm. No coinciden porque 3,14 es solo una aproximación de $\pi$ ; la tecla usa más cifras (y también es una aproximación). b) 1 km = 100 000 cm. $100\,000 : 207{,}345 \approx 482{,}3$ : unas 482 vueltas.
4. Difícil
a) Escribe un número irracional que esté entre 2 y 3, y otro entre 0,1 y 0,2. b) ¿Es irracional $0{,}121\,212\ldots$ ? ¿Y $0{,}12\,112\,1112\,11112\ldots$ (cada vez un 1 más)? Justifícalo.

Ver solución
a) Por ejemplo $\sqrt{5}$ y $0{,}1010010001\ldots$ b) El primero es racional (periódico); el segundo, irracional.
a) $\sqrt{5} = 2{,}236\ldots$ está entre 2 y 3 (también $\sqrt{6}$ , $\sqrt{7}$ , $\sqrt{8}$ ). Entre 0,1 y 0,2: $0{,}1010010001\ldots$ (o $0{,}15\,155\,1555\ldots$ , o $\dfrac{\pi}{20} = 0{,}157\ldots$ ). b) $0{,}121\,212\ldots = 0{,}\widehat{12} = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}$ : racional. El segundo no repite siempre el mismo bloque de cifras: irracional.

Para practicar más

1. Fácil
Clasifica en racional o irracional y justifícalo: a) $\sqrt{64}$ b) $\sqrt{15}$ c) $\dfrac{5}{9}$ d) $0{,}\widehat{142857}$ e) $1{,}0102030405\ldots$ (se intercalan 0 y los números naturales) f) $2\pi$

Ver solución
Racionales: a), c), d). Irracionales: b), e), f).
a) $\sqrt{64} = 8$ : racional. b) 15 no es cuadrado perfecto: irracional. c) Fracción: racional ( $0{,}\widehat{5}$ ). d) Periódico: racional ( $\dfrac{1}{7}$ ). e) No hay ningún bloque que se repita: irracional. f) El doble de un irracional como $\pi$ sigue siendo irracional.
2. Fácil
Sin la tecla de raíz, encuentra entre qué dos números enteros y entre qué dos números con una cifra decimal está $\sqrt{12}$ .

Ver solución
$3 < \sqrt{12} < 4$ ; $3{,}4 < \sqrt{12} < 3{,}5$ .
$9 < 12 < 16$ , así que $3 < \sqrt{12} < 4$ . $3{,}4^2 = 11{,}56 < 12 < 12{,}25 = 3{,}5^2$ , así que $3{,}4 < \sqrt{12} < 3{,}5$ . (Con la calculadora: $\sqrt{12} = 3{,}464\ldots$ )
3. Media
Una pizza tiene 30 cm de diámetro. a) Calcula la longitud de su borde con la tecla $\pi$ de la calculadora y escríbela con dos decimales. b) ¿Se puede escribir la longitud exacta con un número finito de decimales? ¿Cómo la escribirías de forma exacta?

Ver solución
a) Unos 94,25 cm. b) No, porque es irracional; de forma exacta es $30\pi$ cm.
a) $L = \pi \cdot 30 = 94{,}247\ldots \approx 94{,}25$ cm. b) $30\pi$ es irracional (tiene infinitas cifras no periódicas), así que cualquier decimal es una aproximación. La forma exacta es $L = 30\pi$ cm.
4. Difícil
El número de oro es $\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ . a) Calcula $\varphi$ con la calculadora y escribe sus cuatro primeras cifras decimales. b) Calcula $\varphi^2$ y $\varphi + 1$ . ¿Qué observas? c) Un rectángulo es áureo si su largo dividido entre su ancho es $\varphi$ . Si el ancho mide 12 cm, ¿cuánto debe medir el largo, aproximadamente?

Ver solución
a) 1,6180… b) Los dos dan 2,6180…: $\varphi^2 = \varphi + 1$ . c) Unos 19,42 cm.
a) $\sqrt{5} = 2{,}236\,06\ldots$ ; $\varphi = \dfrac{3{,}236\,06\ldots}{2} = 1{,}618\,03\ldots$ b) $\varphi^2 = 2{,}618\,03\ldots$ y $\varphi + 1 = 2{,}618\,03\ldots$ Coinciden: el número de oro cumple $\varphi^2 = \varphi + 1$ . c) $\text{largo} = 12 \cdot \varphi = 19{,}416\ldots \approx 19{,}42$ cm.

Los números irracionales