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Explicación

Unión de intervalos

La unión $A \cup B$ es el conjunto de números que están en $A$ o en $B$ (en uno de los dos o en los dos).

Intersección de intervalos

La intersección $A \cap B$ es el conjunto de números que están a la vez en $A$ y en $B$ . Si no hay ningún número común, la intersección es el conjunto vacío: $A \cap B = \varnothing$ .

Cómo se calculan

Dibuja los dos intervalos en la misma recta (o en dos rectas paralelas, una encima de otra, con la misma escala).
Unión: todo lo que esté coloreado en al menos uno de los dos.
Intersección: solo lo que esté coloreado en los dos a la vez.
Extremos:
- en la unión, un extremo está incluido si lo está en alguno de los intervalos;
- en la intersección, un extremo está incluido solo si lo está en los dos.

Ejemplo rápido: $A = [1, 5]$ y $B = (3, 8)$ . Unión: $[1, 8)$ . Intersección: $(3, 5]$ .

Si los intervalos no se tocan, la unión no se puede escribir como un solo intervalo y se deja indicada: $(-\infty, -2) \cup [1, +\infty)$ .

Complementario

El complementario de $A$ , que se escribe $\overline{A}$ , son los números reales que no están en $A$ . Los extremos cambian: lo que estaba incluido pasa a estar excluido, y al revés.

Por ejemplo: si $A = [2, 5)$ , entonces $\overline{A} = (-\infty, 2) \cup [5, +\infty)$ .

Puntos clave

$A \cup B$ : números de $A$ o de $B$ . $A \cap B$ : números de $A$ y de $B$ a la vez.
Dibuja siempre los intervalos en la misma recta con la misma escala.
Unión: el extremo entra si entra en alguno. Intersección: entra solo si entra en los dos.
Si no hay números comunes, la intersección es $\varnothing$ .
El complementario $\overline{A}$ son los reales que no están en $A$ ; sus extremos cambian de incluido a excluido.

Errores frecuentes

ErrorConfundir unión e intersección.
Cómo corregirloUnión = «o» (todo lo coloreado). Intersección = «y» (solo lo que se colorea dos veces).
ErrorIncluir en la intersección un extremo que solo está incluido en uno de los intervalos: $(-5, 2] \cap (2, 6) = \{2\}$ .
Cómo corregirloEl 2 está en el primero, pero no en el segundo. La intersección es $\varnothing$ .
ErrorEscribir la unión de dos intervalos separados como un único intervalo: $(-\infty, -2) \cup [1, +\infty) = (-\infty, +\infty)$ .
Cómo corregirloLos números entre $-2$ y 1 no están en ninguno de los dos: la unión se deja indicada con $\cup$ .
ErrorAl hacer el complementario de $[2, 5)$ , mantener los mismos corchetes: $(-\infty, 2] \cup (5, +\infty)$ .
Cómo corregirloEl 2 está en $A$ , así que no está en $\overline{A}$ : $(-\infty, 2)$ . El 5 no está en $A$ , así que sí está en $\overline{A}$ : $[5, +\infty)$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos intervalos que se solapan gráfico (sobre la recta)
Dados $A = [-1, 4)$ y $B = (2, 6]$ , calcula $A \cup B$ y $A \cap B$ .

Resolución
Dibujamos los dos en la misma recta:
- $A$ : ● en $-1$ , ○ en 4, coloreado entre ellos.
- $B$ : ○ en 2, ● en 6, coloreado entre ellos.
Unión: el coloreado va de $-1$ a 6. El $-1$ está en $A$ (incluido) y el 6 está en $B$ (incluido): $A \cup B = [-1, 6]$ Intersección: se colorean los dos entre 2 y 4. El 2 no está en $B$ y el 4 no está en $A$ : $A \cap B = (2, 4)$
Ejemplo 2. Con semirrectas numérico (semirrectas y conjunto vacío)
a) $A = (-\infty, 3]$ y $B = (0, +\infty)$ . Calcula $A \cup B$ y $A \cap B$ . b) $C = (-\infty, -2)$ y $D = [1, +\infty)$ . Calcula $C \cup D$ y $C \cap D$ .

Resolución
a) $A$ cubre todo lo que hay a la izquierda de 3 (incluido) y $B$ , todo lo que hay a la derecha de 0. Entre los dos cubren toda la recta: $A \cup B = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R} \qquad A \cap B = (0, 3]$ b) $C$ y $D$ no se tocan: entre $-2$ y 1 no hay ninguno. $C \cup D = (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) \qquad C \cap D = \varnothing$
Ejemplo 3. El horario de la farmacia situación real
Una farmacia abre de 9:00 a 14:00 y de 17:00 a 21:00 (incluidas las horas de apertura y de cierre). Ana solo puede ir entre las 13:00 y las 18:00. a) Escribe el horario de la farmacia como unión de intervalos (en horas). b) ¿En qué horas puede ir Ana a la farmacia? c) ¿Cuándo está cerrada la farmacia a lo largo del día, $[0, 24)$ ?

Resolución
a) $F = [9, 14] \cup [17, 21]$ . b) Tiene que estar abierta y Ana tiene que poder ir: es la intersección con $[13, 18]$ : $F \cap [13, 18] = [13, 14] \cup [17, 18]$ Ana puede ir de 13:00 a 14:00 o de 17:00 a 18:00. c) Son las horas del día que no están en $F$ : $[0, 9) \cup (14, 17) \cup (21, 24)$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula $A \cup B$ y $A \cap B$ para $A = [0, 5]$ y $B = [3, 8)$ .

Ver solución
$A \cup B = [0, 8)$ ; $A \cap B = [3, 5]$ .
Unión: de 0 (incluido en $A$ ) a 8 (excluido en $B$ ). Intersección: de 3 (incluido en $B$ , y está en $A$ ) a 5 (incluido en $A$ , y está en $B$ ).
2. Media
Calcula $A \cup B$ y $A \cap B$ para $A = (-\infty, 2)$ y $B = [-3, +\infty)$ .

Ver solución
$A \cup B = \mathbb{R}$ ; $A \cap B = [-3, 2)$ .
Entre las dos semirrectas cubren toda la recta. Se solapan desde $-3$ (incluido en $B$ ) hasta 2 (excluido en $A$ ).
3. Media
Calcula $A \cup B$ y $A \cap B$ para $A = (-4, -1]$ y $B = (-1, 3)$ . Fíjate bien en el $-1$ .

Ver solución
$A \cup B = (-4, 3)$ ; $A \cap B = \varnothing$ .
El $-1$ está en $A$ pero no en $B$ . Unión: de $-4$ a 3 sin huecos (el $-1$ lo aporta $A$ ): $(-4, 3)$ . Intersección: no hay ningún número que esté en los dos, $\varnothing$ .
4. Media
Escribe el complementario de cada conjunto: a) $A = (-2, 3]$ b) $B = [0, +\infty)$ c) $C = (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$

Ver solución
a) $(-\infty, -2] \cup (3, +\infty)$ b) $(-\infty, 0)$ c) $[-1, 4]$
a) Fuera de $A$ quedan los menores o iguales que $-2$ y los mayores que 3. b) Los negativos: $x < 0$ . c) Lo que queda entre $-1$ y 4, con los extremos incluidos porque no estaban en $C$ .
5. Difícil
Un gimnasio hace una oferta para personas de 16 a 25 años (ambas incluidas) o de 65 años o más. a) Escribe las edades de la oferta como unión de intervalos. b) Otra oferta es solo para menores de 18 años: $[0, 18)$ . ¿Qué edades pueden aprovechar las dos ofertas a la vez?

Ver solución
a) $[16, 25] \cup [65, +\infty)$ . b) $[16, 18)$ .
a) «De 16 a 25» → $[16, 25]$ ; «65 o más» → $[65, +\infty)$ . Oferta: $[16, 25] \cup [65, +\infty)$ . b) Las dos a la vez es la intersección: $\left([16, 25] \cup [65, +\infty)\right) \cap [0, 18) = [16, 18)$ .

Para practicar más

1. Fácil
Calcula $A \cup B$ y $A \cap B$ para $A = [-2, 4]$ y $B = (1, 7]$ .

Ver solución
$A \cup B = [-2, 7]$ ; $A \cap B = (1, 4]$ .
Unión: de $-2$ (incluido) a 7 (incluido). Intersección: de 1 (excluido en $B$ ) a 4 (incluido en $A$ y dentro de $B$ ).
2. Difícil
Calcula $A \cup B$ y $A \cap B$ para $A = (-\infty, 0]$ y $B = [0, 5)$ . ¿Qué tiene de especial la intersección?

Ver solución
$A \cup B = (-\infty, 5)$ ; $A \cap B = \{0\}$ : un solo número.
Unión: todo lo que hay a la izquierda de 5, sin incluirlo. Intersección: el único número que está en los dos es el 0 (incluido en ambos). No es un intervalo con tramo coloreado, sino un único punto: $\{0\}$ .
3. Media
Escribe el complementario de: a) $(-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$ b) $[-1, 1]$ c) $(5, +\infty)$

Ver solución
a) $[-3, 2]$ b) $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ c) $(-\infty, 5]$
a) Lo que queda entre $-3$ y 2, con los extremos incluidos. b) Lo que hay fuera de $[-1, 1]$ , con los extremos excluidos. c) $x \le 5$ .
4. Media
En una casa, la calefacción se enciende cuando la temperatura baja de 19 °C y el aire acondicionado, cuando pasa de 26 °C. a) Escribe como unión de intervalos las temperaturas en las que está encendido algún aparato. b) ¿En qué intervalo de temperaturas están los dos apagados? ¿Cómo se llama ese conjunto respecto al del apartado a)?

Ver solución
a) $(-\infty, 19) \cup (26, +\infty)$ . b) $[19, 26]$ ; es su complementario.
a) Calefacción: $T < 19$ → $(-\infty, 19)$ . Aire: $T > 26$ → $(26, +\infty)$ . Algún aparato encendido: la unión. b) Ninguno encendido: $19 \le T \le 26$ , es decir, $[19, 26]$ , el complementario del conjunto de a).

Unión e intersección de intervalos