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Matemáticas 3.º ESO · Aproximaciones. Cifras significativas

Aproximar un número: truncamiento y redondeo

Objetivo: Al terminar, sabrás aproximar números reales por truncamiento y por redondeo a un orden dado y distinguir las aproximaciones por defecto y por exceso.

Explicación

Aproximar un número

Muchas veces no necesitamos (o no podemos) usar todas las cifras de un número: los irracionales y los periódicos tienen infinitas, y en la vida diaria se habla de «unos 2,3 millones». Entonces usamos una aproximación.

Por defecto: la aproximación es menor que el número. $\sqrt{2} = 1{,}414\ldots \approx 1{,}41$ .
Por exceso: la aproximación es mayor que el número. $\sqrt{2} \approx 1{,}42$ .

Se aproxima a un orden: unidades, décimas, centésimas, milésimas… o decenas, centenas, millares…

Truncamiento

Truncar es suprimir todas las cifras a partir del orden elegido, sin mirar nada más.

$\pi = 3{,}141\,59\ldots$ truncado a las milésimas: $3{,}141$ .

Al truncar un número positivo siempre se obtiene una aproximación por defecto.

Redondeo

Redondear es quedarse con la aproximación más cercana. Se mira la primera cifra que se quita:

si es menor que 5, las cifras que quedan no cambian;
si es 5 o mayor, se suma 1 a la última cifra que se conserva.

$\pi$ redondeado a las milésimas: $3{,}141\,5\ldots \to 3{,}142$ (la cifra siguiente es 5). Es una aproximación por exceso. $\pi$ redondeado a las centésimas: $3{,}141\ldots \to 3{,}14$ (la cifra siguiente es 1). Por defecto.

Cuidado con las «llevadas»: $2{,}996$ redondeado a las centésimas es $3{,}00$ (se escriben los ceros para indicar que se ha redondeado a las centésimas).

Órdenes mayores que la unidad: las cifras que se quitan se cambian por ceros. $47\,382$ redondeado a los millares: $47\,000$ ; a las centenas: $47\,400$ .

Puntos clave

Una aproximación por defecto es menor que el número; por exceso, mayor.
Truncar: quitar las cifras a partir del orden elegido. Siempre da una aproximación por defecto (en números positivos).
Redondear: si la primera cifra que se quita es 5 o más, se suma 1 a la última que se conserva.
El redondeo da la aproximación más cercana al número.
Al redondear a un orden mayor que la unidad, las cifras quitadas se cambian por ceros.

Errores frecuentes

ErrorMirar la última cifra del número en lugar de la primera que se quita: redondear 8,46172 a centésimas mirando el 2.
Cómo corregirloSolo importa la primera cifra que se quita (la de las milésimas, un 1): 8,46172 → 8,46.
ErrorRedondear «en cascada»: 2,3449 → 2,345 → 2,35.
Cómo corregirloSe redondea de una vez desde el número original: 2,3449 a centésimas → la cifra siguiente es 4 → 2,34.
ErrorAl redondear 47 382 a los millares, escribir 47.
Cómo corregirloLas cifras quitadas se cambian por ceros: 47 000. Escribir 47 cambia el número.
ErrorEscribir $3$ en lugar de $3{,}00$ al redondear $2{,}996$ a las centésimas.
Cómo corregirloLos ceros indican hasta qué orden se ha redondeado: $3{,}00$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Truncar y redondear $\sqrt{11}$ numérico (tabla)

La calculadora da $\sqrt{11} = 3{,}316\,624\,79\ldots$ Aproxímalo a las décimas, a las centésimas y a las milésimas por truncamiento y por redondeo. Indica en cada caso si la aproximación es por defecto o por exceso.

Resolución

Orden	Truncamiento	Redondeo
Décimas	$3{,}3$ (defecto)	$3{,}3$ (la cifra siguiente es 1) → defecto
Centésimas	$3{,}31$ (defecto)	$3{,}32$ (la cifra siguiente es 6) → exceso
Milésimas	$3{,}316$ (defecto)	$3{,}317$ (la cifra siguiente es 6) → exceso

El truncamiento siempre es por defecto. El redondeo a veces coincide con el truncamiento y a veces no.

Ejemplo 2. Los viajeros del metro situación real (órdenes grandes)
Un día laborable viajaron en el metro de una gran ciudad 2 345 678 personas (dato inventado). Redondea esta cantidad a los millares, a las centenas de millar y a los millones. ¿Cuál usarías en un titular de periódico?

Resolución
- A los millares: la cifra siguiente es 6 → $2\,346\,000$ .
- A las centenas de millar: la cifra siguiente es 4 → $2\,300\,000$ («2,3 millones»).
- A los millones: la cifra siguiente es 3 → $2\,000\,000$ .
Para un titular, «2,3 millones de viajeros»: da una idea clara sin perder demasiada información.
Ejemplo 3. ¿Qué números redondean a 4,3? razonamiento (al revés)
a) ¿Qué números, al redondearlos a las décimas, dan 4,3? Escríbelos como intervalo. b) ¿Y al truncarlos a las décimas?

Resolución
a) Los que están más cerca de 4,3 que de 4,2 o de 4,4: desde $4{,}25$ (que redondea a 4,3) hasta $4{,}35$ sin incluirlo (que ya redondea a 4,4): $[4{,}25;\ 4{,}35)$ b) Al truncar se quitan las cifras desde las centésimas: dan 4,3 todos los números desde 4,3 hasta 4,4 sin incluirlo: $[4{,}3;\ 4{,}4)$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Aproxima 5,73829 a las décimas, a las centésimas y a las milésimas, por truncamiento y por redondeo.

Ver solución
Décimas: 5,7 y 5,7. Centésimas: 5,73 y 5,74. Milésimas: 5,738 y 5,738.
Truncamiento: 5,7; 5,73; 5,738. Redondeo: décimas → la cifra siguiente es 3 → 5,7; centésimas → la siguiente es 8 → 5,74; milésimas → la siguiente es 2 → 5,738.
2. Fácil
Redondea: a) 47 382 a las centenas, a los millares y a las decenas de millar. b) 0,0496 a las centésimas. c) 12,995 a las centésimas.

Ver solución
a) 47 400; 47 000; 50 000. b) 0,05. c) 13,00.
a) Centenas: la cifra siguiente es 8 → 47 400. Millares: la siguiente es 3 → 47 000. Decenas de millar: la siguiente es 7 → 50 000. b) La cifra siguiente a las centésimas es 9 → 0,04 + 0,01 = 0,05. c) La siguiente es 5 → 12,99 + 0,01 = 13,00.
3. Media
Escribe $\dfrac{2}{7}$ y $\dfrac{11}{3}$ como decimales y aproxímalos a las centésimas por defecto y por exceso. ¿Cuál de las dos aproximaciones es el redondeo?

Ver solución
$\dfrac{2}{7} = 0{,}2857\ldots$ : 0,28 (defecto) y 0,29 (exceso); redondeo 0,29. $\dfrac{11}{3} = 3{,}\widehat{6}$ : 3,66 y 3,67; redondeo 3,67.
$\dfrac{2}{7} = 0{,}285\,714\ldots$ La cifra de las milésimas es 5 → redondeo 0,29 (por exceso). $\dfrac{11}{3} = 3{,}666\ldots$ La cifra de las milésimas es 6 → redondeo 3,67 (por exceso).
4. Media
Cuatro amigas compran una pizza de 25,90 € y la pagan a partes iguales. a) ¿Cuánto le corresponde a cada una, con todas las cifras? b) Trunca y redondea esa cantidad a los céntimos. c) Si cada una paga la cantidad truncada, ¿se paga toda la pizza?

Ver solución
a) 6,475 €. b) 6,47 € truncando; 6,48 € redondeando. c) No: faltan 2 céntimos.
a) $25{,}90 : 4 = 6{,}475$ €. b) Truncando: 6,47 €. Redondeando (la cifra siguiente es 5): 6,48 €. c) $4 \cdot 6{,}47 = 25{,}88$ €: faltan 2 céntimos. (Con el redondeo, $4 \cdot 6{,}48 = 25{,}92$ €, sobrarían 2.)
5. Difícil
Un cronómetro trunca los tiempos a las décimas y otro los redondea a las décimas. Los dos marcan 12,4 s. ¿Entre qué valores puede estar el tiempo real en cada caso? Escríbelo como intervalo.

Ver solución
Truncando: $[12{,}4;\ 12{,}5)$ . Redondeando: $[12{,}35;\ 12{,}45)$ .
Truncando: cualquier tiempo desde 12,4 hasta antes de 12,5 da 12,4 → $[12{,}4;\ 12{,}5)$ . Redondeando: desde 12,35 (que redondea a 12,4) hasta antes de 12,45 (que ya redondea a 12,5) → $[12{,}35;\ 12{,}45)$ .

Para practicar más

1. Fácil
La calculadora da $\sqrt{5} = 2{,}236\,067\,97\ldots$ Aproxímalo a las décimas, centésimas y milésimas por truncamiento y por redondeo, e indica si cada aproximación es por defecto o por exceso.

Ver solución
Truncamiento: 2,2; 2,23; 2,236 (todas por defecto). Redondeo: 2,2 (defecto); 2,24 (exceso); 2,236 (defecto).
Truncamiento: se quitan cifras → 2,2; 2,23; 2,236, por defecto. Redondeo: décimas → la siguiente es 3 → 2,2; centésimas → la siguiente es 6 → 2,24 (exceso); milésimas → la siguiente es 0 → 2,236 (defecto).
2. Fácil
Redondea: a) 1 234 567 a los millares, a las centenas de millar y a los millones. b) 7,0951 a las centésimas. c) 0,4545 a las milésimas.

Ver solución
a) 1 235 000; 1 200 000; 1 000 000. b) 7,10. c) 0,455.
a) Millares: la siguiente es 5 → 1 235 000. Centenas de millar: la siguiente es 3 → 1 200 000. Millones: la siguiente es 2 → 1 000 000. b) La siguiente es 5 → 7,09 + 0,01 = 7,10. c) La siguiente es 5 → 0,454 + 0,001 = 0,455.
3. Media
Escribe $\dfrac{5}{6}$ como decimal y aproxímalo a las décimas y a las centésimas por truncamiento y por redondeo.

Ver solución
$\dfrac{5}{6} = 0{,}8\widehat{3}$ . Décimas: 0,8 y 0,8. Centésimas: 0,83 y 0,83.
$5 : 6 = 0{,}8333\ldots$ Truncamiento: 0,8 y 0,83. Redondeo: décimas → la siguiente es 3 → 0,8; centésimas → la siguiente es 3 → 0,83. Aquí coinciden.
4. Difícil
Una báscula de baño redondea a las décimas de kilo y marca 65,3 kg. Otra báscula trunca a las décimas y marca lo mismo. a) ¿Entre qué valores está la masa real con cada báscula? Escríbelo como intervalo. b) ¿Pueden marcar distinto las dos básculas para una persona de 65,37 kg?

Ver solución
a) Redondeo: $[65{,}25;\ 65{,}35)$ . Truncamiento: $[65{,}3;\ 65{,}4)$ . b) Sí: la que redondea marca 65,4 y la que trunca, 65,3.
a) Redondeando: desde 65,25 hasta antes de 65,35. Truncando: desde 65,3 hasta antes de 65,4. b) 65,37 redondeado a décimas → 65,4 (la siguiente es 7); truncado → 65,3.