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Matemáticas 3.º ESO · Fracciones: operaciones y problemas

Recuerda: fracción de una cantidad y total a partir de una parte

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de un paso con fracciones: calcular la fracción de una cantidad y el total cuando se conoce una parte.

Recuerda

Dos tipos de problema

1. Fracción de una cantidad (conozco el total, busco la parte): $\dfrac{a}{b} \text{ de } C = C \cdot \dfrac{a}{b} = \dfrac{C \cdot a}{b}$ Se divide el total entre el denominador (lo que vale una parte) y se multiplica por el numerador.

Ejemplo: $\dfrac{2}{5}$ de 35 € $= 35 \cdot \dfrac{2}{5} = 14$ €.

2. Total a partir de una parte (conozco la parte, busco el total): si $\dfrac{a}{b}$ del total son $P$ , $\text{Total} = P : \dfrac{a}{b} = \dfrac{P \cdot b}{a}$ Se divide la parte entre el numerador (lo que vale una parte) y se multiplica por el denominador.

Ejemplo: si $\dfrac{3}{4}$ de una cantidad son 27, una cuarta parte vale $27 : 3 = 9$ y el total es $9 \cdot 4 = 36$ .

Diagrama de barra: dibuja una barra dividida en tantas partes iguales como indica el denominador y colorea las que indica el numerador. Te ayuda a ver qué te dan y qué te piden.

Pasos para resolver un problema

Lee el enunciado y subraya los datos y la pregunta.
Decide: ¿me dan el total o me dan una parte?
Dibuja el diagrama de barra.
Calcula lo que vale una parte y después lo que te piden.
Comprueba el resultado (el total tiene que ser mayor que la parte) y contesta con una frase, con las unidades.

Puntos clave

Fracción de una cantidad: se multiplica la cantidad por la fracción.
Total conocida una parte: se divide la parte entre la fracción.
Lo que vale una parte se obtiene dividiendo: el total entre el denominador o la parte conocida entre el numerador.
Un diagrama de barra ayuda a decidir qué operación hacer.

Errores frecuentes

ErrorMultiplicar por la fracción cuando lo que se conoce es la parte (y no el total).
Cómo corregirloPregúntate: «¿el dato es el total o una parte?». Si es una parte, el resultado tiene que salir mayor que el dato: divide entre la fracción.
ErrorContestar con la parte calculada cuando se pregunta por «lo que queda» o «los demás».
Cómo corregirloRelee la pregunta al final y, si hace falta, resta la parte del total.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuántos van andando? situación real (fracción de una cantidad)
En un instituto de Alcalá de Henares hay 840 alumnos. Los $\dfrac{3}{7}$ van andando a clase. ¿Cuántos alumnos van andando?

Resolución
Conozco el total y busco la parte: $840 \cdot \dfrac{3}{7} = \dfrac{2520}{7} = 360$ . Con la barra: una séptima parte son $840 : 7 = 120$ alumnos; tres séptimas partes, $120 \cdot 3 = 360$ . Van andando 360 alumnos.
Ejemplo 2. El Anillo Verde Ciclista diagrama de barra (total a partir de la parte)
Una ciclista lleva recorridos 24 km del Anillo Verde Ciclista de Madrid, que son los $\dfrac{3}{8}$ de la vuelta completa. ¿Cuántos kilómetros tiene, aproximadamente, la vuelta al anillo?

Resolución
Conozco una parte y busco el total. Barra de 8 casillas: 3 casillas son 24 km, así que una casilla vale $24 : 3 = 8$ km y las 8 casillas, $8 \cdot 8 = 64$ km. Con la fórmula: $24 : \dfrac{3}{8} = \dfrac{24 \cdot 8}{3} = 64$ km. La vuelta al anillo tiene unos 64 km. (Comprobación: $\dfrac{3}{8}$ de 64 $= 24$ ✔)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un depósito de agua de 1200 L está lleno hasta los $\dfrac{3}{8}$ de su capacidad. ¿Cuántos litros contiene?

Ver solución
450 L
$1200 \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{3600}{8} = 450$ L.
2. Fácil
Has pagado 45 € de entrada por una bicicleta, que son los $\dfrac{5}{9}$ de su precio. ¿Cuánto cuesta la bicicleta?

Ver solución
81 €
Una novena parte: $45 : 5 = 9$ €. Precio: $9 \cdot 9 = 81$ €. (O bien $45 : \dfrac{5}{9} = \dfrac{45 \cdot 9}{5} = 81$ €.)
3. Media
A un concierto en el WiZink Center asisten 15 000 personas. Los $\dfrac{2}{5}$ tienen menos de 25 años. ¿Cuántas personas tienen 25 años o más?

Ver solución
9000 personas
Menores de 25: $15\,000 \cdot \dfrac{2}{5} = 6000$ . Con 25 o más: $15\,000 - 6000 = 9000$ . (También: $\dfrac{3}{5}$ de $15\,000 = 9000$ .)

Para practicar más

1. Fácil
Un móvil cuesta 360 € y en rebajas te descuentan $\dfrac{1}{4}$ de su precio. ¿Cuánto te descuentan? ¿Cuánto pagas?

Ver solución
Descuentan 90 €; pagas 270 €.
Descuento: $360 \cdot \dfrac{1}{4} = 90$ €. Pagas: $360 - 90 = 270$ € (o $\dfrac{3}{4}$ de 360).
2. Fácil
Lucía ha leído 132 páginas de una novela, que son los $\dfrac{4}{7}$ del libro. ¿Cuántas páginas tiene la novela?

Ver solución
231 páginas
Una séptima parte: $132 : 4 = 33$ páginas. Total: $33 \cdot 7 = 231$ páginas.
3. Media
La batería del móvil de Hugo está a $\dfrac{2}{5}$ de su carga y, según el móvil, le quedan 6 horas de uso. Suponiendo que se gasta siempre al mismo ritmo, ¿cuántas horas duraría con la batería llena?

Ver solución
15 horas
$\dfrac{2}{5}$ de la carga son 6 h, así que $\dfrac{1}{5}$ son $6 : 2 = 3$ h y la carga completa, $3 \cdot 5 = 15$ h.