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Matemáticas 3.º ESO · Fracciones: operaciones y problemas

Recuerda: potencias y fracciones compuestas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver expresiones combinadas con fracciones que incluyen potencias (también de base negativa) y fracciones compuestas.

Recuerda

Potencias en las operaciones combinadas

Potencia de una fracción: se elevan el numerador y el denominador: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \qquad \left(\dfrac{2}{5}\right)^3 = \dfrac{8}{125}$

Base negativa: con exponente par el resultado es positivo; con exponente impar, negativo: $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ , $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^3 = -\dfrac{1}{27}$ .
Cuidado con el paréntesis: en $-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2$ el signo menos no se eleva: $-\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 = -\dfrac{1}{9}$ .
Cualquier número (distinto de 0) elevado a 0 vale 1: $\left(\dfrac{4}{9}\right)^0 = 1$ .

Orden completo de las operaciones:

Paréntesis y corchetes (de dentro hacia fuera).
Potencias.
Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Consejo: antes de empezar, calcula en una línea aparte todas las potencias que no estén dentro de un paréntesis por resolver.

Fracciones compuestas

Una fracción compuesta es una fracción cuyo numerador o denominador tiene fracciones u operaciones. Se calcula por separado el numerador y el denominador y, al final, se divide uno entre otro: $\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}} = \dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}$ La raya principal (la más larga) es la que manda: hace de paréntesis de lo que tiene encima y de lo que tiene debajo. Por eso $\dfrac{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}{5}$ es $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) : 5$ , y no $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} : 5$ .

Puntos clave

$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ .
Base negativa: exponente par da resultado positivo; impar, negativo.
$-\left(\dfrac{a}{b}\right)^2$ es negativo; $\left(-\dfrac{a}{b}\right)^2$ es positivo.
Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones y divisiones.
En una fracción compuesta, primero el numerador y el denominador por separado; después se dividen.

Errores frecuentes

ErrorEscribir $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$ o $-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$ .
Cómo corregirloMira si el signo menos está dentro del paréntesis (se eleva) o fuera (no se eleva) y cuenta si el exponente es par o impar.
ErrorElevar solo el numerador: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{3}$ .
Cómo corregirloEl exponente afecta a toda la fracción: $\dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$ .
ErrorEn una fracción compuesta, operar «en diagonal» sin haber terminado antes el numerador y el denominador.
Cómo corregirloReduce primero el numerador a una sola fracción y el denominador a otra; solo entonces divide.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Potencias en una operación combinada numérico (signos de las potencias)
Calcula: $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 + \dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 - \left(\dfrac{5}{7}\right)^0$

Resolución
1. Potencias: $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = -\dfrac{1}{8}$ (exponente impar); $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$ ; $\left(\dfrac{5}{7}\right)^0 = 1$ .
2. Producto: $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{36} = \dfrac{1}{3}$ .
3. Sumas y restas con m.c.m. $(8, 3) = 24$ : $-\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{3}{24} + \dfrac{8}{24} - \dfrac{24}{24} = -\dfrac{19}{24}$
Ejemplo 2. Una fracción compuesta numérico (fracción de fracciones)
Calcula: $\dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{1}{3}}$

Resolución
Numerador: $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4}$ . Denominador: $1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$ . División: $\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{4}{3}} = \dfrac{1}{4} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 4} = \dfrac{3}{16}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: a) $-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2$ b) $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2$ c) $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3$ d) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \cdot 2^3$

Ver solución
a) $-\dfrac{9}{4}$ b) $\dfrac{9}{4}$ c) $-\dfrac{8}{27}$ d) $2$
a) El signo menos queda fuera: $-\dfrac{9}{4}$ . b) Base negativa, exponente par: $\dfrac{9}{4}$ . c) Base negativa, exponente impar: $-\dfrac{8}{27}$ . d) $\dfrac{1}{4} \cdot 8 = \dfrac{8}{4} = 2$ .
2. Media
Calcula: $\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6}\right)^2 : \dfrac{2}{9} - \left(-\dfrac{1}{2}\right)^3$

Ver solución
$\dfrac{5}{8}$
Paréntesis: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{5}{6} = -\dfrac{1}{3}$ . Potencias: $\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2 = \dfrac{1}{9}$ ; $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^3 = -\dfrac{1}{8}$ . División: $\dfrac{1}{9} : \dfrac{2}{9} = \dfrac{9}{18} = \dfrac{1}{2}$ . Resta: $\dfrac{1}{2} - \left(-\dfrac{1}{8}\right) = \dfrac{4}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$ .
3. Difícil
Calcula: $\dfrac{2 - \dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{4} - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2}$

Ver solución
$3$
Numerador: $2 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$ . Denominador: $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ ; $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ . División: $\dfrac{3}{2} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ .

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \cdot \dfrac{9}{8} - \left(-\dfrac{1}{3}\right)^0 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2$

Ver solución
$-\dfrac{1}{4}$
Potencias: $\dfrac{4}{9}$ ; $1$ ; $\dfrac{1}{4}$ . Producto: $\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{9}{8} = \dfrac{36}{72} = \dfrac{1}{2}$ . Sumas y restas: $\dfrac{1}{2} - 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{4}{4} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{1}{4}$ .
2. Media
Calcula: $\dfrac{\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}}$

Ver solución
$7$
Numerador: $\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$ . Denominador: $\dfrac{4}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{12}$ . División: $\dfrac{7}{12} : \dfrac{1}{12} = \dfrac{7 \cdot 12}{12 \cdot 1} = 7$ .
3. Difícil
Calcula: $\left[1 - \left(\dfrac{3}{4}\right)^2\right] : \left(1 + \dfrac{3}{4}\right) - \dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}$

Ver solución
$0$
Corchete: $1 - \dfrac{9}{16} = \dfrac{7}{16}$ . Paréntesis: $1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}$ . División: $\dfrac{7}{16} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{7 \cdot 4}{16 \cdot 7} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$ . Fracción compuesta: $\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{2} : 2 = \dfrac{1}{4}$ . Resultado: $\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0$ .