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Matemáticas 3.º ESO · Fracciones: operaciones y problemas

Problemas con fracciones: suma de partes y lo que queda

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas en los que se suman varias partes de un mismo total y se calcula lo que queda (o el total a partir de lo que queda).

Explicación

Partes de un mismo total

Cuando varias fracciones se refieren al mismo total, se pueden sumar para saber qué fracción se ha usado entre todas. Lo que queda es lo que falta hasta la unidad: $\text{fracción que queda} = 1 - (\text{suma de las partes})$

Pasos:

Suma las fracciones de las partes (con común denominador).
Resta de 1 para hallar la fracción que queda.
Según lo que te pidan:
- si conoces el total, multiplícalo por la fracción que quieras;
- si conoces lo que queda (u otra parte), calcula el total dividiendo entre su fracción.

Diagrama de barra: usa una barra con tantas casillas como el m.c.m. de los denominadores; así cada parte ocupa un número entero de casillas.

Ejemplo: $\dfrac{1}{2}$ de una tarta para Ana y $\dfrac{1}{3}$ para Luis: entre los dos, $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ ; queda $\dfrac{1}{6}$ de la tarta.

Puntos clave

Si todas las fracciones son del mismo total, se suman.
La fracción que queda es 1 menos la suma de las partes.
Con el total se calcula cualquier parte multiplicando; con una parte conocida se calcula el total dividiendo.
Una barra con tantas casillas como el m.c.m. de los denominadores ayuda a verlo.

Errores frecuentes

ErrorContestar con la fracción que se ha gastado cuando se pregunta por lo que queda.
Cómo corregirloDespués de sumar las partes, resta de 1 y relee la pregunta.
ErrorMultiplicar lo que queda por su fracción para hallar el total.
Cómo corregirloSi 30 m² son $\dfrac{1}{4}$ del total, el total es mayor: $30 : \dfrac{1}{4} = 120$ m².

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El presupuesto del viaje de fin de curso situación real (lo que queda conocido el total)
Para el viaje de fin de curso a Valencia, cada alumno paga 450 €. De ese dinero, $\dfrac{1}{3}$ es para el transporte, $\dfrac{2}{5}$ para el alojamiento y el resto para las comidas. ¿Qué fracción del dinero va a comidas? ¿Cuántos euros son?

Resolución
1. Transporte y alojamiento: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15}$ .
2. Comidas: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .
3. Euros: $450 \cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{1800}{15} = 120$ €. Las comidas son $\dfrac{4}{15}$ del dinero: 120 €.
Ejemplo 2. Un huerto urbano en Tetuán diagrama de barra (total a partir de lo que queda)
En un huerto urbano de Tetuán, $\dfrac{1}{4}$ de la superficie es para tomates, $\dfrac{1}{6}$ para lechugas, $\dfrac{1}{3}$ para calabacines y los 30 m² restantes para flores. ¿Qué superficie tiene el huerto?

Resolución
1. Hortalizas: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ .
2. Flores: $1 - \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}$ del huerto, que son 30 m².
3. Total: $30 : \dfrac{1}{4} = 120$ m². Comprobación: tomates 30 m², lechugas 20 m², calabacines 40 m² y flores 30 m²; en total, 120 m² ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
De un depósito de gasolina de 50 L se gasta $\dfrac{1}{5}$ el lunes y $\dfrac{3}{10}$ el martes. ¿Qué fracción del depósito se ha gastado? ¿Cuántos litros quedan?

Ver solución
Se ha gastado $\dfrac{1}{2}$ ; quedan 25 L.
$\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ . Queda $\dfrac{1}{2}$ : $50 \cdot \dfrac{1}{2} = 25$ L.
2. Media
Una herencia de 72 000 € se reparte así: $\dfrac{1}{2}$ para el hijo mayor, $\dfrac{1}{3}$ para la hija y el resto para una ONG. ¿Cuánto dinero recibe la ONG?

Ver solución
12 000 €
Hijos: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ . ONG: $1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$ . $72\,000 \cdot \dfrac{1}{6} = 12\,000$ €.
3. Difícil
En un campamento de verano, $\dfrac{2}{5}$ de los participantes eligen piragüismo, $\dfrac{1}{4}$ escalada y los 21 restantes, senderismo. ¿Cuántos participantes hay? ¿Cuántos eligen cada actividad?

Ver solución
60 participantes: 24 piragüismo, 15 escalada y 21 senderismo.
$\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{20} + \dfrac{5}{20} = \dfrac{13}{20}$ . Senderismo: $1 - \dfrac{13}{20} = \dfrac{7}{20}$ , que son 21. Total: $21 : \dfrac{7}{20} = \dfrac{21 \cdot 20}{7} = 60$ . Piragüismo: $60 \cdot \dfrac{2}{5} = 24$ ; escalada: $60 \cdot \dfrac{1}{4} = 15$ . Comprobación: $24 + 15 + 21 = 60$ ✔.

Para practicar más

1. Fácil
Irene ahorra $\dfrac{3}{8}$ de su paga mensual, gasta $\dfrac{1}{4}$ en ocio y el resto en el abono y otros gastos. Si su paga es de 40 €, ¿cuánto dinero dedica al abono y otros gastos?

Ver solución
15 €
$\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{8} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8}$ ; resto: $\dfrac{3}{8}$ . $40 \cdot \dfrac{3}{8} = 15$ €.
2. Media
La memoria de un móvil es de 128 GB. Las fotos ocupan $\dfrac{1}{2}$ , las aplicaciones $\dfrac{1}{8}$ y la música $\dfrac{1}{16}$ . ¿Cuántos GB quedan libres?

Ver solución
40 GB
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{8}{16} + \dfrac{2}{16} + \dfrac{1}{16} = \dfrac{11}{16}$ . Libre: $\dfrac{5}{16}$ ; $128 \cdot \dfrac{5}{16} = 40$ GB.
3. Difícil
En una etapa de la Vuelta, un ciclista recorre en la primera hora $\dfrac{1}{3}$ de la etapa y en la segunda hora $\dfrac{1}{4}$ . Aún le faltan 50 km. ¿Cuántos kilómetros tiene la etapa?

Ver solución
120 km
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$ ; faltan $\dfrac{5}{12}$ , que son 50 km. Total: $50 : \dfrac{5}{12} = \dfrac{50 \cdot 12}{5} = 120$ km.