Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U1 · Números racionales e irracionales

Matemáticas 3.º ESO · Fracciones: operaciones y problemas

Recuerda: fracción de lo que queda y problemas de varios pasos

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de fracción de lo que queda y de varios pasos, también cuando se conoce el dato final, ayudándote de un diagrama de barras.

Recuerda

Fracción de lo que queda

Fracción de lo que queda. En «gasta $\dfrac{1}{3}$ y después $\dfrac{3}{4}$ de lo que le queda», la segunda fracción no es del total, sino del resto:

Lo que queda tras la primera parte: $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ .
La segunda parte, como fracción del total: $\dfrac{3}{4}$ de $\dfrac{2}{3}$ $= \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{2}$ .
Lo que queda al final: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$ del total.

Dos formas de resolver:

Con cantidades: si conoces el total, ve calculando paso a paso cuánto se gasta y cuánto queda.
Con fracciones del total: pasa todo a fracciones del total. Es la forma cómoda en los problemas inversos, en los que el dato conocido es lo que queda al final: si lo que queda es $\dfrac{1}{6}$ del total y son 10 €, el total es $10 : \dfrac{1}{6} = 60$ €.

Diagrama de barras: dibuja el total como una barra, pártela según la primera fracción y vuelve a partir solo lo que queda según la segunda. Si hace falta, divide todas las casillas para que sean iguales.

Razonar hacia atrás. En los problemas inversos de varios pasos también se puede empezar por el final: si los 15 € que quedan son $\dfrac{1}{4}$ de lo que había antes del último gasto, antes había $15 : \dfrac{1}{4} = 60$ €; y así, paso a paso, se llega hasta el principio.

Cómo resolver un problema de varios pasos

Lee el enunciado y subraya de qué cantidad es cada fracción: del total o de lo que queda.
Dibuja el diagrama de barras.
Calcula cada parte como fracción del total (o en cantidades, si conoces el total).
Responde a lo que se pregunta y comprueba el resultado con las cantidades.

Puntos clave

«De lo que queda» significa que la fracción se aplica al resto, no al total.
La fracción del total se obtiene multiplicando: $\dfrac{a}{b}$ de lo que queda $= \dfrac{a}{b} \cdot (\text{fracción que queda})$ .
En los problemas inversos se pasa todo a fracciones del total y se divide el dato final entre su fracción.
Un diagrama de barras evita confundir el total con el resto.
En los problemas inversos también se puede razonar hacia atrás, del dato final al principio, dividiendo en cada paso entre la fracción de lo que quedaba.

Errores frecuentes

ErrorSumar las dos fracciones como si fueran del total: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{4}$ .
Cómo corregirloSi dice «de lo que queda», multiplica la segunda fracción por lo que quedaba antes de sumarla o restarla.
ErrorEn un problema inverso, multiplicar el dato final por su fracción.
Cómo corregirloEl dato final es una parte: el total tiene que salir mayor. Divide entre la fracción.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La paga de Ana diagrama de barras (problema inverso)
Ana gasta $\dfrac{1}{3}$ de su paga en un libro y $\dfrac{3}{4}$ de lo que le queda en una entrada de cine con palomitas. Le sobran 10 €. ¿Cuánto dinero tenía?

Resolución
Con fracciones del total:
1. Después del libro le quedan $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ .
2. Cine: $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ del total.
3. Le sobra: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6}$ del total, que son 10 €.
4. Total: $10 : \dfrac{1}{6} = 60$ €.
Con el diagrama: la barra se parte en 3 tercios; el libro es 1 tercio. Los 2 tercios que quedan se parten en 4 trozos iguales en total (cada tercio en 2): la barra tiene ahora 6 casillas iguales. El libro son 2 casillas, el cine 3 y sobra 1 casilla = 10 €. Total: $6 \cdot 10 = 60$ €.

Comprobación: libro 20 €; quedan 40 €; cine $\dfrac{3}{4} \cdot 40 = 30$ €; sobran 10 € ✔.
Ejemplo 2. El depósito de una granja escuela numérico (paso a paso con cantidades)
El depósito de agua de una granja escuela de la sierra tiene 6000 L. El lunes se gastan $\dfrac{2}{5}$ del agua y el martes $\dfrac{1}{3}$ de la que quedaba. ¿Cuántos litros quedan?

Resolución
Lunes: $6000 \cdot \dfrac{2}{5} = 2400$ L; quedan $6000 - 2400 = 3600$ L. Martes: $3600 \cdot \dfrac{1}{3} = 1200$ L; quedan $3600 - 1200 = 2400$ L. Quedan 2400 L. Con fracciones: quedan $\dfrac{3}{5}$ y después $\dfrac{2}{3}$ de eso: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ del total; $6000 \cdot \dfrac{2}{5} = 2400$ L ✔.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un tren de Cercanías sale de Atocha con 360 viajeros. En la primera parada se bajan $\dfrac{1}{4}$ de los viajeros y en la segunda, $\dfrac{2}{9}$ de los que quedaban. Si no sube nadie, ¿cuántos viajeros siguen en el tren?

Ver solución
210 viajeros
Primera parada: se bajan $360 \cdot \dfrac{1}{4} = 90$ ; quedan 270. Segunda: se bajan $270 \cdot \dfrac{2}{9} = 60$ ; quedan $270 - 60 = 210$ .
2. Media
Pablo gasta $\dfrac{2}{5}$ de su dinero en una camiseta y la mitad de lo que le queda en unas zapatillas. Le quedan 15 €. ¿Cuánto dinero tenía al principio?

Ver solución
50 €
Tras la camiseta le quedan $\dfrac{3}{5}$ . Zapatillas: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{10}$ . Le quedan $\dfrac{3}{5} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{10}$ del total, que son 15 €. Total: $15 : \dfrac{3}{10} = 50$ €.
3. Media
De una tableta de chocolate, Marcos se come $\dfrac{1}{4}$ y Laura $\dfrac{2}{3}$ de lo que queda. ¿Qué fracción de la tableta se come Laura? ¿Qué fracción sobra? Si la tableta tiene 12 onzas, ¿cuántas onzas son?

Ver solución
Laura se come $\dfrac{1}{2}$ (6 onzas); sobra $\dfrac{1}{4}$ (3 onzas).
Tras Marcos quedan $\dfrac{3}{4}$ . Laura: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$ de la tableta. Sobra: $1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ . Con 12 onzas: Marcos 3, Laura 6 y sobran 3.

Para practicar más

1. Fácil
Una tienda tiene 480 camisetas. En la primera semana de rebajas vende $\dfrac{5}{8}$ y en la segunda, $\dfrac{2}{3}$ de las que le quedaban. ¿Cuántas camisetas le quedan?

Ver solución
60 camisetas
Primera semana quedan $480 \cdot \dfrac{3}{8} = 180$ . Segunda semana vende $180 \cdot \dfrac{2}{3} = 120$ ; quedan $180 - 120 = 60$ .
2. Media
Un excursionista recorre el primer día $\dfrac{2}{7}$ de una ruta y el segundo día $\dfrac{3}{5}$ de lo que le faltaba. Aún le quedan 8 km. ¿Cuántos kilómetros tiene la ruta?

Ver solución
28 km
Tras el primer día faltan $\dfrac{5}{7}$ . Segundo día: $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{3}{7}$ . Quedan $\dfrac{5}{7} - \dfrac{3}{7} = \dfrac{2}{7}$ , que son 8 km. Total: $8 : \dfrac{2}{7} = 28$ km.
3. Difícil
Laura gasta $\dfrac{1}{6}$ de los datos móviles de su tarifa en la primera semana del mes y $\dfrac{3}{5}$ de los que le quedan en la segunda. Le quedan 4 GB. ¿Cuántos GB tiene su tarifa? Haz un diagrama de barras.

Ver solución
12 GB
Tras la primera semana quedan $\dfrac{5}{6}$ . Segunda semana: $\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{2}$ . Quedan $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3}$ del total, que son 4 GB. Tarifa: $4 : \dfrac{1}{3} = 12$ GB. (Diagrama: barra de 6 casillas; 1 la primera semana, 3 la segunda y quedan 2 casillas = 4 GB, 2 GB cada casilla.)