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Matemáticas 3.º ESO · Números decimales. Tipos de decimales

Recuerda: de fracción a número decimal

Objetivo: Al terminar, sabrás obtener la expresión decimal de una fracción dividiendo, clasificarla en decimal exacto o periódico y escribir el periodo con la notación correcta.

Recuerda

De fracción a número decimal

Fracciones decimales. Las fracciones con denominador 10, 100, 1000… se escriben directamente como decimal: el numerador, con tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador. $\dfrac{7}{10} = 0{,}7 \qquad \dfrac{23}{100} = 0{,}23 \qquad \dfrac{5}{1000} = 0{,}005$

Cualquier fracción. Una fracción es una división: para obtener su expresión decimal se divide el numerador entre el denominador.

Si en algún momento el resto es 0, la división termina: es un decimal exacto. $\dfrac{3}{5} = 0{,}6$
Si el resto nunca es 0, las cifras del cociente acaban repitiéndose sin fin: es un decimal periódico. Las cifras que se repiten forman el periodo.

¿Por qué se repiten? Los restos siempre son menores que el divisor; si dividimos entre 11, solo puede haber restos del 1 al 10, así que tarde o temprano un resto se repite y, desde ahí, todo vuelve a empezar.

Notación: el periodo se marca con un arco (^) encima de las cifras que se repiten: $0{,}454545\ldots = 0{,}\widehat{45} \qquad 2{,}1666\ldots = 2{,}1\widehat{6}$

Fracción	División	Expresión decimal	Tipo
$\dfrac{3}{5}$	$3 : 5$	$0{,}6$	exacto
$\dfrac{1}{9}$	$1 : 9$	$0{,}111\ldots = 0{,}\widehat{1}$	periódico

Puntos clave

Fracción decimal (denominador 10, 100, 1000…): tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador.
Para pasar de fracción a decimal se divide el numerador entre el denominador.
Decimal exacto: la división acaba (resto 0).
Decimal periódico: hay un grupo de cifras, el periodo, que se repite indefinidamente.
El periodo se escribe una sola vez, con un arco encima: $0{,}\widehat{45}$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir el resultado de la calculadora (0,4545454545) como si fuera exacto.
Cómo corregirloLa calculadora corta las cifras. Si ves un grupo que se repite, es periódico: escribe $0{,}\widehat{45}$ .
ErrorPoner el arco sobre cifras que no se repiten: $2{,}\widehat{16}$ en lugar de $2{,}1\widehat{6}$ .
Cómo corregirloEscribe varias cifras ( $2{,}16666\ldots$ ) y marca solo las que se repiten siempre.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Dos divisiones, dos tipos de decimal numérico (división y restos)
Expresa como número decimal y clasifica: a) $\dfrac{7}{8}$ b) $\dfrac{5}{11}$

Resolución
a) $7 : 8$ : restos 6, 4 y 0. La división termina: $\dfrac{7}{8} = 0{,}875$ , decimal exacto.

b) $5 : 11$ :
- $50 : 11 = 4$ , resto 6
- $60 : 11 = 5$ , resto 5 → es el número con el que empezamos: a partir de aquí todo se repite (4, 5, 4, 5…).
$\dfrac{5}{11} = 0{,}4545\ldots = 0{,}\widehat{45}$ , decimal periódico de periodo 45.
Ejemplo 2. Pagar a partes iguales entre tres situación real (dinero)
Tres amigas compran un regalo de cumpleaños de 10 € y quieren pagar lo mismo. ¿Cuánto paga cada una? ¿Pueden pagar exactamente esa cantidad?

Resolución
$\dfrac{10}{3} = 10 : 3 = 3{,}333\ldots = 3{,}\widehat{3}$ €, un decimal periódico. No se puede pagar exactamente, porque no hay monedas más pequeñas que el céntimo. Si cada una paga 3,33 €, juntan 9,99 €: falta 1 céntimo, y una de ellas tendrá que pagar 3,34 €.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Expresa como número decimal y di si es exacto o periódico: a) $\dfrac{3}{4}$ b) $\dfrac{2}{9}$ c) $\dfrac{13}{20}$ d) $\dfrac{4}{7}$

Ver solución
a) $0{,}75$ , exacto. b) $0{,}\widehat{2}$ , periódico. c) $0{,}65$ , exacto. d) $0{,}\widehat{571428}$ , periódico.
a) $3 : 4 = 0{,}75$ . b) $2 : 9 = 0{,}222\ldots$ c) $13 : 20 = 0{,}65$ . d) $4 : 7 = 0{,}571428571428\ldots$ (los restos 4, 5, 1, 3, 2, 6 vuelven a empezar en 4).
2. Fácil
Escribe con la notación del periodo: a) $1{,}272727\ldots$ b) $0{,}1666\ldots$ c) $5{,}030303\ldots$

Ver solución
a) $1{,}\widehat{27}$ b) $0{,}1\widehat{6}$ c) $5{,}\widehat{03}$
a) Se repite 27. b) El 1 no se repite; solo el 6. c) Se repite el grupo 03 desde justo después de la coma.
3. Media
Ordena de menor a mayor: $\dfrac{1}{3}$ , $0{,}3$ y $0{,}33$ . Explica por qué $\dfrac{1}{3}$ no es igual a $0{,}33$ .

Ver solución
$0{,}3 < 0{,}33 < \dfrac{1}{3}$ . $\dfrac{1}{3} = 0{,}\widehat{3}$ tiene infinitas cifras 3; $0{,}33$ solo dos.
$\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ Comparando cifra a cifra: $0{,}300 < 0{,}330 < 0{,}333\ldots$ El número $0{,}33$ es una aproximación de $\dfrac{1}{3}$ , no su valor exacto.

Para practicar más

1. Fácil
Expresa como número decimal y clasifica en exacto o periódico: a) $\dfrac{9}{5}$ b) $\dfrac{7}{12}$ c) $\dfrac{11}{3}$ d) $\dfrac{3}{16}$

Ver solución
a) $1{,}8$ , exacto. b) $0{,}58\widehat{3}$ , periódico. c) $3{,}\widehat{6}$ , periódico. d) $0{,}1875$ , exacto.
a) $9 : 5 = 1{,}8$ . b) $7 : 12 = 0{,}58333\ldots$ c) $11 : 3 = 3{,}666\ldots$ d) $3 : 16 = 0{,}1875$ .
2. Media
Un pack de 6 yogures cuesta 2,50 €. ¿Cuánto cuesta cada yogur? ¿Es un decimal exacto? ¿Cuánto pagarías en la práctica por un yogur suelto al mismo precio?

Ver solución
$2{,}5 : 6 = 0{,}41\widehat{6}$ €, periódico. En la práctica, unos 0,42 €.
$2{,}5 : 6 = 0{,}41666\ldots = 0{,}41\widehat{6}$ €. No es exacto (es periódico). Redondeando a céntimos: 0,42 €.
3. Difícil
a) Escribe las ocho primeras cifras decimales de $1{,}2\widehat{34}$ . b) Escribe $0{,}575757\ldots$ con la notación del periodo. c) ¿Cuál es la cifra decimal que ocupa el lugar 10 en $0{,}\widehat{57}$ ?

Ver solución
a) $1{,}23434343$ b) $0{,}\widehat{57}$ c) 7
a) Tras el 2 se repite 34: $1{,}2\,34\,34\,34\,3\ldots$ → $1{,}23434343$ . b) Se repite 57. c) Las cifras que ocupan un lugar impar son 5 y las de lugar par, 7; el lugar 10 es par: 7.