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Matemáticas 3.º ESO · Fracciones: operaciones y problemas

Busca el error: fallos típicos con fracciones

Objetivo: Al terminar, sabrás detectar y corregir los errores más típicos de jerarquía y de signos al operar con fracciones.

Explicación

Los errores que más se repiten

Error	Ejemplo incorrecto	Lo correcto
Operar en el orden en que está escrito	$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} \cdot 2 = \dfrac{1}{2} \cdot 2$	Primero el producto: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}$
Sumar numeradores y denominadores	$\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{8}$	Común denominador: $\dfrac{3}{15} + \dfrac{10}{15}$
Cambiar solo el primer signo al quitar $-(\ldots)$	$1 - \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}\right) = 1 - \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{6}$	$1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}$
Hacer varias divisiones de derecha a izquierda	$6 : \dfrac{1}{2} : 3 = 6 : \dfrac{1}{6}$	De izquierda a derecha: $12 : 3$
Tachar números que están sumando	$\dfrac{3 + 5}{3 \cdot 2} = \dfrac{5}{2}$	Solo se simplifican factores: $\dfrac{8}{6}$
Elevar un signo menos que está fuera	$-\left(\dfrac{2}{5}\right)^2 = \dfrac{4}{25}$	$-\dfrac{4}{25}$

Cómo buscar un error

Haz tú la operación desde el principio, con la jerarquía bien aplicada.
Compara línea a línea con la resolución que te dan y localiza la primera línea que no coincide.
Di qué regla no se ha respetado y corrige a partir de ahí.

Un truco para comprobar: la calculadora científica respeta la jerarquía. Si escribes la expresión entera (con paréntesis donde haga falta) y no te da lo mismo, hay un error.

Puntos clave

Multiplicaciones y divisiones antes que sumas y restas; varias divisiones seguidas, de izquierda a derecha.
Solo se suman numeradores cuando el denominador es común.
Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de todo lo que hay dentro.
Solo se simplifican factores (números que multiplican), nunca sumandos.
Para encontrar un error, busca la primera línea que no coincide con tu resolución.

Errores frecuentes

ErrorCorregir solo el resultado final sin decir dónde está el fallo.
Cómo corregirloSeñala la línea exacta del error y nombra la regla incumplida: así no lo repites.
ErrorFiarse de la calculadora escribiendo la expresión sin paréntesis.
Cómo corregirloPara teclear $\dfrac{a + b}{c}$ escribe $(a + b) : c$ ; si no, la calculadora divide solo $b$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La suma que se coló encontrar el error (jerarquía)
Lucía ha hecho esta operación. ¿Dónde se ha equivocado? $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$

Resolución
El error está en el primer paso: ha sumado $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}$ antes de multiplicar. Lo correcto: $\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; después $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$ .
Ejemplo 2. El signo menos del paréntesis encontrar el error (signos)
Pablo ha hecho esta operación. ¿Es correcta? $\dfrac{3}{4} - \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{6}{12} - \dfrac{4}{12} = -\dfrac{1}{12}$

Resolución
No. Al quitar el paréntesis precedido de un signo menos, $-\dfrac{1}{3}$ tendría que pasar a $+\dfrac{1}{3}$ . Forma 1 (quitando bien el paréntesis): $\dfrac{9}{12} - \dfrac{6}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$ . Forma 2 (haciendo antes el paréntesis): $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ ; $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Encuentra el error y corrígelo: $\dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{2} : 4 = \dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{8} = \dfrac{16}{3}$

Ver solución
Ha dividido de derecha a izquierda. Resultado correcto: $\dfrac{1}{3}$ .
Las divisiones seguidas se hacen de izquierda a derecha: $\dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{3}$ ; $\dfrac{4}{3} : 4 = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ .
2. Media
Encuentra el error y corrígelo: $\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}\right) \cdot 2 = \dfrac{3}{8} \cdot 2 = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

Ver solución
Ha sumado numeradores y denominadores. Resultado correcto: $\dfrac{22}{15}$ .
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{11}{15}$ ; $\dfrac{11}{15} \cdot 2 = \dfrac{22}{15}$ .
3. Media
Encuentra el error y corrígelo: $-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$

Ver solución
Ha elevado también el signo menos, que está fuera del paréntesis. Resultado correcto: $\dfrac{1}{2}$ .
$-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = -\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Encuentra el error y corrígelo: $\dfrac{4 + 6}{4 \cdot 3} = \dfrac{6}{3} = 2$

Ver solución
Ha tachado un 4 que está sumando. Resultado correcto: $\dfrac{5}{6}$ .
Solo se pueden simplificar factores. Se opera primero: $\dfrac{4 + 6}{4 \cdot 3} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$ .
2. Media
Encuentra el error y corrígelo: $2 - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = 1$

Ver solución
Ha restado antes de multiplicar. Resultado correcto: $\dfrac{9}{5}$ .
$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$ ; $2 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{9}{5}$ .
3. Difícil
Encuentra el error y corrígelo: $\dfrac{5}{6} - \left[\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right] : 5 = \dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6} : 5 = 0 : 5 = 0$

Ver solución
Ha restado antes de dividir. Resultado correcto: $\dfrac{2}{3}$ .
El corchete está bien: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ . Pero después hay que dividir antes de restar: $\dfrac{5}{6} : 5 = \dfrac{5}{30} = \dfrac{1}{6}$ ; $\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ .