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Matemáticas 3.º ESO · Fracciones: operaciones y problemas

Recuerda: fracciones con paréntesis y corchetes

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver operaciones combinadas con fracciones que llevan paréntesis y corchetes, quitando los signos correctamente y simplificando el resultado.

Recuerda

Paréntesis y corchetes

Con un solo paréntesis, primero se calcula lo que hay dentro y después lo de fuera: $\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) : 4 = \dfrac{2}{3} : 4 = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$

Cuando una expresión tiene paréntesis ( ) y corchetes [ ]:

Se resuelve primero lo que está más dentro (los paréntesis), después los corchetes y por último lo de fuera.
Dentro de cada paréntesis o corchete se respeta la jerarquía: multiplicaciones y divisiones antes que sumas y restas.
En cada paso, copia lo que todavía no has operado: así no se pierde nada.
Un signo menos delante de un paréntesis afecta a todo su resultado: $-\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right) = -\left(-\dfrac{1}{4}\right) = +\dfrac{1}{4}$ .

Simplifica en cuanto puedas: los números pequeños dan menos errores.

Puntos clave

Se opera de dentro hacia fuera: paréntesis, corchetes y lo de fuera.
Dentro de cada paréntesis se respeta la jerarquía de las operaciones.
Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de su resultado.
En cada paso se copia lo que aún no se ha operado.

Errores frecuentes

ErrorCambiar de signo solo el primer término al quitar un paréntesis precedido de un signo menos.
Cómo corregirloCalcula primero el resultado del paréntesis y después aplica el signo menos a ese resultado.
ErrorDejar de copiar una parte de la expresión al pasar de una línea a otra.
Cómo corregirloAntes de pasar a la siguiente línea, comprueba que están todas las fracciones y signos que no has usado.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. De dentro hacia fuera numérico (paso a paso)
Calcula: $\left[\dfrac{1}{2} - \left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4}\right)\right] \cdot \dfrac{12}{5}$

Resolución
1. Paréntesis: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$ .
2. Corchete: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{6}{12} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{1}{12}$ .
3. Fuera: $\dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}$ .
$\left[\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{12}\right] \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{1}{12} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{1}{5}$
Ejemplo 2. Un corchete en el divisor numérico (división y multiplicación dentro del corchete)
Calcula: $2 - \dfrac{3}{5} : \left[\dfrac{1}{2} + \left(1 - \dfrac{4}{5}\right) \cdot 3\right]$

Resolución
1. Paréntesis: $1 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{5}$ .
2. Corchete (primero el producto): $\dfrac{1}{5} \cdot 3 = \dfrac{3}{5}$ ; $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{6}{10} = \dfrac{11}{10}$ .
3. Fuera, primero la división: $\dfrac{3}{5} : \dfrac{11}{10} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{11} = \dfrac{30}{55} = \dfrac{6}{11}$ .
4. Por último la resta: $2 - \dfrac{6}{11} = \dfrac{22}{11} - \dfrac{6}{11} = \dfrac{16}{11}$ .

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula: $\left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right) : \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\right)$

Ver solución
$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ ; $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .
2. Media
Calcula: $\dfrac{5}{6} - \left[\dfrac{1}{3} - \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\right]$

Ver solución
$\dfrac{1}{4}$
Paréntesis: $\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{1}{4}$ . Corchete: $\dfrac{1}{3} - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12}$ . Fuera: $\dfrac{5}{6} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{10}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ .
3. Difícil
Calcula: $\left[\left(\dfrac{2}{5} + 1\right) \cdot \dfrac{10}{21} - \dfrac{1}{3}\right] : \dfrac{2}{9}$

Ver solución
$\dfrac{3}{2}$
Paréntesis: $\dfrac{2}{5} + 1 = \dfrac{7}{5}$ . Corchete: $\dfrac{7}{5} \cdot \dfrac{10}{21} = \dfrac{70}{105} = \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}$ . Fuera: $\dfrac{1}{3} : \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{9}{2} = \dfrac{9}{6} = \dfrac{3}{2}$ .

Para practicar más

1. Fácil
Calcula: $\dfrac{1}{2} \cdot \left(\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{6}\right) + \dfrac{5}{12}$

Ver solución
$1$
$\dfrac{4}{3} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{8}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{6}$ ; $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{7}{6} = \dfrac{7}{12}$ ; $\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{12}{12} = 1$ .
2. Media
Calcula: $3 - \left[\dfrac{5}{4} - \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8}\right) : \dfrac{5}{2}\right]$

Ver solución
$2$
Paréntesis: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{5}{8}$ . Corchete (primero la división): $\dfrac{5}{8} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}$ ; $\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4} = 1$ . Fuera: $3 - 1 = 2$ .
3. Difícil
Calcula: $\left[\dfrac{7}{10} - \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2}\right)\right] \cdot \left(\dfrac{2}{3} - 1\right)$

Ver solución
$-\dfrac{1}{3}$
Paréntesis del corchete: $\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{3}{10}$ . Corchete: $\dfrac{7}{10} - \left(-\dfrac{3}{10}\right) = \dfrac{7}{10} + \dfrac{3}{10} = 1$ . Segundo paréntesis: $\dfrac{2}{3} - 1 = -\dfrac{1}{3}$ . Producto: $1 \cdot \left(-\dfrac{1}{3}\right) = -\dfrac{1}{3}$ .