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Matemáticas 3.º ESO · Fracciones: operaciones y problemas

Recuerda: jerarquía de las operaciones con fracciones

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular expresiones sencillas con fracciones (dos operaciones) respetando la jerarquía de las operaciones y dando el resultado como fracción irreducible.

Recuerda

Las cuatro operaciones con fracciones

Sumar y restar: se reducen a común denominador (con el m.c.m. de los denominadores) y se suman o restan los numeradores: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$ .
Multiplicar: numerador por numerador y denominador por denominador: $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}$ .
Dividir: se multiplica la primera por la inversa de la segunda (o «en cruz»): $\dfrac{2}{3} : \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{7}{5} = \dfrac{14}{15}$ .
Un número entero es una fracción de denominador 1: $3 = \dfrac{3}{1}$ .

Jerarquía de las operaciones

El orden es el mismo que con los números naturales y los enteros:

Paréntesis.
Potencias.
Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Cómo hacerlo sin perderse:

Antes de calcular, subraya la operación que va primero.
En cada línea haz solo esa operación (o varias que no dependan unas de otras) y copia el resto tal cual.
Al final, suma o resta con común denominador.

$1 - \underline{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{4}} = 1 - \dfrac{3}{12} = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$

Simplifica siempre que puedas (mejor antes de multiplicar) y da el resultado como fracción irreducible.

Puntos clave

Para sumar o restar fracciones hay que reducirlas antes a común denominador.
Dividir entre una fracción es multiplicar por su inversa.
Primero se multiplica y se divide; después se suma y se resta.
Un paréntesis obliga a hacer primero lo que hay dentro, y puede cambiar el resultado.
El resultado final se da como fracción irreducible.

Errores frecuentes

ErrorHacer las operaciones en el orden en que aparecen: en $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}$ , sumar primero.
Cómo corregirloAntes de operar, subraya las multiplicaciones y divisiones: se hacen primero. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ .
ErrorSumar numeradores y denominadores: $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{5}$ .
Cómo corregirloSolo se suman los numeradores cuando el denominador es común: $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Primero el producto numérico (paso a paso)
Calcula y simplifica: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5}$

Resolución
1. Primero la multiplicación, simplificando: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$ .
2. Después la suma, con m.c.m. $(3, 5) = 15$ : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{16}{15}$ .
Resultado: $\dfrac{16}{15}$ (ya es irreducible).
Ejemplo 2. Con paréntesis o sin paréntesis comparación de dos expresiones
Calcula: a) $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} : \dfrac{2}{3}$ b) $\left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}\right) : \dfrac{2}{3}$

Resolución
a) Primero la división: $\dfrac{1}{6} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$ . Después la resta: $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ .

b) Primero el paréntesis: $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}$ . Después la división: $\dfrac{7}{12} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{21}{24} = \dfrac{7}{8}$ .

Los mismos números dan resultados distintos: el paréntesis cambia el orden de las operaciones.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula y simplifica: a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9}$ b) $\dfrac{7}{6} - \dfrac{2}{3} : 4$

Ver solución
a) $\dfrac{2}{3}$ b) $1$
a) $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ ; $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$ . b) $\dfrac{2}{3} : 4 = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$ ; $\dfrac{7}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$ .
2. Media
Calcula y simplifica: a) $3 - \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{2}{5}$ b) $\dfrac{4}{9} : \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}$

Ver solución
a) $\dfrac{5}{2}$ b) $\dfrac{5}{6}$
a) $\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{20} = \dfrac{1}{2}$ ; $3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$ . b) $\dfrac{4}{9} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$ .
3. Media
Calcula las dos expresiones y explica por qué no dan lo mismo: a) $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{6}{5}$ b) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5}$

Ver solución
a) $1$ b) $\dfrac{9}{10}$ . En a) se suma primero porque lo indica el paréntesis; en b) se multiplica primero.
a) $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$ ; $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{6}{5} = 1$ . b) $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$ ; $\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{9}{10}$ . Sin paréntesis la multiplicación va antes que la suma.

Para practicar más

1. Fácil
Calcula y simplifica: a) $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{4}{3}$ b) $\dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2} : 2$

Ver solución
a) $\dfrac{4}{5}$ b) $\dfrac{3}{2}$
a) $\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ ; $\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5}$ . b) $\dfrac{3}{2} : 2 = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ .
2. Media
Calcula y simplifica: a) $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5}$ b) $\dfrac{7}{8} : \dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{3}$

Ver solución
a) $0$ b) $\dfrac{1}{6}$
a) $\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}$ ; $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = 0$ . b) $\dfrac{7}{8} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{28}{56} = \dfrac{1}{2}$ ; $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}$ .
3. Media
Marta ha escrito $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ . ¿Tiene razón? Si no, explica qué ha hecho mal y da el resultado correcto.

Ver solución
No. Ha sumado antes de multiplicar; el resultado correcto es $\dfrac{3}{4}$ .
Marta ha calculado $\left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2} = 1 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ , como si hubiera un paréntesis. Lo correcto es multiplicar primero: $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$ ; $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ .