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Matemáticas 3.º ESO · Operaciones y problemas con números racionales

Ampliación: precios unitarios y facturas

Objetivo: Al terminar, sabrás resolver problemas de varios pasos con decimales: comparar precios unitarios (€/kg, €/L) y calcular el importe de facturas sencillas.

Explicación

Precio unitario

Para comparar productos que vienen en cantidades distintas, se calcula el precio unitario: lo que cuesta un kilo, un litro o una unidad.

$\text{precio unitario} = \frac{\text{precio}}{\text{cantidad}} \qquad \text{(en €/kg, €/L…)}$

Antes de dividir, pasa la cantidad a la unidad que quieras: $750\ \text{g} = 0{,}75\ \text{kg}$ ; $33\ \text{cL} = 0{,}33\ \text{L}$ ; $500\ \text{mL} = 0{,}5\ \text{L}$ .

Al revés, si conoces el precio unitario: $\text{precio} = \text{precio unitario} \cdot \text{cantidad}$ .

Facturas sencillas

Muchas facturas (agua, gas, taxi…) tienen dos partes:

$\text{importe} = \text{parte fija} + \text{precio por unidad} \cdot \text{consumo}$

La parte fija se paga aunque no se consuma nada.
El consumo se calcula restando las lecturas del contador: lectura actual − lectura anterior.

Redondeo final

En los cálculos intermedios se trabaja con todos los decimales y solo al final se redondea a céntimos: si la cifra de las milésimas es 5 o más, se suma un céntimo ( $67{,}532\,5 \to 67{,}53$ ; $3{,}083 \to 3{,}08$ ; $1{,}969\,7 \to 1{,}97$ ).

Puntos clave

Precio unitario = precio : cantidad (con la cantidad en kg, L o unidades).
Para comparar ofertas se compara el precio unitario, no el precio del envase.
Factura = parte fija + precio por unidad · consumo.
Se redondea a céntimos solo al final.

Errores frecuentes

ErrorComparar el precio de los envases sin tener en cuenta la cantidad que trae cada uno.
Cómo corregirloCalcula el precio de 1 kg o 1 L de cada uno y compara esos precios.
ErrorDividir entre los gramos sin pasarlos a kilos: 1,60 : 500 = 0,0032 «€/kg».
Cómo corregirloSi quieres €/kg, la cantidad tiene que estar en kg: 1,60 : 0,5 = 3,20 €/kg. (0,0032 € es el precio de 1 g.)
ErrorOlvidar la parte fija de la factura.
Cómo corregirloEscribe primero la fórmula del importe con sus dos partes y después sustituye.
ErrorEn una oferta 3×2, pensar que cada unidad cuesta lo mismo que sin oferta.
Cómo corregirloCon el 3×2 se llevan 3 y se pagan 2: divide lo que pagas entre las 3 unidades para saber lo que cuesta cada una.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Qué pack de yogures sale más barato? situación real (comparar precios unitarios)
En el supermercado hay dos packs del mismo yogur: un pack de 4 yogures de 125 g por 1,60 € y un pack de 6 yogures de 120 g por 2,22 €. ¿Cuál sale más barato por kilo?

Resolución
1. Cantidad de cada pack: $4 \cdot 125 = 500\ \text{g} = 0{,}5\ \text{kg}$ ; $6 \cdot 120 = 720\ \text{g} = 0{,}72\ \text{kg}$ .
2. Precio por kilo:
  - Pack de 4: $1{,}60 : 0{,}5 = 3{,}20$ €/kg.
  - Pack de 6: $2{,}22 : 0{,}72 = 3{,}083\ldots \approx 3{,}08$ €/kg.
El pack de 6 sale más barato (unos 12 céntimos menos por kilo), aunque el envase cueste más.
Ejemplo 2. La factura del agua situación real (factura con parte fija)
Una factura del agua (datos inventados, parecidos a los reales) cobra una parte fija de 9,50 € cada dos meses más 1,16 € por cada metro cúbico consumido. El contador marcaba 1234,6 m³ en la lectura anterior y marca 1252,1 m³ ahora. ¿Cuánto hay que pagar?

Resolución
1. Consumo: $1252{,}1 - 1234{,}6 = 17{,}5\ \text{m}^3$ .
2. Parte variable: $17{,}5 \cdot 1{,}16 = 20{,}30$ €.
3. Importe: $9{,}50 + 20{,}30 = 29{,}80$ €.
Hay que pagar 29,80 €.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Una lata de refresco de 33 cL cuesta 0,65 € y una botella de 2 L del mismo refresco cuesta 1,79 €. Calcula el precio por litro de cada formato, redondeado a céntimos. ¿Cuál conviene?

Ver solución
Lata: 1,97 €/L; botella: 0,90 €/L. Conviene la botella.
Lata: 33 cL = 0,33 L; $0{,}65 : 0{,}33 = 1{,}969\ldots \approx 1{,}97$ €/L. Botella: $1{,}79 : 2 = 0{,}895 \approx 0{,}90$ €/L. El litro en botella cuesta menos de la mitad.
2. Media
Un taxi cobra (tarifa inventada) 2,50 € al subir más 1,30 € por kilómetro. a) ¿Cuánto cuesta un trayecto de 12,4 km? b) Si solo tienes 25 €, ¿cuántos kilómetros puedes recorrer como máximo? Redondea a las décimas.

Ver solución
a) 18,62 €. b) Unos 17,3 km.
a) $2{,}50 + 1{,}30 \cdot 12{,}4 = 2{,}50 + 16{,}12 = 18{,}62$ €. b) Quitando los 2,50 € que se cobran al subir (la «bajada de bandera») quedan $25 - 2{,}50 = 22{,}50$ €. $22{,}50 : 1{,}30 = 17{,}307\ldots$ Como no podemos pasarnos de 25 €, como máximo unos 17,3 km.
3. Media
En una gasolinera el litro de gasolina cuesta 1,589 €. a) ¿Cuánto cuesta llenar con 42,5 L? b) ¿Cuántos litros se pueden echar como máximo con 50 €? Da el resultado con dos decimales.

Ver solución
a) 67,53 €. b) 31,46 L.
a) $1{,}589 \cdot 42{,}5 = 67{,}532\,5 \approx 67{,}53$ €. b) $50 : 1{,}589 = 31{,}466\ldots$ Con 31,47 L se pagarían 50,01 € y no llega: se aproxima por defecto, 31,46 L.

Para practicar más

1. Fácil
Una caja de cereales de 375 g cuesta 2,85 € y otra de 500 g de la misma marca cuesta 3,65 €. ¿Cuál es más barata por kilo?

Ver solución
375 g: 7,60 €/kg; 500 g: 7,30 €/kg. Es más barata la de 500 g.
$2{,}85 : 0{,}375 = 7{,}60$ €/kg; $3{,}65 : 0{,}5 = 7{,}30$ €/kg. La caja grande sale 30 céntimos más barata por kilo.
2. Media
Una factura mensual de gas (datos inventados) cobra 6,80 € de parte fija y 0,072 € por cada kWh consumido. Este mes se han consumido 245 kWh. ¿Cuál es el importe de la factura?

Ver solución
24,44 €
Parte variable: $245 \cdot 0{,}072 = 17{,}64$ €. Importe: $6{,}80 + 17{,}64 = 24{,}44$ €.
3. Media
En la charcutería, un paquete de 150 g de jamón cuesta 4,35 €. a) ¿A cuánto sale el kilo? b) ¿Cuánto costarían 225 g al mismo precio por kilo?

Ver solución
a) 29 €/kg. b) 6,53 €.
a) $4{,}35 : 0{,}150 = 29$ €/kg. b) $29 \cdot 0{,}225 = 6{,}525 \approx 6{,}53$ €.