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Matemáticas 3.º ESO · Fracción generatriz de un decimal

Fracción generatriz de decimales exactos y periódicos puros

Objetivo: Al terminar, sabrás calcular la fracción generatriz de un decimal exacto y de un decimal periódico puro, entendiendo de dónde sale la regla y comprobando el resultado dividiendo.

Explicación

Fracción generatriz

Los decimales exactos y los periódicos son números racionales: se pueden escribir como fracción. La fracción generatriz de un decimal es la fracción irreducible que, al dividir, da ese decimal.

Decimales exactos (recuerda)

Número sin coma entre 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales: $1{,}48 = \dfrac{148}{100} = \dfrac{37}{25}$ .

Decimales periódicos puros: el método

Para $N = 1{,}\widehat{7} = 1{,}777\ldots$ :

Multiplicamos por 10 (el periodo tiene 1 cifra) para que un periodo pase delante de la coma: $10N = 17{,}777\ldots$
Restamos $N$ : las infinitas cifras decimales, que son iguales, se anulan: $\begin{array}{r} 10N = 17{,}777\ldots \\ -\;\;N = \;\;1{,}777\ldots \\ \hline 9N = 16 \end{array} \qquad\Rightarrow\qquad N = \dfrac{16}{9}$

Si el periodo tiene 2 cifras se multiplica por 100; si tiene 3, por 1000…

La regla

$\text{Generatriz} = \dfrac{\text{número sin coma (hasta el final del periodo)} - \text{parte entera}}{\text{tantos 9 como cifras tiene el periodo}}$

$1{,}\widehat{7} = \dfrac{17 - 1}{9} = \dfrac{16}{9} \qquad 0{,}\widehat{24} = \dfrac{24}{99} = \dfrac{8}{33}$

Comprueba siempre dividiendo el numerador entre el denominador (con la calculadora vale).

Puntos clave

La fracción generatriz es la fracción irreducible que da el decimal.
Exacto: número sin coma entre 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales.
Periódico puro: se multiplica por 10, 100, 1000… (según las cifras del periodo) y se resta el número; los decimales se anulan.
Regla del periódico puro: (número sin coma − parte entera) entre tantos 9 como cifras tiene el periodo.
Se simplifica y se comprueba dividiendo.

Errores frecuentes

ErrorPoner un 9 por cada cifra decimal que se ve escrita, en lugar de por cada cifra del periodo.
Cómo corregirloCuenta solo las cifras que están bajo el arco: $0{,}\widehat{24}$ tiene 2 → denominador 99.
ErrorOlvidar restar la parte entera: $1{,}\widehat{7} = \dfrac{17}{9}$ .
Cómo corregirloCompruébalo dividiendo: $17 : 9 = 1{,}\widehat{8}$ , no $1{,}\widehat{7}$ . Hay que restar la parte entera: $\dfrac{17 - 1}{9} = \dfrac{16}{9}$ .
ErrorNo simplificar el resultado.
Cómo corregirloLa generatriz es la fracción irreducible: $\dfrac{24}{99} = \dfrac{8}{33}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Multiplicar y restar método algebraico (de dónde sale la regla)
Halla la fracción generatriz de: a) $0{,}\widehat{8}$ b) $3{,}\widehat{45}$

Resolución
a) $N = 0{,}888\ldots$ El periodo tiene 1 cifra → multiplicamos por 10: $10N = 8{,}888\ldots$ ; restando, $10N - N = 8{,}888\ldots - 0{,}888\ldots$ → $9N = 8$ → $N = \dfrac{8}{9}$ .

b) $N = 3{,}4545\ldots$ El periodo tiene 2 cifras → multiplicamos por 100: $100N = 345{,}4545\ldots$ ; restando, $100N - N = 345{,}4545\ldots - 3{,}4545\ldots$ → $99N = 342$ → $N = \dfrac{342}{99} = \dfrac{38}{11}$ (dividiendo entre 9).

Comprobación: $38 : 11 = 3{,}4545\ldots$ ✔
Ejemplo 2. Con la regla numérico (regla directa)
Halla la fracción generatriz de: a) $2{,}35$ b) $1{,}\widehat{216}$

Resolución
a) Exacto, 2 cifras decimales: $2{,}35 = \dfrac{235}{100} = \dfrac{47}{20}$ .

b) Periódico puro, periodo de 3 cifras → denominador 999: $1{,}\widehat{216} = \dfrac{1216 - 1}{999} = \dfrac{1215}{999} = \dfrac{45}{37}$ (simplificando entre 27). Comprobación: $45 : 37 = 1{,}216216\ldots$ ✔
Ejemplo 3. La duración de un capítulo situación real (tiempo)
Una plataforma indica que la duración media de los capítulos de una serie de dibujos es $4{,}\widehat{3}$ minutos. ¿Cuánto es en minutos y segundos?

Resolución
Generatriz: $4{,}\widehat{3} = \dfrac{43 - 4}{9} = \dfrac{39}{9} = \dfrac{13}{3}$ min. $\dfrac{13}{3} = 4 + \dfrac{1}{3}$ min, y $\dfrac{1}{3}$ de minuto son $60 : 3 = 20$ s. Cada capítulo dura, de media, 4 min 20 s. (Si hubiéramos usado 4,3 min, saldrían $0{,}3 \cdot 60 = 18$ s: un error.)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Halla la fracción generatriz de estos decimales exactos: a) $0{,}6$ b) $3{,}25$ c) $0{,}048$

Ver solución
a) $\dfrac{3}{5}$ b) $\dfrac{13}{4}$ c) $\dfrac{6}{125}$
a) $\dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$ b) $\dfrac{325}{100} = \dfrac{13}{4}$ c) $\dfrac{48}{1000} = \dfrac{6}{125}$
2. Fácil
Halla la fracción generatriz con el método de multiplicar y restar: a) $0{,}\widehat{5}$ b) $2{,}\widehat{4}$

Ver solución
a) $\dfrac{5}{9}$ b) $\dfrac{22}{9}$
a) $10N = 5{,}555\ldots$ ; $10N - N = 5$ → $9N = 5$ → $N = \dfrac{5}{9}$ . b) $10N = 24{,}444\ldots$ ; $10N - N = 24{,}444\ldots - 2{,}444\ldots = 22$ → $N = \dfrac{22}{9}$ .
3. Media
Halla la fracción generatriz con la regla y simplifica: a) $0{,}\widehat{36}$ b) $4{,}\widehat{12}$ c) $0{,}\widehat{135}$

Ver solución
a) $\dfrac{4}{11}$ b) $\dfrac{136}{33}$ c) $\dfrac{5}{37}$
a) $\dfrac{36}{99} = \dfrac{4}{11}$ b) $\dfrac{412 - 4}{99} = \dfrac{408}{99} = \dfrac{136}{33}$ c) $\dfrac{135}{999} = \dfrac{5}{37}$
4. Media
Halla la fracción generatriz de $2{,}\widehat{142857}$ y comprueba el resultado con la calculadora.

Ver solución
$\dfrac{15}{7}$
Periodo de 6 cifras: $\dfrac{2142857 - 2}{999999} = \dfrac{2142855}{999999} = \dfrac{15}{7}$ (dividiendo entre 142857). Comprobación: $15 : 7 = 2{,}142857142\ldots$ ✔
5. Difícil
Un equipo de fútbol sala ha jugado 9 partidos de liga y su media de goles por partido es exactamente $3{,}\widehat{2}$ . ¿Cuántos goles ha marcado en total?

Ver solución
29 goles
$3{,}\widehat{2} = \dfrac{32 - 3}{9} = \dfrac{29}{9}$ goles por partido. Total: $\dfrac{29}{9} \cdot 9 = 29$ goles. (Con 3,2 saldrían 28,8 goles, que no tiene sentido.)

Para practicar más

1. Fácil
Halla la fracción generatriz: a) $0{,}35$ b) $2{,}08$ c) $0{,}0025$

Ver solución
a) $\dfrac{7}{20}$ b) $\dfrac{52}{25}$ c) $\dfrac{1}{400}$
a) $\dfrac{35}{100} = \dfrac{7}{20}$ b) $\dfrac{208}{100} = \dfrac{52}{25}$ c) $\dfrac{25}{10\,000} = \dfrac{1}{400}$
2. Fácil
Halla la fracción generatriz y simplifica: a) $0{,}\widehat{1}$ b) $5{,}\widehat{3}$ c) $0{,}\widehat{63}$ d) $1{,}\widehat{054}$

Ver solución
a) $\dfrac{1}{9}$ b) $\dfrac{16}{3}$ c) $\dfrac{7}{11}$ d) $\dfrac{39}{37}$
a) $\dfrac{1}{9}$ b) $\dfrac{53 - 5}{9} = \dfrac{48}{9} = \dfrac{16}{3}$ c) $\dfrac{63}{99} = \dfrac{7}{11}$ d) $\dfrac{1054 - 1}{999} = \dfrac{1053}{999} = \dfrac{39}{37}$
3. Media
Usa el método de multiplicar y restar para hallar la fracción generatriz de a) $1{,}\widehat{4}$ y b) $0{,}\widehat{07}$ . En b), explica por qué hay que multiplicar por 100 y no por 10.

Ver solución
a) $\dfrac{13}{9}$ b) $\dfrac{7}{99}$
a) $10N = 14{,}444\ldots$ ; $10N - N = 13$ → $N = \dfrac{13}{9}$ . b) El periodo, 07, tiene 2 cifras: con $100N = 7{,}0707\ldots$ un periodo entero pasa delante de la coma y los decimales de $100N$ y $N$ coinciden. $99N = 7$ → $N = \dfrac{7}{99}$ . Con $10N = 0{,}7070\ldots$ los decimales no coinciden con los de $N = 0{,}0707\ldots$ y no se anulan.
4. Media
En una tienda online, 3 m de cable cuestan 10 €, y la web indica que el precio es de $3{,}\widehat{3}$ €/m. Usando la fracción generatriz, calcula el precio exacto de 6 m de cable.

Ver solución
20 €
$3{,}\widehat{3} = \dfrac{33 - 3}{9} = \dfrac{30}{9} = \dfrac{10}{3}$ €/m. Precio de 6 m: $\dfrac{10}{3} \cdot 6 = 20$ €. (Con 3,33 €/m saldrían 19,98 €.)
5. Difícil
Ordena de menor a mayor pasando a fracción: $0{,}\widehat{18}$ ; $\dfrac{2}{11}$ ; $0{,}18$ . ¿Hay alguno igual a otro?

Ver solución
$0{,}18 < 0{,}\widehat{18} = \dfrac{2}{11}$
$0{,}\widehat{18} = \dfrac{18}{99} = \dfrac{2}{11}$ : son el mismo número. $0{,}18 = \dfrac{18}{100}$ , que es menor que $\dfrac{18}{99}$ (mismo numerador y mayor denominador).