Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U1 · Números racionales e irracionales

Matemáticas 3.º ESO · Números decimales. Tipos de decimales

¿Exacto o periódico? Saberlo sin dividir

Objetivo: Al terminar, sabrás predecir, sin hacer la división, si una fracción da un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto a partir de la factorización del denominador de su fracción irreducible, y justificar por qué.

Explicación

¿Se puede saber el tipo de decimal sin dividir?

Sí. Basta con mirar el denominador de la fracción irreducible.

Pasos:

Simplifica la fracción hasta que sea irreducible.
Factoriza el denominador en factores primos.
Aplica la regla:

Factores primos del denominador	Tipo de decimal	Ejemplo
Solo 2, solo 5, o solo 2 y 5	Exacto	$\dfrac{3}{20}$ , $20 = 2^2 \cdot 5$ → $0{,}15$
Ningún 2 ni ningún 5	Periódico puro	$\dfrac{2}{3}$ → $0{,}\widehat{6}$
Algún 2 o 5 y además otros primos	Periódico mixto	$\dfrac{1}{15}$ , $15 = 3 \cdot 5$ → $0{,}0\widehat{6}$

¿Por qué funciona?

Un decimal exacto se puede escribir con denominador 10, 100, 1000…, y $10 = 2 \cdot 5$ , $100 = 2^2 \cdot 5^2$ , $1000 = 2^3 \cdot 5^3$ … Las potencias de 10 solo tienen los factores 2 y 5.

Si el denominador solo tiene doses y cincos, podemos multiplicar arriba y abajo hasta conseguir una potencia de 10: $\dfrac{3}{20} = \dfrac{3 \cdot 5}{2^2 \cdot 5 \cdot 5} = \dfrac{15}{100} = 0{,}15$ . Es exacto.
Si el denominador tiene otro factor (3, 7, 11…), ninguna potencia de 10 es múltiplo suyo, así que la división nunca acaba: es periódico.

Además, en un decimal exacto el número de cifras decimales es el mayor de los exponentes del 2 y del 5: $\dfrac{3}{20}$ , con $2^2 \cdot 5$ , tiene 2 cifras decimales.

¡Cuidado! La regla solo vale con la fracción irreducible: $\dfrac{6}{15}$ tiene un 3 en el denominador, pero $\dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ es exacto.

Puntos clave

Antes de nada, simplifica: la regla se aplica a la fracción irreducible.
Denominador con solo factores 2 y/o 5 → decimal exacto.
Denominador sin ningún 2 ni 5 → periódico puro.
Denominador con 2 o 5 y otros factores → periódico mixto.
Un decimal exacto tiene tantas cifras decimales como el mayor exponente del 2 o del 5.

Errores frecuentes

ErrorAplicar la regla sin simplificar: decir que $\dfrac{18}{24}$ es periódico porque $24 = 2^3 \cdot 3$ .
Cómo corregirloSimplifica primero: $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ , y $4 = 2^2$ → exacto ( $0{,}75$ ).
ErrorPensar que si el denominador es par, el decimal es exacto: $\dfrac{1}{6}$ .
Cómo corregirloMira todos los factores: $6 = 2 \cdot 3$ . Hay un 2, pero también un 3 → periódico mixto ( $0{,}1\widehat{6}$ ).
ErrorMirar el numerador.
Cómo corregirloEn una fracción irreducible, el tipo de decimal depende solo del denominador.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Tres fracciones, tres tipos numérico (factorizar y comprobar con la calculadora)
Sin dividir, di qué tipo de decimal da cada fracción. Después compruébalo con la calculadora: a) $\dfrac{7}{40}$ b) $\dfrac{5}{12}$ c) $\dfrac{4}{21}$

Resolución
Las tres son irreducibles.

a) $40 = 2^3 \cdot 5$ : solo doses y cincos → exacto, con 3 cifras decimales. $\dfrac{7}{40} = 0{,}175$ ✔ b) $12 = 2^2 \cdot 3$ : hay un 2 y además un 3 → periódico mixto. $\dfrac{5}{12} = 0{,}41666\ldots = 0{,}41\widehat{6}$ ✔ c) $21 = 3 \cdot 7$ : ni 2 ni 5 → periódico puro. $\dfrac{4}{21} = 0{,}190476190476\ldots = 0{,}\widehat{190476}$ ✔
Ejemplo 2. Primero, simplificar razonamiento (trampa del denominador)
Andrés dice que $\dfrac{33}{150}$ y $\dfrac{18}{24}$ dan decimales periódicos porque $150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ y $24 = 2^3 \cdot 3$ tienen un 3. ¿Tiene razón?

Resolución
No: ninguna de las dos fracciones es irreducible.
- $\dfrac{33}{150} = \dfrac{11}{50}$ (dividiendo entre 3), y $50 = 2 \cdot 5^2$ → exacto: $0{,}22$ .
- $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ (dividiendo entre 6), y $4 = 2^2$ → exacto: $0{,}75$ .
El 3 del denominador se va al simplificar, porque el numerador también es múltiplo de 3.
Ejemplo 3. ¿Por qué la regla funciona? justificación (fracciones decimales)
a) Escribe $\dfrac{3}{8}$ y $\dfrac{7}{25}$ como fracciones con denominador 10, 100 o 1000, y después como decimales. b) Explica por qué no se puede hacer lo mismo con $\dfrac{1}{3}$ .

Resolución
a) $8 = 2^3$ ; para llegar a $1000 = 2^3 \cdot 5^3$ multiplicamos por $5^3 = 125$ : $\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \dfrac{375}{1000} = 0{,}375$ . $25 = 5^2$ ; para llegar a $100 = 2^2 \cdot 5^2$ multiplicamos por $2^2 = 4$ : $\dfrac{7}{25} = \dfrac{28}{100} = 0{,}28$ .

b) Habría que encontrar una potencia de 10 que fuera múltiplo de 3. Pero $10, 100, 1000\ldots$ solo tienen los factores 2 y 5, así que ninguna es múltiplo de 3. Por eso $\dfrac{1}{3}$ no puede ser un decimal exacto: es periódico ( $0{,}\widehat{3}$ ).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Factoriza el denominador y di, sin dividir, si la fracción da un decimal exacto, periódico puro o periódico mixto: a) $\dfrac{7}{16}$ b) $\dfrac{5}{9}$ c) $\dfrac{7}{50}$ d) $\dfrac{1}{6}$

Ver solución
a) Exacto. b) Periódico puro. c) Exacto. d) Periódico mixto.
a) $16 = 2^4$ → exacto ( $0{,}4375$ ). b) $9 = 3^2$ → puro ( $0{,}\widehat{5}$ ). c) $50 = 2 \cdot 5^2$ → exacto ( $0{,}14$ ). d) $6 = 2 \cdot 3$ → mixto ( $0{,}1\widehat{6}$ ).
2. Media
Simplifica y di qué tipo de decimal da: a) $\dfrac{18}{45}$ b) $\dfrac{33}{90}$ c) $\dfrac{22}{77}$ d) $\dfrac{27}{120}$

Ver solución
a) $\dfrac{2}{5}$ , exacto. b) $\dfrac{11}{30}$ , periódico mixto. c) $\dfrac{2}{7}$ , periódico puro. d) $\dfrac{9}{40}$ , exacto.
a) $\dfrac{18}{45} = \dfrac{2}{5}$ → exacto ( $0{,}4$ ). b) $\dfrac{33}{90} = \dfrac{11}{30}$ , $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ → mixto ( $0{,}3\widehat{6}$ ). c) $\dfrac{22}{77} = \dfrac{2}{7}$ → puro. d) $\dfrac{27}{120} = \dfrac{9}{40}$ , $40 = 2^3 \cdot 5$ → exacto ( $0{,}225$ ).
3. Media
Sin dividir, di cuántas cifras decimales tiene la expresión decimal de cada fracción. Después compruébalo: a) $\dfrac{13}{80}$ b) $\dfrac{9}{125}$ c) $\dfrac{17}{32}$

Ver solución
a) 4 ( $0{,}1625$ ) b) 3 ( $0{,}072$ ) c) 5 ( $0{,}53125$ )
a) $80 = 2^4 \cdot 5$ : mayor exponente 4 → 4 cifras: $0{,}1625$ . b) $125 = 5^3$ → 3 cifras: $0{,}072$ . c) $32 = 2^5$ → 5 cifras: $0{,}53125$ .
4. Media
En una papelería venden estos lotes: 16 bolígrafos por 9 €, 15 lápices por 4 € y 11 carpetas por 8 €. Sin hacer la división, di en qué lotes el precio de una unidad es un decimal exacto y en cuáles es periódico (puro o mixto). Después calcula los tres precios.

Ver solución
Bolígrafo: exacto ( $0{,}5625$ €). Lápiz: periódico mixto ( $0{,}2\widehat{6}$ €). Carpeta: periódico puro ( $0{,}\widehat{72}$ €).
Bolígrafo: $\dfrac{9}{16}$ , $16 = 2^4$ → exacto: $0{,}5625$ €. Lápiz: $\dfrac{4}{15}$ , $15 = 3 \cdot 5$ → mixto: $0{,}2666\ldots = 0{,}2\widehat{6}$ €. Carpeta: $\dfrac{8}{11}$ → puro: $0{,}7272\ldots = 0{,}\widehat{72}$ €. (En la tienda se redondearían a 0,56 €, 0,27 € y 0,73 €.)
5. Difícil
Escribe una fracción irreducible con denominador entre 20 y 30 que dé: a) un decimal exacto; b) un periódico puro; c) un periódico mixto. Justifica cada elección.

Ver solución
Por ejemplo: a) 1/20 o 1/25; b) 1/21, 1/23, 1/27 o 1/29; c) 1/22, 1/24, 1/26, 1/28 o 1/30.
a) $20 = 2^2 \cdot 5$ o $25 = 5^2$ : solo doses y cincos. b) $21 = 3 \cdot 7$ , $23$ , $27 = 3^3$ , $29$ : ni 2 ni 5. c) $22 = 2 \cdot 11$ , $24 = 2^3 \cdot 3$ , $26 = 2 \cdot 13$ , $28 = 2^2 \cdot 7$ , $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$ : tienen 2 o 5 y otro primo. (Con numerador 1 la fracción es siempre irreducible.)
6. Difícil
¿Para qué números naturales $n$ entre 2 y 20 la fracción $\dfrac{1}{n}$ es un decimal exacto?

Ver solución
n = 2, 4, 5, 8, 10, 16 y 20.
Hay que buscar los números que solo tienen los factores 2 y 5: $2$ , $4 = 2^2$ , $5$ , $8 = 2^3$ , $10 = 2 \cdot 5$ , $16 = 2^4$ y $20 = 2^2 \cdot 5$ .

Para practicar más

1. Fácil
Sin dividir, clasifica el decimal que da cada fracción: a) $\dfrac{9}{20}$ b) $\dfrac{4}{33}$ c) $\dfrac{11}{18}$ d) $\dfrac{3}{64}$ e) $\dfrac{7}{14}$

Ver solución
a) Exacto. b) Periódico puro. c) Periódico mixto. d) Exacto. e) Exacto.
a) $20 = 2^2 \cdot 5$ → $0{,}45$ . b) $33 = 3 \cdot 11$ → $0{,}\widehat{12}$ . c) $18 = 2 \cdot 3^2$ → $0{,}6\widehat{1}$ . d) $64 = 2^6$ → $0{,}046875$ . e) $\dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}$ → $0{,}5$ .
2. Media
Simplifica y clasifica sin dividir: a) $\dfrac{21}{56}$ b) $\dfrac{26}{65}$ c) $\dfrac{15}{66}$ d) $\dfrac{15}{63}$

Ver solución
a) $\dfrac{3}{8}$ , exacto. b) $\dfrac{2}{5}$ , exacto. c) $\dfrac{5}{22}$ , periódico mixto. d) $\dfrac{5}{21}$ , periódico puro.
a) Entre 7: $\dfrac{3}{8}$ , $8 = 2^3$ . b) Entre 13: $\dfrac{2}{5}$ . c) Entre 3: $\dfrac{5}{22}$ , $22 = 2 \cdot 11$ . d) Entre 3: $\dfrac{5}{21}$ , $21 = 3 \cdot 7$ .
3. Media
Sin dividir, di cuántas cifras decimales tendrá cada fracción y comprueba después: a) $\dfrac{11}{40}$ b) $\dfrac{3}{250}$ c) $\dfrac{1}{128}$

Ver solución
a) 3 ( $0{,}275$ ) b) 3 ( $0{,}012$ ) c) 7 ( $0{,}0078125$ )
a) $40 = 2^3 \cdot 5$ → 3. b) $250 = 2 \cdot 5^3$ → 3. c) $128 = 2^7$ → 7.
4. Media
En una carrera de relevos de 5 km, cada equipo reparte la distancia a partes iguales entre sus corredores. Hay equipos de 4, de 6 y de 8 corredores. Sin dividir, ¿en qué equipos la distancia de cada corredor, en km, es un decimal exacto? Calcúlala en los tres casos.

Ver solución
Equipos de 4 y de 8: exacto (1,25 km y 0,625 km). Equipo de 6: periódico mixto ( $0{,}8\widehat{3}$ km).
$\dfrac{5}{4}$ : $4 = 2^2$ → exacto, $1{,}25$ km. $\dfrac{5}{6}$ : $6 = 2 \cdot 3$ → mixto, $0{,}8333\ldots = 0{,}8\widehat{3}$ km. $\dfrac{5}{8}$ : $8 = 2^3$ → exacto, $0{,}625$ km.
5. Media
Daniel dice que $\dfrac{9}{15}$ es un decimal periódico mixto porque $15 = 3 \cdot 5$ . ¿Tiene razón? Justifica tu respuesta.

Ver solución
No: $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$ , exacto.
La fracción no es irreducible: $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$ . Su denominador, 5, solo tiene el factor 5, así que es exacto: $0{,}6$ .
6. Difícil
¿Cuál es el menor número natural por el que hay que multiplicar $\dfrac{5}{18}$ para obtener un decimal exacto? ¿Qué decimal se obtiene?

Ver solución
Por 9; se obtiene $\dfrac{5}{2} = 2{,}5$ .
$18 = 2 \cdot 3^2$ . Hay que eliminar el $3^2 = 9$ del denominador: $\dfrac{5}{18} \cdot 9 = \dfrac{45}{18} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$ . Con un número menor (1 a 8) siempre queda algún 3 en el denominador.