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Explicación

Periódicos mixtos: el método

En un periódico mixto hay anteperiodo, así que hay que multiplicar dos veces: una para llevar la coma detrás del primer periodo y otra para llevarla justo delante del periodo. Así las dos expresiones tienen la misma parte decimal y, al restar, se anula.

Para $N = 0{,}2\widehat{5} = 0{,}2555\ldots$ (anteperiodo de 1 cifra, periodo de 1 cifra):

$\begin{array}{r} 100N = 25{,}555\ldots \\ -\;\;10N = \;\;2{,}555\ldots \\ \hline 90N = 23 \end{array} \qquad\Rightarrow\qquad N = \dfrac{23}{90}$

La regla

$\text{Generatriz} = \dfrac{\text{número sin coma (hasta el final del periodo)} - \text{número sin coma hasta el final del anteperiodo}}{\text{tantos 9 como cifras del periodo, seguidos de tantos 0 como cifras del anteperiodo}}$

$0{,}2\widehat{5} = \dfrac{25 - 2}{90} = \dfrac{23}{90} \qquad 1{,}0\widehat{45} = \dfrac{1045 - 10}{990} = \dfrac{1035}{990} = \dfrac{23}{22}$

Resumen de los tres tipos

Tipo	Ejemplo	Numerador	Denominador
Exacto	$0{,}75$	$75$	$100$
Periódico puro	$0{,}\widehat{75}$	$75$	$99$
Periódico mixto	$0{,}7\widehat{5}$	$75 - 7$	$90$

Simplifica siempre el resultado y compruébalo dividiendo.

Puntos clave

En un periódico mixto se multiplica por dos potencias de 10 para que la coma quede detrás del primer periodo y justo antes del periodo, y se restan.
Numerador: número sin coma hasta el final del periodo menos el número sin coma hasta el final del anteperiodo.
Denominador: un 9 por cada cifra del periodo y un 0 por cada cifra del anteperiodo.
El resultado se simplifica y se comprueba dividiendo.

Errores frecuentes

ErrorTratar un periódico mixto como si fuera puro: $0{,}1\widehat{2} = \dfrac{12}{99}$ .
Cómo corregirloFíjate en si hay anteperiodo. Si lo hay, se resta y se añaden ceros al denominador: $0{,}1\widehat{2} = \dfrac{12 - 1}{90} = \dfrac{11}{90}$ .
ErrorPoner los ceros delante de los nueves (09 en vez de 90).
Cómo corregirloPrimero los 9 (periodo) y después los 0 (anteperiodo): sale de restar $100N - 10N = 90N$ .
ErrorRestar solo el anteperiodo y olvidar la parte entera: $1{,}0\widehat{45} = \dfrac{1045 - 0}{990}$ .
Cómo corregirloSe resta todo lo que hay antes del periodo, sin la coma: parte entera y anteperiodo ( $10$ ).

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Multiplicar dos veces y restar método algebraico (justificación)
Halla la fracción generatriz de $0{,}4\widehat{6}$ justificando cada paso.

Resolución
$N = 0{,}4666\ldots$ Anteperiodo: 4 (1 cifra). Periodo: 6 (1 cifra).
1. Llevamos la coma detrás del primer periodo (2 cifras decimales): $100N = 46{,}666\ldots$
2. Llevamos la coma justo antes del periodo (1 cifra decimal): $10N = 4{,}666\ldots$
3. Restamos; las partes decimales son iguales y se anulan: $100N - 10N = 46 - 4$ → $90N = 42$ .
4. Despejamos y simplificamos: $N = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$ .
Comprobación: $7 : 15 = 0{,}4666\ldots$ ✔
Ejemplo 2. Con la regla numérico (regla directa)
Halla la fracción generatriz de $2{,}3\widehat{45}$ .

Resolución
Parte entera 2, anteperiodo 3 (1 cifra), periodo 45 (2 cifras) → denominador 990. $2{,}3\widehat{45} = \dfrac{2345 - 23}{990} = \dfrac{2322}{990} = \dfrac{129}{55}$ (simplificando entre 18). Comprobación: $129 : 55 = 2{,}34545\ldots$ ✔
Ejemplo 3. La media de las notas situación real (recuperar un total)
La aplicación del instituto dice que la media de las 6 notas de Irene en Matemáticas este trimestre es $7{,}1\widehat{6}$ . ¿Cuánto suman sus 6 notas?

Resolución
Generatriz: $7{,}1\widehat{6} = \dfrac{716 - 71}{90} = \dfrac{645}{90} = \dfrac{43}{6}$ . Como media $= \dfrac{\text{suma}}{6}$ , la suma es $\dfrac{43}{6} \cdot 6 = 43$ . Sus notas suman 43 puntos. (Si usáramos 7,17 saldría 43,02, que no puede ser una suma de notas enteras o con medio punto.)

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica el anteperiodo, el periodo y el denominador de la fracción generatriz (antes de simplificar). Después halla la generatriz: a) $0{,}3\widehat{7}$ b) $1{,}08\widehat{3}$ c) $2{,}1\widehat{36}$

Ver solución
a) 3; 7; 90 → $\dfrac{17}{45}$ . b) 08; 3; 900 → $\dfrac{13}{12}$ . c) 1; 36; 990 → $\dfrac{47}{22}$ .
a) $\dfrac{37 - 3}{90} = \dfrac{34}{90} = \dfrac{17}{45}$ . b) $\dfrac{1083 - 108}{900} = \dfrac{975}{900} = \dfrac{13}{12}$ . c) $\dfrac{2136 - 21}{990} = \dfrac{2115}{990} = \dfrac{47}{22}$ .
2. Media
Halla la fracción generatriz de $0{,}5\widehat{3}$ con el método de multiplicar y restar.

Ver solución
$\dfrac{8}{15}$
$N = 0{,}5333\ldots$ ; $100N = 53{,}333\ldots$ ; $10N = 5{,}333\ldots$ ; $90N = 48$ → $N = \dfrac{48}{90} = \dfrac{8}{15}$ .
3. Media
Halla la fracción generatriz y simplifica: a) $1{,}7\widehat{2}$ b) $0{,}0\widehat{5}$ c) $5{,}2\widehat{18}$ d) $0{,}12\widehat{5}$

Ver solución
a) $\dfrac{31}{18}$ b) $\dfrac{1}{18}$ c) $\dfrac{287}{55}$ d) $\dfrac{113}{900}$
a) $\dfrac{172 - 17}{90} = \dfrac{155}{90} = \dfrac{31}{18}$ b) $\dfrac{5 - 0}{90} = \dfrac{1}{18}$ c) $\dfrac{5218 - 52}{990} = \dfrac{5166}{990} = \dfrac{287}{55}$ d) $\dfrac{125 - 12}{900} = \dfrac{113}{900}$
4. Media
Halla la fracción generatriz de $0{,}3\widehat{18}$ y comprueba con la calculadora que al dividir sale ese decimal.

Ver solución
$\dfrac{7}{22}$
$\dfrac{318 - 3}{990} = \dfrac{315}{990} = \dfrac{7}{22}$ (entre 45). Comprobación: $7 : 22 = 0{,}31818\ldots$ ✔
5. Difícil
Clasifica cada número y halla su fracción generatriz: a) $0{,}48$ b) $0{,}\widehat{48}$ c) $0{,}4\widehat{8}$ . ¿Por qué salen tres fracciones distintas?

Ver solución
a) Exacto, $\dfrac{12}{25}$ . b) Puro, $\dfrac{16}{33}$ . c) Mixto, $\dfrac{22}{45}$ . Son números distintos.
a) $\dfrac{48}{100} = \dfrac{12}{25}$ . b) $\dfrac{48}{99} = \dfrac{16}{33}$ . c) $\dfrac{48 - 4}{90} = \dfrac{44}{90} = \dfrac{22}{45}$ . Aunque se escriben con las mismas cifras, son números distintos: $0{,}48$ ; $0{,}4848\ldots$ ; $0{,}4888\ldots$

Para practicar más

1. Fácil
Halla la fracción generatriz y simplifica: a) $0{,}3\widehat{8}$ b) $2{,}0\widehat{4}$ c) $1{,}2\widehat{36}$

Ver solución
a) $\dfrac{7}{18}$ b) $\dfrac{92}{45}$ c) $\dfrac{68}{55}$
a) $\dfrac{38 - 3}{90} = \dfrac{35}{90} = \dfrac{7}{18}$ b) $\dfrac{204 - 20}{90} = \dfrac{184}{90} = \dfrac{92}{45}$ c) $\dfrac{1236 - 12}{990} = \dfrac{1224}{990} = \dfrac{68}{55}$
2. Media
Halla la fracción generatriz de $4{,}1\widehat{2}$ con el método de multiplicar y restar, explicando por qué multiplicas por esos números.

Ver solución
$\dfrac{371}{90}$
$N = 4{,}1222\ldots$ Multiplicamos por 100 para dejar la coma detrás del primer periodo: $100N = 412{,}222\ldots$ ; y por 10 para dejarla justo antes del periodo: $10N = 41{,}222\ldots$ Las partes decimales coinciden; restando: $90N = 371$ → $N = \dfrac{371}{90}$ (ya es irreducible).
3. Media
Un autobús interurbano tarda 15 minutos entre dos paradas y su velocidad media en ese tramo es de $1{,}1\widehat{3}$ km/min. ¿Qué distancia hay entre las dos paradas?

Ver solución
17 km
$1{,}1\widehat{3} = \dfrac{113 - 11}{90} = \dfrac{102}{90} = \dfrac{17}{15}$ km/min. Distancia: $\dfrac{17}{15} \cdot 15 = 17$ km.
4. Media
Lucas dice que la fracción generatriz de $0{,}1\widehat{2}$ es $\dfrac{12}{99}$ . Explica su error y corrígelo. ¿Qué decimal da en realidad $\dfrac{12}{99}$ ?

Ver solución
Lo ha tratado como periódico puro. Lo correcto es $\dfrac{11}{90}$ . $\dfrac{12}{99} = 0{,}\widehat{12}$ .
$0{,}1\widehat{2}$ tiene anteperiodo (1) y periodo (2): $\dfrac{12 - 1}{90} = \dfrac{11}{90}$ . En cambio, $\dfrac{12}{99} = 0{,}121212\ldots = 0{,}\widehat{12}$ , que es otro número.
5. Difícil
a) Halla la fracción generatriz de $0{,}1\widehat{3}$ . b) Factoriza su denominador y explica por qué tenía que salir un periódico mixto. c) Compruébalo dividiendo.

Ver solución
a) $\dfrac{2}{15}$ b) $15 = 3 \cdot 5$ : tiene un 5 y otro primo (3), así que es periódico mixto. c) $2 : 15 = 0{,}1333\ldots$
a) $\dfrac{13 - 1}{90} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$ . b) El denominador de la fracción irreducible tiene un 5 y además un 3: decimal periódico mixto. c) $2 : 15 = 0{,}1333\ldots = 0{,}1\widehat{3}$ ✔

Fracción generatriz de decimales periódicos mixtos