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Matemáticas 3.º ESO · Operaciones y problemas con números racionales

Operaciones con decimales periódicos

Objetivo: Al terminar, sabrás operar con decimales periódicos pasándolos a fracción generatriz y explicar por qué 0,9^=10{,}\widehat{9} = 1.

Explicación

Recuerda: la fracción generatriz

Todo decimal exacto o periódico se puede escribir como una fracción, su fracción generatriz:

Tipo de decimal Ejemplo Fracción generatriz
Exacto 1,251{,}25 125100=54\dfrac{125}{100} = \dfrac{5}{4}
Periódico puro 0,27^0{,}\widehat{27} 2799=311\dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}
Periódico mixto 1,23^1{,}2\widehat{3} 123−1290=11190=3730\dfrac{123 - 12}{90} = \dfrac{111}{90} = \dfrac{37}{30}

En los periódicos: en el numerador, el número escrito sin coma hasta el final del primer periodo menos la parte que hay antes del periodo; en el denominador, tantos 9 como cifras tiene el periodo seguidos de tantos 0 como cifras tiene el anteperiodo.

¿Por qué pasar a fracción para operar?

Un decimal periódico tiene infinitas cifras. No podemos sumarlo ni multiplicarlo empezando por la última cifra, como hacemos con los decimales exactos, porque no hay última cifra. Si lo cortamos (o usamos la calculadora), el resultado es solo aproximado.

Con la fracción generatriz el cálculo es exacto:

  1. Escribe cada decimal como fracción y simplifícala.
  2. Opera las fracciones respetando la jerarquía de las operaciones (paréntesis, multiplicaciones y divisiones, sumas y restas).
  3. Simplifica el resultado y, si te lo piden, escríbelo como decimal dividiendo numerador entre denominador.

Por ejemplo: 0,6^+0,6^=23+23=43=1,3^0{,}\widehat{6} + 0{,}\widehat{6} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} = 1{,}\widehat{3}.

El caso de 0,9^0{,}\widehat{9}

¿Cuál es la fracción generatriz de 0,9^=0,999…0{,}\widehat{9} = 0{,}999\ldots? Aplicando la regla: 0,9^=99=10{,}\widehat{9} = \frac{9}{9} = 1

Otra forma de verlo: 13=0,333…\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots; multiplicando por 3, 33=0,999…\dfrac{3}{3} = 0{,}999\ldots, y 33=1\dfrac{3}{3} = 1.

Por tanto, 0,9^0{,}\widehat{9} no es «casi 1»: es exactamente 1. Son dos formas de escribir el mismo número. Lo mismo pasa con cualquier decimal de periodo 9: 2,49^=249−2490=22590=52=2,52{,}4\widehat{9} = \dfrac{249 - 24}{90} = \dfrac{225}{90} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5. Por eso los decimales de periodo 9 no se usan: se escribe directamente el decimal exacto.

Puntos clave

  • Para operar con decimales periódicos de forma exacta se pasan a fracción generatriz, se opera y se simplifica.
  • Periódico puro: 0,ab^=ab990{,}\widehat{ab} = \dfrac{ab}{99}. Periódico mixto: 0,ab^=ab−a900{,}a\widehat{b} = \dfrac{ab - a}{90}.
  • La suma, resta, producto o cociente de dos números racionales es otro racional: el resultado es un decimal exacto o periódico.
  • 0,9^=10{,}\widehat{9} = 1 y, en general, un decimal de periodo 9 es igual a un decimal exacto (2,49^=2,52{,}4\widehat{9} = 2{,}5).
  • Con la calculadora solo se obtiene una aproximación; la fracción da el resultado exacto.

Errores frecuentes

  • ErrorSumar los periódicos cortándolos: 0,6^+0,6^≈0,66+0,66=1,320{,}\widehat{6} + 0{,}\widehat{6} \approx 0{,}66 + 0{,}66 = 1{,}32, y dar ese resultado como exacto.

    Cómo corregirloPasa a fracción: 23+23=43=1,3^\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} = 1{,}\widehat{3}. Si cortas el decimal, el resultado es solo aproximado y hay que decirlo.

  • ErrorOlvidar restar el anteperiodo en un periódico mixto: 1,23^=123901{,}2\widehat{3} = \dfrac{123}{90}.

    Cómo corregirloAl número sin coma hasta el final del periodo se le resta lo que hay antes del periodo: 123−1290\dfrac{123 - 12}{90}. Comprueba dividiendo: 37:30=1,2333…37 : 30 = 1{,}2333\ldots

  • ErrorPensar que 0,9^0{,}\widehat{9} es un número un poquito menor que 1.

    Cómo corregirloCalcula su fracción generatriz: 99=1\dfrac{9}{9} = 1. No hay ningún número entre 0,9^0{,}\widehat{9} y 1: son el mismo número.

Ejemplos resueltos

  1. Ejemplo 1. Una suma de periódicos que da un decimal exacto numérico

    Calcula 1,3^+0,16^1{,}\widehat{3} + 0{,}1\widehat{6} y da el resultado como fracción irreducible y como decimal.

    Resolución

    1. Fracciones generatrices: 1,3^=13−19=129=430,16^=16−190=1590=161{,}\widehat{3} = \frac{13 - 1}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \qquad 0{,}1\widehat{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}
    2. Sumamos con denominador común 6: 43+16=86+16=96=32\frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
    3. Como decimal: 3:2=1,53 : 2 = 1{,}5.

    Resultado: 32=1,5\dfrac{3}{2} = 1{,}5. La suma de dos decimales periódicos puede ser un decimal exacto.

  2. Ejemplo 2. Operaciones combinadas con periódicos numérico (jerarquía de operaciones)

    Calcula: (2,16^−0,6^):0,3\left(2{,}1\widehat{6} - 0{,}\widehat{6}\right) : 0{,}3

    Resolución

    1. Fracciones generatrices: 2,16^=216−2190=19590=1360,6^=69=230,3=3102{,}1\widehat{6} = \frac{216 - 21}{90} = \frac{195}{90} = \frac{13}{6} \qquad 0{,}\widehat{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \qquad 0{,}3 = \frac{3}{10}
    2. Primero el paréntesis: 136−23=136−46=96=32\frac{13}{6} - \frac{2}{3} = \frac{13}{6} - \frac{4}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
    3. Después la división: 32:310=3⋅102⋅3=306=5\frac{3}{2} : \frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 10}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5

    Resultado: 55.

  3. Ejemplo 3. ¿Es $0{,}999\ldots$ menor que 1? razonamiento (argumentar)

    Marta dice: «0,999…0{,}999\ldots es el número más grande que hay antes del 1, así que es menor que 1». Da dos argumentos para convencerla de que 0,9^=10{,}\widehat{9} = 1.

    Resolución

    Argumento 1 (fracción generatriz). 0,9^0{,}\widehat{9} es periódico puro con periodo de una cifra: 0,9^=99=10{,}\widehat{9} = \frac{9}{9} = 1

    Argumento 2 (a partir de 1/3). Sabemos que 13=0,333…\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots Si multiplicamos los dos lados por 3: 3⋅13=3⋅0,333…  ⇒  1=0,999…3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots \;\Rightarrow\; 1 = 0{,}999\ldots

    Además: si 0,9^0{,}\widehat{9} fuera menor que 1, la resta 1−0,9^1 - 0{,}\widehat{9} daría un número positivo. Pero esa resta sería 0,000…0{,}000\ldots con todas sus cifras iguales a 0: es 0. Así que no hay ningún número entre 0,9^0{,}\widehat{9} y 1, y son el mismo número.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

  1. 1. Fácil

    Calcula pasando a fracción generatriz. Da el resultado como fracción irreducible y como decimal. a) 0,2^+0,7^0{,}\widehat{2} + 0{,}\widehat{7} b) 1,6^−0,3^1{,}\widehat{6} - 0{,}\widehat{3} c) 0,3^⋅0,6^0{,}\widehat{3} \cdot 0{,}\widehat{6}

    Ver solución

    a) 11. b) 43=1,3^\dfrac{4}{3} = 1{,}\widehat{3}. c) 29=0,2^\dfrac{2}{9} = 0{,}\widehat{2}.

    a) 29+79=99=1\dfrac{2}{9} + \dfrac{7}{9} = \dfrac{9}{9} = 1. b) 1,6^=16−19=159=531{,}\widehat{6} = \dfrac{16 - 1}{9} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}; 0,3^=130{,}\widehat{3} = \dfrac{1}{3}. 53−13=43=1,3^\dfrac{5}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3} = 1{,}\widehat{3}. c) 13⋅23=29=0,2^\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{9} = 0{,}\widehat{2}.

  2. 2. Media

    Calcula y expresa el resultado como fracción irreducible y como decimal: a) 2,5^:0,8^2{,}\widehat{5} : 0{,}\widehat{8} b) 1,18^⋅0,6^1{,}\widehat{18} \cdot 0{,}\widehat{6}

    Ver solución

    a) 238=2,875\dfrac{23}{8} = 2{,}875. b) 2633=0,78^\dfrac{26}{33} = 0{,}\widehat{78}.

    a) 2,5^=25−29=2392{,}\widehat{5} = \dfrac{25 - 2}{9} = \dfrac{23}{9}; 0,8^=890{,}\widehat{8} = \dfrac{8}{9}. 239:89=23⋅99⋅8=238=2,875\dfrac{23}{9} : \dfrac{8}{9} = \dfrac{23 \cdot 9}{9 \cdot 8} = \dfrac{23}{8} = 2{,}875. b) 1,18^=118−199=11799=13111{,}\widehat{18} = \dfrac{118 - 1}{99} = \dfrac{117}{99} = \dfrac{13}{11}; 0,6^=230{,}\widehat{6} = \dfrac{2}{3}. 1311⋅23=2633\dfrac{13}{11} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{26}{33}. Dividiendo: 26:33=0,787878…=0,78^26 : 33 = 0{,}787878\ldots = 0{,}\widehat{78}.

  3. 3. Media

    Calcula: (0,3^+0,27^):1,83^\left(0{,}\widehat{3} + 0{,}2\widehat{7}\right) : 1{,}8\widehat{3}

    Ver solución

    13=0,3^\dfrac{1}{3} = 0{,}\widehat{3}

    Fracciones: 0,3^=130{,}\widehat{3} = \dfrac{1}{3}; 0,27^=27−290=2590=5180{,}2\widehat{7} = \dfrac{27 - 2}{90} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}; 1,83^=183−1890=16590=1161{,}8\widehat{3} = \dfrac{183 - 18}{90} = \dfrac{165}{90} = \dfrac{11}{6}. Paréntesis: 13+518=618+518=1118\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{6}{18} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{11}{18}. División: 1118:116=11⋅618⋅11=618=13=0,3^\dfrac{11}{18} : \dfrac{11}{6} = \dfrac{11 \cdot 6}{18 \cdot 11} = \dfrac{6}{18} = \dfrac{1}{3} = 0{,}\widehat{3}.

  4. 4. Difícil

    a) ¿Es cierto que 1,9^=21{,}\widehat{9} = 2? Justifícalo con la fracción generatriz. b) Escribe 3,7 como un decimal periódico de periodo 9. c) Halla el número xx que cumple x+0,3^=1,2^x + 0{,}\widehat{3} = 1{,}\widehat{2}. Da el resultado como fracción y como decimal.

    Ver solución

    a) Sí: 189=2\dfrac{18}{9} = 2. b) 3,69^3{,}6\widehat{9}. c) x=89=0,8^x = \dfrac{8}{9} = 0{,}\widehat{8}.

    a) 1,9^=19−19=189=21{,}\widehat{9} = \dfrac{19 - 1}{9} = \dfrac{18}{9} = 2. Es cierto. b) 3,7=3,69^3{,}7 = 3{,}6\widehat{9}. Comprobación: 369−3690=33390=3710=3,7\dfrac{369 - 36}{90} = \dfrac{333}{90} = \dfrac{37}{10} = 3{,}7. c) x=1,2^−0,3^=119−39=89=0,8^x = 1{,}\widehat{2} - 0{,}\widehat{3} = \dfrac{11}{9} - \dfrac{3}{9} = \dfrac{8}{9} = 0{,}\widehat{8}.

Para practicar más

  1. 1. Fácil

    Calcula pasando a fracción generatriz y da el resultado como fracción irreducible y como decimal: a) 0,4^+0,2^0{,}\widehat{4} + 0{,}\widehat{2} b) 2,3^−1,52{,}\widehat{3} - 1{,}5 c) 0,12^⋅3,6^0{,}\widehat{12} \cdot 3{,}\widehat{6}

    Ver solución

    a) 23=0,6^\dfrac{2}{3} = 0{,}\widehat{6}. b) 56=0,83^\dfrac{5}{6} = 0{,}8\widehat{3}. c) 49=0,4^\dfrac{4}{9} = 0{,}\widehat{4}.

    a) 49+29=69=23=0,6^\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3} = 0{,}\widehat{6}. b) 2,3^=23−29=219=732{,}\widehat{3} = \dfrac{23 - 2}{9} = \dfrac{21}{9} = \dfrac{7}{3}; 1,5=321{,}5 = \dfrac{3}{2}. 73−32=146−96=56=0,83^\dfrac{7}{3} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{14}{6} - \dfrac{9}{6} = \dfrac{5}{6} = 0{,}8\widehat{3}. c) 0,12^=1299=4330{,}\widehat{12} = \dfrac{12}{99} = \dfrac{4}{33}; 3,6^=36−39=339=1133{,}\widehat{6} = \dfrac{36 - 3}{9} = \dfrac{33}{9} = \dfrac{11}{3}. 433⋅113=4499=49=0,4^\dfrac{4}{33} \cdot \dfrac{11}{3} = \dfrac{44}{99} = \dfrac{4}{9} = 0{,}\widehat{4}.

  2. 2. Media

    Calcula: 0,81^:0,27^−1,6^⋅0,60{,}\widehat{81} : 0{,}\widehat{27} - 1{,}\widehat{6} \cdot 0{,}6

    Ver solución

    22

    Fracciones: 0,81^=8199=9110{,}\widehat{81} = \dfrac{81}{99} = \dfrac{9}{11}; 0,27^=2799=3110{,}\widehat{27} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}; 1,6^=159=531{,}\widehat{6} = \dfrac{15}{9} = \dfrac{5}{3}; 0,6=350{,}6 = \dfrac{3}{5}. División y producto primero: 911:311=3\dfrac{9}{11} : \dfrac{3}{11} = 3; 53⋅35=1\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = 1. Resta: 3−1=23 - 1 = 2.

  3. 3. Media

    Calcula y da el resultado como decimal: (0,83^+0,16^)⋅1,81^\left(0{,}8\widehat{3} + 0{,}1\widehat{6}\right) \cdot 1{,}\widehat{81}

    Ver solución

    2011=1,81^\dfrac{20}{11} = 1{,}\widehat{81}

    0,83^=83−890=7590=560{,}8\widehat{3} = \dfrac{83 - 8}{90} = \dfrac{75}{90} = \dfrac{5}{6}; 0,16^=1590=160{,}1\widehat{6} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}. El paréntesis vale 56+16=1\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 1. Por tanto, el resultado es 1⋅1,81^=1,81^=181−199=18099=20111 \cdot 1{,}\widehat{81} = 1{,}\widehat{81} = \dfrac{181 - 1}{99} = \dfrac{180}{99} = \dfrac{20}{11}.

  4. 4. Difícil

    a) Andrés suma 0,3^+0,6^0{,}\widehat{3} + 0{,}\widehat{6} cifra a cifra, obtiene 0,999…0{,}999\ldots y dice que el resultado es un poco menor que 1. ¿Tiene razón? Explícalo con fracciones. b) Calcula 0,12^+0,87^0{,}\widehat{12} + 0{,}\widehat{87}. c) ¿Qué decimal exacto es igual a 4,19^4{,}1\widehat{9}?

    Ver solución

    a) No: 13+23=1\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1 y 0,9^=10{,}\widehat{9} = 1. b) 11. c) 4,24{,}2.

    a) 0,3^+0,6^=39+69=99=10{,}\widehat{3} + 0{,}\widehat{6} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{6}{9} = \dfrac{9}{9} = 1. La suma cifra a cifra da 0,9^0{,}\widehat{9}, que es exactamente 1 (su fracción generatriz es 99\dfrac{9}{9}). Andrés no tiene razón. b) 1299+8799=9999=1\dfrac{12}{99} + \dfrac{87}{99} = \dfrac{99}{99} = 1. c) 4,19^=419−4190=37890=215=4,24{,}1\widehat{9} = \dfrac{419 - 41}{90} = \dfrac{378}{90} = \dfrac{21}{5} = 4{,}2.

¿Cómo te ha ido con esta lección?