Errores en la medida: precisión de los instrumentos

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorEscribir más cifras de las que aprecia el instrumento: con una regla de milímetros, «15,83 cm».

  Cómo corregirloCon una regla de milímetros solo se aprecian las décimas de centímetro: $(15{,}8 \pm 0{,}1)$ cm.

• ErrorEscribir el valor y la incertidumbre con distinto número de decimales: $(7{,}25 \pm 0{,}1)$ cm.

  Cómo corregirloRedondea el valor al orden de la incertidumbre: $(7{,}3 \pm 0{,}1)$ cm.

• ErrorCreer que un cronómetro que marca centésimas mide a mano con un error de 0,01 s.

  Cómo corregirloEl tiempo de reacción al pulsar es de unas décimas de segundo: esa es la incertidumbre real de la medida.

• ErrorPensar que repitiendo muchas veces la medida se corrige un error sistemático.

  Cómo corregirloRepetir solo reduce los errores aleatorios. Si la báscula está mal calibrada, todas las medidas salen mal en el mismo sentido: hay que calibrarla o corregir el método.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Medir un móvil con una regla lectura de un instrumento

   Mides el largo de tu móvil con una regla graduada en milímetros y el borde queda justo en la marca de 15,8 cm. a) ¿Cuál es la precisión de la regla? b) Expresa la medida con su incertidumbre. c) ¿Entre qué valores está el largo real? d) Calcula el error relativo de la medida.

   Resolución

   a) La división más pequeña es 1 mm = 0,1 cm. b) $(15{,}8 \pm 0{,}1)$ cm. c) Entre $15{,}8 - 0{,}1 = 15{,}7$ cm y $15{,}8 + 0{,}1 = 15{,}9$ cm: en el intervalo $[15{,}7;\ 15{,}9]$ cm. d) $E_r = \dfrac{0{,}1}{15{,}8} = 0{,}006\,3 \approx 0{,}63\ \%$.

2. Ejemplo 2. El grosor de un folio proceso de medida (medir muchos y dividir)

   Con una regla de milímetros no se puede medir el grosor de un folio. Pero un paquete de 500 folios mide 50 mm de grosor. a) Expresa la medida del paquete con su incertidumbre y calcula su error relativo. b) Calcula el grosor de un folio con su incertidumbre.

   Resolución

   a) Paquete: $(50 \pm 1)$ mm. $E_r = \dfrac{1}{50} = 0{,}02 = 2\ \%$. b) Dividimos el valor y la incertidumbre entre 500: $$\text{grosor} = \frac{50}{500} = 0{,}100\ \text{mm} \qquad \text{incertidumbre} = \frac{1}{500} = 0{,}002\ \text{mm}$$ Un folio mide $(0{,}100 \pm 0{,}002)$ mm. El error relativo sigue siendo $\dfrac{0{,}002}{0{,}100} = 2\ \%$.

   Midiendo un solo folio con la regla, el error (1 mm) sería ¡diez veces mayor que el propio grosor!

3. Ejemplo 3. Cronometrar a mano proceso de medida (tiempo de reacción)

   En Educación Física cronometras a un compañero en los 100 m con el cronómetro del móvil, que marca centésimas, y obtienes 14,53 s. El tiempo de reacción al pulsar el cronómetro es de unas 0,2 s. a) ¿Cuál es la precisión del cronómetro? ¿Es esa la incertidumbre de la medida? b) Expresa la medida de forma correcta y calcula su error relativo.

   Resolución

   a) La precisión del cronómetro es 0,01 s, pero no es la incertidumbre real: al pulsar a mano, al empezar y al terminar, cometemos un error de unas 0,2 s, mucho mayor. b) Tomamos como incertidumbre 0,2 s y redondeamos el valor a las décimas: $(14{,}5 \pm 0{,}2)$ s. $$E_r = \frac{0{,}2}{14{,}5} = 0{,}013\,8 \approx 1{,}4\ \%$$

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Indica la precisión de cada instrumento: a) Una regla graduada en milímetros. b) Una cinta métrica de costura graduada en centímetros. c) Una balanza digital que marca 245,8 g. d) Un termómetro digital que marca 21,35 °C. e) Un cronómetro que marca 00:12,47. f) Una probeta con una marca cada 2 mL.

   Ver solución

   a) 1 mm b) 1 cm c) 0,1 g d) 0,01 °C e) 0,01 s f) 2 mL

   Con escala: la división más pequeña (a, b, f). Digitales: una unidad de la última cifra (c: décimas de gramo; d y e: centésimas).

2. 2. Fácil

   Expresa cada medida con su incertidumbre (la precisión del instrumento) e indica entre qué valores está el valor real: a) Una balanza digital que aprecia 0,1 g marca 245,8 g. b) Una cinta métrica graduada en centímetros mide la altura de una puerta: 2,03 m. c) Un termómetro de cocina con marcas cada 2 °C marca 180 °C.

   Ver solución

   a) $(245{,}8 \pm 0{,}1)$ g; entre 245,7 y 245,9 g. b) $(2{,}03 \pm 0{,}01)$ m; entre 2,02 y 2,04 m. c) $(180 \pm 2)$ °C; entre 178 y 182 °C.

   a) Precisión 0,1 g. b) 1 cm = 0,01 m. c) La división más pequeña es 2 °C.

3. 3. Media

   ¿Están bien escritas estas medidas? Corrige las que no lo estén. a) Con una regla de milímetros: 12 cm. b) Con una balanza que aprecia 1 g: 52,35 g. c) $(7{,}25 \pm 0{,}1)$ cm. d) $(3{,}40 \pm 0{,}01)$ m.

   Ver solución

   a) No: 12,0 cm. b) No: 52 g. c) No: $(7{,}3 \pm 0{,}1)$ cm. d) Sí.

   a) La regla aprecia décimas de cm: hay que escribir el 0, 12,0 cm. b) Si aprecia gramos, no puede dar centésimas: 52 g. c) Valor e incertidumbre deben tener los mismos decimales: 7,25 redondeado a décimas es 7,3. d) Correcta: valor e incertidumbre con dos decimales.

4. 4. Media

   Con la misma cinta métrica (precisión 1 cm) se miden el largo del aula, 8,47 m, y el ancho de una puerta, 0,82 m. a) Calcula el error relativo de cada medida. b) ¿Cuál es de mejor calidad? ¿Por qué, si el instrumento es el mismo?

   Ver solución

   a) Aula: 0,12 %; puerta: 1,2 %. b) La del aula: lo medido es más grande.

   a) Aula: $\dfrac{0{,}01}{8{,}47} \approx 0{,}001\,2 = 0{,}12\ \%$. Puerta: $\dfrac{0{,}01}{0{,}82} \approx 0{,}012 = 1{,}2\ \%$. b) La del aula tiene un error relativo diez veces menor: el error absoluto es el mismo, pero se reparte en una longitud mucho mayor.

5. 5. Media

   Para medir el grosor de una moneda de 1 € con una regla de milímetros, apilas 20 monedas y la pila mide 47 mm. a) Escribe la medida de la pila con su incertidumbre. b) Calcula el grosor de una moneda con su incertidumbre. c) ¿Qué error relativo tiene? ¿Y si hubieras medido una sola moneda (unos 2 mm)?

   Ver solución

   a) $(47 \pm 1)$ mm. b) $(2{,}35 \pm 0{,}05)$ mm. c) Unos 2,1 %; con una sola moneda, $\dfrac{1}{2} = 50\ \%$.

   a) Precisión 1 mm: $(47 \pm 1)$ mm. b) $47 : 20 = 2{,}35$ mm; $1 : 20 = 0{,}05$ mm → $(2{,}35 \pm 0{,}05)$ mm. c) $\dfrac{0{,}05}{2{,}35} \approx 0{,}021 = 2{,}1\ \%$ (igual que el de la pila, $\dfrac{1}{47}$). Midiendo una moneda: $\dfrac{1}{2} = 50\ \%$, una medida malísima.

6. 6. Difícil

   Clasifica cada error como sistemático o aleatorio y di cómo lo reducirías: a) Una báscula de baño marca 0,3 kg sin nada encima. b) Al leer una probeta, siempre miras la escala desde arriba. c) Al cronometrar, unas veces pulsas un poco antes y otras un poco después. d) Una corriente de aire hace que la balanza marque unas veces algo más y otras algo menos.

   Ver solución

   a) Sistemático. b) Sistemático. c) Aleatorio. d) Aleatorio.

   a) Sistemático: todas las medidas salen 0,3 kg de más. Se ajusta la báscula a cero (o se restan 0,3 kg). b) Sistemático: todas las lecturas se desvían en el mismo sentido. Hay que poner los ojos a la altura de la marca. c) Aleatorio: se reduce repitiendo la medida y haciendo la media (o con cronometraje automático). d) Aleatorio: se reduce protegiendo la balanza del aire y repitiendo la medida.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Indica la precisión del instrumento y expresa cada medida con su incertidumbre: a) Una báscula de baño digital marca 58,6 kg. b) Una regla de 30 cm graduada en milímetros mide 21 cm justos. c) Un vaso medidor con marcas cada 25 mL marca 250 mL.

   Ver solución

   a) 0,1 kg: $(58{,}6 \pm 0{,}1)$ kg. b) 1 mm: $(21{,}0 \pm 0{,}1)$ cm. c) 25 mL: $(250 \pm 25)$ mL.

   a) Digital con una cifra decimal: 0,1 kg. b) La regla aprecia décimas de cm: hay que escribir 21,0 cm. c) La división más pequeña es 25 mL.

2. 2. Media

   Rocío mide su masa, $(52{,}5 \pm 0{,}1)$ kg, y su altura, $(1{,}63 \pm 0{,}01)$ m. a) ¿Entre qué valores están su masa y su altura reales? b) ¿Cuál de las dos medidas es de mejor calidad?

   Ver solución

   a) Entre 52,4 y 52,6 kg; entre 1,62 y 1,64 m. b) La masa (0,19 % frente a 0,61 %).

   a) $52{,}5 \pm 0{,}1$ → $[52{,}4;\ 52{,}6]$ kg. $1{,}63 \pm 0{,}01$ → $[1{,}62;\ 1{,}64]$ m. b) Masa: $\dfrac{0{,}1}{52{,}5} \approx 0{,}0019 = 0{,}19\ \%$. Altura: $\dfrac{0{,}01}{1{,}63} \approx 0{,}0061 = 0{,}61\ \%$. Es mejor la medida de la masa.

3. 3. Media

   Un libro de 600 páginas (300 hojas, sin contar las tapas) tiene un grosor de 30 mm medido con una regla de milímetros. Calcula el grosor de una hoja con su incertidumbre y el error relativo.

   Ver solución

   $(0{,}100 \pm 0{,}003)$ mm; unos 3,3 %.

   Medida del bloque de hojas: $(30 \pm 1)$ mm. Grosor de una hoja: $30 : 300 = 0{,}1$ mm; incertidumbre: $1 : 300 = 0{,}0033\ldots \approx 0{,}003$ mm → $(0{,}100 \pm 0{,}003)$ mm. $E_r = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033 = 3{,}3\ \%$. (Cuidado: 600 páginas son 300 hojas.)

4. 4. Difícil

   Una profesora cronometra a mano a dos alumnos en una carrera de 50 m y obtiene 7,84 s y 8,12 s. El tiempo de reacción al cronometrar es de unas 0,2 s. a) Expresa cada tiempo con su incertidumbre. b) Escribe el intervalo en el que está cada tiempo real. ¿Se puede asegurar que el primero fue más rápido?

   Ver solución

   a) $(7{,}8 \pm 0{,}2)$ s y $(8{,}1 \pm 0{,}2)$ s. b) $[7{,}6;\ 8{,}0]$ y $[7{,}9;\ 8{,}3]$; los intervalos se solapan, así que no se puede asegurar.

   a) Con incertidumbre de 0,2 s, los valores se redondean a décimas: $(7{,}8 \pm 0{,}2)$ s y $(8{,}1 \pm 0{,}2)$ s. b) Primero: de 7,6 a 8,0 s. Segundo: de 7,9 a 8,3 s. Los dos intervalos tienen en común el tramo $[7{,}9;\ 8{,}0]$: podría ser que los dos hubieran tardado, por ejemplo, 7,95 s. No se puede asegurar quién fue más rápido.

5. 5. Media

   Quieres medir la altura del techo de tu habitación, que es de unos 2,62 m. Puedes usar una cinta métrica con precisión de 1 cm o un medidor láser con precisión de 1 mm. a) Calcula el error relativo con cada instrumento. b) ¿Merece la pena el medidor láser si solo quieres comprar una lámpara de pie?

   Ver solución

   a) Cinta: 0,38 %; láser: 0,038 %. b) No hace falta: con la cinta el error es muy pequeño.

   a) Cinta: $\dfrac{0{,}01}{2{,}62} \approx 0{,}003\,8 = 0{,}38\ \%$. Láser: $\dfrac{0{,}001}{2{,}62} \approx 0{,}000\,38 = 0{,}038\ \%$. b) Para elegir una lámpara, saber la altura con un error de 1 cm es más que suficiente. La precisión necesaria depende de para qué se quiere la medida.