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Explicación

Cuando no se conoce el valor real

Muchas veces solo conocemos el valor aproximado: un dato redondeado en un periódico, una medida, el resultado de la calculadora… No podemos calcular el error exacto, pero sí acotarlo: decir que como mucho vale una cierta cantidad, la cota de error.

Cota del error absoluto

Si el número se ha redondeado a un orden, el error absoluto es como mucho media unidad de ese orden: $\text{redondeo a las centésimas} \;\Rightarrow\; E_a \le 0{,}005$
Si el número se ha truncado a un orden, el error absoluto es menor que una unidad de ese orden: $\text{truncamiento a las centésimas} \;\Rightarrow\; E_a < 0{,}01$

Aproximación (redondeada)	Orden	Cota de $E_a$
2,7	décimas	0,05
15,36	centésimas	0,005
3400	centenas	50

Dónde está el valor real

Con la cota se sabe entre qué valores está el valor real: si una longitud redondeada a las décimas es 2,7 m, el valor real está entre $2{,}7 - 0{,}05 = 2{,}65$ m y $2{,}7 + 0{,}05 = 2{,}75$ m. Como 2,75 ya redondearía a 2,8, el valor real está en el intervalo $[2{,}65;\ 2{,}75)$ .

Cota del error relativo

$\text{cota de } E_r = \frac{\text{cota de } E_a}{\text{valor aproximado}}$ (dividimos entre el valor aproximado porque no conocemos el real).

¿Qué aproximación es mejor?

La que tiene menor cota de error relativo. Cuantas más cifras significativas tiene una aproximación, menor es su error relativo: 7000 (redondeado a los millares) tiene una cota del 7,1 %, mientras que 7250 (redondeado a las unidades) tiene una del 0,0069 %.

Puntos clave

Redondeo a un orden: el error absoluto es como mucho media unidad de ese orden.
Truncamiento a un orden: el error absoluto es menor que una unidad de ese orden.
Con la cota se obtiene el intervalo en el que está el valor real.
Cota de $E_r$ = cota de $E_a$ : valor aproximado.
Es mejor la aproximación con menor cota de error relativo.

Errores frecuentes

ErrorDar como cota de error de un redondeo a las décimas 0,1.
Cómo corregirloAl redondear, como mucho nos equivocamos en media unidad del orden: 0,05. La cota 0,1 corresponde al truncamiento.
ErrorPensar que la aproximación con más decimales siempre es la mejor.
Cómo corregirloCompara las cotas de error relativo: 350 km (cota 0,14 %) es mejor aproximación que 0,75 L (cota 0,67 %), aunque tenga menos decimales.
ErrorConfundir la cota con el error: «el error es 0,005».
Cómo corregirloLa cota dice cuánto puede valer el error como mucho; el error real puede ser más pequeño.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Un dato redondeado del periódico situación real (acotar el error)
Un periódico dice que un municipio de la Comunidad de Madrid tiene «54 000 habitantes», redondeado a los millares. a) ¿Cuál es la cota del error absoluto? b) ¿Entre qué valores está el número real de habitantes? c) Calcula la cota del error relativo.

Resolución
a) Redondeado a los millares → media unidad de millar: $E_a \le 500$ habitantes. b) Entre $54\,000 - 500 = 53\,500$ y $54\,000 + 500 = 54\,500$ (sin llegar a 54 500, que redondearía a 55 000). c) $\text{cota de } E_r = \dfrac{500}{54\,000} = 0{,}009\,26 \approx 0{,}93\ \%$ .
Ejemplo 2. ¿Qué dato es más preciso? comparar (cota de error relativo)
Una web dice que una película dura 2 h (redondeado a las horas) y otra dice que dura 125 min (redondeado a los minutos). ¿Cuál de los dos datos es más preciso?

Resolución
2 h: cota de $E_a = 0{,}5$ h. Cota de $E_r = \dfrac{0{,}5}{2} = 0{,}25 = 25\ \%$ . 125 min: cota de $E_a = 0{,}5$ min. Cota de $E_r = \dfrac{0{,}5}{125} = 0{,}004 = 0{,}4\ \%$ .

El dato de 125 min es mucho más preciso. «2 h» puede significar cualquier duración entre 1 h 30 min y 2 h 30 min.
Ejemplo 3. Truncar o redondear numérico (comparar las dos cotas)
Una calculadora sencilla muestra $\dfrac{2}{3}$ como $0{,}6666$ (trunca a las diezmilésimas) y otra como $0{,}6667$ (redondea). a) ¿Cuál es la cota del error absoluto de cada una? b) Calcula el error absoluto real de cada una y comprueba que cumplen su cota.

Resolución
a) Truncando a las diezmilésimas: $E_a < 0{,}0001$ . Redondeando: $E_a \le 0{,}000\,05$ . b) $\dfrac{2}{3} = 0{,}666\,666\ldots$
- $E_a = 0{,}666\,666\ldots - 0{,}6666 = 0{,}000\,066\,6\ldots < 0{,}0001$ ✔
- $E_a = 0{,}6667 - 0{,}666\,666\ldots = 0{,}000\,033\,3\ldots \le 0{,}000\,05$ ✔
Con el mismo número de cifras, el redondeo da una cota la mitad de grande que el truncamiento.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Cada número se ha obtenido por redondeo. Da la cota del error absoluto: a) 6,1 b) 0,47 c) 52 000 (redondeado a los millares) d) 3,125

Ver solución
a) 0,05 b) 0,005 c) 500 d) 0,0005
Media unidad del último orden: a) décimas → 0,05. b) centésimas → 0,005. c) millares → 500. d) milésimas → 0,0005.
2. Media
El pico de Peñalara, el más alto de la Comunidad de Madrid, mide 2428 m (redondeado a los metros; dato aproximado). a) ¿Entre qué valores está su altura real? Escríbelo como intervalo. b) Calcula la cota del error relativo.

Ver solución
a) $[2427{,}5;\ 2428{,}5)$ m. b) $\approx 0{,}021\ \%$ .
a) Cota de $E_a = 0{,}5$ m: la altura está entre $2427{,}5$ m y $2428{,}5$ m → $[2427{,}5;\ 2428{,}5)$ . b) $\dfrac{0{,}5}{2428} = 0{,}000\,206 \approx 0{,}021\ \%$ .
3. Media
Los tres datos se han obtenido por redondeo. Ordénalos de más preciso a menos preciso según su cota de error relativo: a) 1,4 kg de tomates. b) 0,25 L de aceite. c) 120 km de un viaje (redondeado a las unidades).

Ver solución
c) 0,42 %; b) 2 %; a) 3,6 %.
a) $\dfrac{0{,}05}{1{,}4} \approx 0{,}035\,7 = 3{,}6\ \%$ . b) $\dfrac{0{,}005}{0{,}25} = 0{,}02 = 2\ \%$ . c) $\dfrac{0{,}5}{120} \approx 0{,}004\,2 = 0{,}42\ \%$ . De más a menos preciso: c), b), a).
4. Media
Sabemos que $\sqrt{6} = 2{,}449\,489\,7\ldots$ Lo aproximamos por $2{,}44$ (truncando) y por $2{,}45$ (redondeando). a) ¿Cuál es la cota del error absoluto de cada aproximación? b) Calcula el error absoluto de cada una y comprueba que no supera su cota. ¿Cuál es mejor?

Ver solución
a) Truncamiento: menor que 0,01. Redondeo: 0,005. b) 0,0095 < 0,01 y 0,0005 ≤ 0,005. Es mucho mejor el redondeo.
a) Truncando a las centésimas, $E_a < 0{,}01$ . Redondeando, $E_a \le 0{,}005$ . b) $2{,}449\,489\,7 - 2{,}44 = 0{,}009\,489\,7 < 0{,}01$ ✔. $2{,}45 - 2{,}449\,489\,7 = 0{,}000\,510\,3 \le 0{,}005$ ✔. Aquí el truncamiento casi agota su cota y el redondeo se queda muy lejos de la suya.
5. Difícil
Queremos aproximar $\dfrac{13}{7} = 1{,}857\,142\ldots$ con un error relativo menor que el 1 %. a) ¿Basta con redondear a las unidades? ¿Y a las décimas? b) ¿Y a las centésimas?

Ver solución
a) No (7,7 %); no (2,3 %). b) Sí (0,15 %).
a) Unidades: 2; $E_a = 2 - 1{,}857\,142 = 0{,}142\,86$ ; $E_r = \dfrac{0{,}142\,86}{1{,}857\,14} \approx 7{,}7\ \%$ . No. Décimas: 1,9; $E_a = 0{,}042\,86$ ; $E_r \approx 2{,}3\ \%$ . No. b) Centésimas: 1,86; $E_a = 0{,}002\,86$ ; $E_r \approx 0{,}15\ \%$ . Sí: hace falta redondear al menos a las centésimas.

Para practicar más

1. Fácil
Cada dato se ha redondeado. Da la cota del error absoluto y el intervalo en el que está el valor real: a) 8,4 L b) 250 g (redondeado a las decenas) c) 0,73 m

Ver solución
a) 0,05 L; $[8{,}35;\ 8{,}45)$ . b) 5 g; $[245, 255)$ . c) 0,005 m; $[0{,}725;\ 0{,}735)$ .
a) Décimas → 0,05: de 8,35 a 8,45 L. b) Decenas → 5: de 245 a 255 g. c) Centésimas → 0,005: de 0,725 a 0,735 m.
2. Media
Un cartel indica que Toledo está a 70 km (redondeado a las decenas) y una aplicación dice que tu instituto está a 1,2 km de tu casa (redondeado a las décimas). ¿Qué dato es más preciso? Usa la cota del error relativo.

Ver solución
El de 1,2 km (4,2 % frente a 7,1 %).
Toledo: cota de $E_a = 5$ km; cota de $E_r = \dfrac{5}{70} \approx 0{,}071 = 7{,}1\ \%$ . Instituto: cota de $E_a = 0{,}05$ km; cota de $E_r = \dfrac{0{,}05}{1{,}2} \approx 0{,}042 = 4{,}2\ \%$ . Es más preciso el dato del instituto.
3. Media
$\dfrac{5}{6} = 0{,}8333\ldots$ se aproxima por $0{,}83$ . a) ¿Qué cota de error absoluto le corresponde si se ha truncado? ¿Y si se ha redondeado? b) Calcula el error absoluto y el relativo reales.

Ver solución
a) Truncamiento: < 0,01; redondeo: 0,005. b) $E_a = \dfrac{1}{300} \approx 0{,}0033$ ; $E_r = 0{,}4\ \%$ .
a) Truncando a las centésimas, $E_a < 0{,}01$ ; redondeando, $E_a \le 0{,}005$ . (En este caso truncar y redondear dan lo mismo.) b) $E_a = \dfrac{5}{6} - \dfrac{83}{100} = \dfrac{250 - 249}{300} = \dfrac{1}{300} \approx 0{,}0033$ . $E_r = \dfrac{1/300}{5/6} = \dfrac{6}{1500} = 0{,}004 = 0{,}4\ \%$ .
4. Difícil
Marta mide una pista de atletismo y obtiene 400 m (redondeado a los metros). Pablo mide su lápiz y obtiene 17 cm (redondeado a los centímetros). a) ¿Quién se puede haber equivocado más en valor absoluto? b) ¿Quién ha hecho la medida más precisa en relación con el tamaño de lo que mide?

Ver solución
a) Marta (hasta 0,5 m frente a 0,5 cm). b) Marta (0,125 % frente a 2,9 %).
a) Cotas: Marta 0,5 m = 50 cm; Pablo 0,5 cm. Marta puede equivocarse 100 veces más en valor absoluto. b) Marta: $\dfrac{0{,}5}{400} = 0{,}001\,25 = 0{,}125\ \%$ . Pablo: $\dfrac{0{,}5}{17} \approx 0{,}029 = 2{,}9\ \%$ . La medida de Marta es más precisa en proporción.

Cotas de error: ¿qué aproximación es mejor?