Ampliación: medidas repetidas y calidad de una medida

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorIncluir en la media una medida claramente errónea.

  Cómo corregirloSi un valor es muy distinto de todos los demás, revisa si hubo un despiste y descártalo: si no, estropea la media.

• ErrorDar el resultado con todas las cifras de la calculadora: 12,45 ± 0,024 m.

  Cómo corregirloRedondea el error al orden de la precisión (0,02 m) y la media a ese mismo orden: (12,45 ± 0,02) m.

• ErrorDar un error más pequeño que la precisión del instrumento: (59,7 ± 0,05) cm con una regla de milímetros.

  Cómo corregirloLa regla no aprecia menos de 0,1 cm: el resultado es (59,7 ± 0,1) cm.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. El largo del pasillo numérico (serie de medidas)

   Cinco alumnos miden el largo del pasillo del instituto con la misma cinta métrica (precisión 1 cm) y obtienen: 12,43 m; 12,47 m; 12,45 m; 12,41 m y 12,49 m. Expresa el resultado de la medida y calcula su error relativo.

   Resolución

   1. Media: $\bar{x} = \dfrac{12{,}43 + 12{,}47 + 12{,}45 + 12{,}41 + 12{,}49}{5} = \dfrac{62{,}25}{5} = 12{,}45$ m.
   2. Errores absolutos de cada medida: $0{,}02$; $0{,}02$; $0$; $0{,}04$; $0{,}04$ m.
   3. Media de los errores: $\dfrac{0{,}02 + 0{,}02 + 0 + 0{,}04 + 0{,}04}{5} = \dfrac{0{,}12}{5} = 0{,}024$ m → redondeado a los centímetros, $0{,}02$ m (no es menor que la precisión, 0,01 m).
   4. Resultado: $(12{,}45 \pm 0{,}02)$ m.
   5. $E_r = \dfrac{0{,}02}{12{,}45} \approx 0{,}001\,6 = 0{,}16\ \%$. Es una medida de buena calidad.

2. Ejemplo 2. Una medida que hay que descartar análisis de datos (medida errónea)

   Con una aplicación del móvil que mide el tiempo de reacción (precisión 0,01 s), Pablo obtiene en seis intentos: 0,23; 0,25; 0,21; 0,52; 0,24 y 0,23 s. En el cuarto intento se distrajo. a) ¿Qué medida hay que descartar? ¿Qué pasaría si no se descartara? b) Expresa el resultado y calcula el error relativo.

   Resolución

   a) Se descarta 0,52 s: es más del doble que las demás y Pablo sabe que se distrajo. Con ella, la media sería $\dfrac{1{,}68}{6} = 0{,}28$ s, un valor que no se parece a ninguno de sus tiempos normales. b) Con las cinco medidas válidas: $\bar{x} = \dfrac{1{,}16}{5} = 0{,}232$ s. Errores de cada medida: $0{,}002$; $0{,}018$; $0{,}022$; $0{,}008$; $0{,}002$ s. Media: $\dfrac{0{,}052}{5} = 0{,}0104 \approx 0{,}01$ s. Resultado: $(0{,}23 \pm 0{,}01)$ s. $E_r = \dfrac{0{,}01}{0{,}23} \approx 0{,}043 = 4{,}3\ \%$.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Media

   Pesas una manzana cinco veces con una balanza de precisión 0,1 g: 152,3 g; 152,5 g; 152,4 g; 152,4 g; 152,6 g. Expresa el resultado de la medida y calcula su error relativo.

   Ver solución

   $(152{,}4 \pm 0{,}1)$ g; $E_r \approx 0{,}066\ \%$.

   Media: $\dfrac{762{,}2}{5} = 152{,}44$ g. Errores: 0,14; 0,06; 0,04; 0,04; 0,16 g; media $\dfrac{0{,}44}{5} = 0{,}088 \approx 0{,}1$ g. Resultado: $(152{,}4 \pm 0{,}1)$ g. $E_r = \dfrac{0{,}1}{152{,}4} \approx 0{,}000\,66 = 0{,}066\ \%$.

2. 2. Media

   Dos grupos miden la altura de la misma mesa. El grupo A da $(75{,}2 \pm 0{,}3)$ cm y el grupo B, $(75{,}0 \pm 0{,}1)$ cm. a) ¿Qué medida es de mejor calidad? b) ¿Son compatibles los dos resultados?

   Ver solución

   a) La del grupo B (0,13 % frente a 0,40 %). b) Sí: los intervalos se solapan.

   a) A: $\dfrac{0{,}3}{75{,}2} \approx 0{,}40\ \%$. B: $\dfrac{0{,}1}{75{,}0} \approx 0{,}13\ \%$. Es mejor la de B. b) A: $[74{,}9;\ 75{,}5]$. B: $[74{,}9;\ 75{,}1]$. Tienen valores en común (de 74,9 a 75,1): son compatibles.

3. 3. Difícil

   En una carrera de 50 m libres, cuatro cronometradores toman el tiempo de la misma nadadora con cronómetros que aprecian centésimas: 32,15 s; 32,41 s; 32,28 s; 32,20 s. Expresa el resultado y calcula el error relativo.

   Ver solución

   $(32{,}26 \pm 0{,}09)$ s; $E_r \approx 0{,}28\ \%$.

   Media: $\dfrac{129{,}04}{4} = 32{,}26$ s. Errores: 0,11; 0,15; 0,02; 0,06 s; media $\dfrac{0{,}34}{4} = 0{,}085 \approx 0{,}09$ s. Resultado: $(32{,}26 \pm 0{,}09)$ s. $E_r = \dfrac{0{,}09}{32{,}26} \approx 0{,}002\,8 = 0{,}28\ \%$.

Para practicar más

1. 1. Media

   Mides la temperatura del agua de una piscina cinco veces con un termómetro de precisión 0,1 °C: 21,4; 21,6; 21,5; 21,5 y 21,3 °C. Expresa el resultado y calcula el error relativo.

   Ver solución

   $(21{,}5 \pm 0{,}1)$ °C; $E_r \approx 0{,}47\ \%$.

   Media: $\dfrac{107{,}3}{5} = 21{,}46$ °C. Errores: 0,06; 0,14; 0,04; 0,04; 0,16; media $0{,}088 \approx 0{,}1$ °C. Resultado (media redondeada a las décimas): $(21{,}5 \pm 0{,}1)$ °C. $E_r = \dfrac{0{,}1}{21{,}5} \approx 0{,}47\ \%$.

2. 2. Media

   Con una regla de milímetros se mide cinco veces el largo de un pupitre: 59,7; 59,8; 59,7; 57,9 y 59,6 cm. a) ¿Hay alguna medida que convenga descartar? b) Expresa el resultado de la medida.

   Ver solución

   a) Sí, 57,9 cm. b) $(59{,}7 \pm 0{,}1)$ cm.

   a) 57,9 cm está casi 2 cm por debajo de las demás, que difieren entre sí en décimas: probablemente se leyó mal. Se descarta. b) Media de las cuatro: $\dfrac{238{,}8}{4} = 59{,}7$ cm. Errores: 0; 0,1; 0; 0,1 → media 0,05 cm, menor que la precisión de la regla (0,1 cm), así que se toma 0,1 cm: $(59{,}7 \pm 0{,}1)$ cm.

3. 3. Difícil

   Laura y Diego miden tres veces la anchura de la pizarra con una cinta métrica (precisión 1 cm). Laura obtiene 3,52; 3,55 y 3,49 m. Diego obtiene 3,51; 3,52 y 3,52 m. Calcula el resultado de cada uno. ¿Qué serie es de mejor calidad?

   Ver solución

   Laura: $(3{,}52 \pm 0{,}02)$ m. Diego: $(3{,}52 \pm 0{,}01)$ m. Mejor la de Diego (0,28 % frente a 0,57 %).

   Laura: media $\dfrac{10{,}56}{3} = 3{,}52$ m; errores 0; 0,03; 0,03 → media 0,02 m → $(3{,}52 \pm 0{,}02)$ m; $E_r = \dfrac{0{,}02}{3{,}52} \approx 0{,}57\ \%$. Diego: media $\dfrac{10{,}55}{3} = 3{,}516\ldots \approx 3{,}52$ m; errores 0,0067; 0,0033; 0,0033 → media 0,0044 m, menor que la precisión → 0,01 m → $(3{,}52 \pm 0{,}01)$ m; $E_r \approx 0{,}28\ \%$. La serie de Diego es de mejor calidad: sus medidas están más agrupadas.