Error absoluto y error relativo

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorDejar el error absoluto negativo: 2/3 − 0,67 = −0,0033…

  Cómo corregirloEl error absoluto es siempre positivo: es la distancia entre los dos valores. Usa el valor absoluto.

• ErrorDividir entre el valor aproximado en vez de entre el valor real para el error relativo.

  Cómo corregirloSi conoces el valor real, divide entre él. (Cuando no se conoce, se usa el aproximado, pero entonces el resultado es solo una estimación.)

• ErrorPonerle unidades al error relativo o comparar errores absolutos de magnitudes distintas (3 g frente a 25 kg).

  Cómo corregirloEl error relativo no tiene unidades y es el que sirve para comparar: 3 g en un paquete de 250 g es un 1,2 %; 25 kg en una carga de 5000 kg, un 0,5 %.

• ErrorOlvidar multiplicar por 100 al dar el error relativo en porcentaje: «0,005 %».

  Cómo corregirlo0,005 = 0,5 %. Si escribes %, multiplica antes por 100.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. Aproximar $\dfrac{2}{3}$ por 0,67 numérico (con fracciones)

   Calcula el error absoluto y el error relativo que se cometen al aproximar $\dfrac{2}{3}$ por $0{,}67$.

   Resolución

   Error absoluto. Lo calculamos de forma exacta con fracciones: $$E_a = \left|\frac{2}{3} - \frac{67}{100}\right| = \left|\frac{200}{300} - \frac{201}{300}\right| = \frac{1}{300} = 0{,}00\widehat{3}$$ Error relativo: $$E_r = \frac{E_a}{\text{valor real}} = \frac{1/300}{2/3} = \frac{3}{600} = \frac{1}{200} = 0{,}005 = 0{,}5\ \%$$

2. Ejemplo 2. ¿Qué aproximación es mejor? comparar (error relativo)

   Usamos $\pi \approx 3{,}14$ y $\sqrt{2} \approx 1{,}41$. ¿Cuál de las dos aproximaciones es mejor? Usa la calculadora para el valor real.

   Resolución

   Para $\pi$: $E_a = |3{,}141\,592\,6\ldots - 3{,}14| = 0{,}001\,59\ldots$ $$E_r = \frac{0{,}001\,59}{3{,}141\,59} = 0{,}000\,507 \approx 0{,}051\ \%$$ Para $\sqrt{2}$: $E_a = |1{,}414\,213\,5\ldots - 1{,}41| = 0{,}004\,21\ldots$ $$E_r = \frac{0{,}004\,21}{1{,}414\,21} = 0{,}002\,98 \approx 0{,}30\ \%$$ La aproximación de $\pi$ es mejor: su error relativo es unas seis veces menor.

3. Ejemplo 3. El reloj GPS en una carrera popular situación real

   Una carrera popular por el parque del Retiro mide oficialmente 10 km. Al terminar, el reloj GPS de Sara marca 10,2 km. Ese mismo día, Sara mide su estuche con una regla mal colocada y obtiene 15,2 cm, aunque mide 15 cm. a) Calcula el error absoluto y el error relativo de cada medida. b) ¿Cuál de las dos es peor?

   Resolución

   a) Carrera: $E_a = |10 - 10{,}2| = 0{,}2$ km = 200 m. $E_r = \dfrac{0{,}2}{10} = 0{,}02 = 2\ \%$. Estuche: $E_a = |15 - 15{,}2| = 0{,}2$ cm. $E_r = \dfrac{0{,}2}{15} = 0{,}013\ldots \approx 1{,}3\ \%$. b) Los dos errores absolutos son «0,2», pero en unidades distintas: no se pueden comparar así. Comparamos los relativos: la medida de la carrera es peor (2 % frente a 1,3 %).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Calcula el error absoluto y el error relativo (en %) de cada aproximación: a) $\dfrac{1}{7} \approx 0{,}14$ b) $\sqrt{3} \approx 1{,}73$ (usa $\sqrt{3} = 1{,}732\,050\,8$) c) 7,48 redondeado a 7,5

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   a) $E_a = \dfrac{1}{350} \approx 0{,}0029$; $E_r = 2\ \%$. b) $E_a \approx 0{,}0021$; $E_r \approx 0{,}12\ \%$. c) $E_a = 0{,}02$; $E_r \approx 0{,}27\ \%$.

   a) $\left|\dfrac{1}{7} - \dfrac{14}{100}\right| = \left|\dfrac{100 - 98}{700}\right| = \dfrac{2}{700} = \dfrac{1}{350}$; $E_r = \dfrac{1/350}{1/7} = \dfrac{7}{350} = \dfrac{1}{50} = 2\ \%$. b) $E_a = 1{,}732\,050\,8 - 1{,}73 = 0{,}002\,050\,8$; $E_r = \dfrac{0{,}002\,050\,8}{1{,}732\,050\,8} = 0{,}001\,18 \approx 0{,}12\ \%$. c) $E_a = |7{,}48 - 7{,}5| = 0{,}02$; $E_r = \dfrac{0{,}02}{7{,}48} = 0{,}002\,67 \approx 0{,}27\ \%$.

2. 2. Media

   Una báscula de cocina marca 498 g al pesar un paquete de arroz de 500 g. La báscula de una empresa de transportes marca 12 040 kg al pesar un camión de 12 000 kg. a) Calcula el error absoluto y relativo de cada báscula. b) ¿Cuál es más precisa en relación con lo que pesa?

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   a) Cocina: 2 g y 0,4 %. Camión: 40 kg y 0,33 %. b) La del camión.

   a) Cocina: $E_a = 2$ g; $E_r = \dfrac{2}{500} = 0{,}004 = 0{,}4\ \%$. Camión: $E_a = 40$ kg; $E_r = \dfrac{40}{12\,000} = 0{,}003\,3 \approx 0{,}33\ \%$. b) Aunque se equivoca en 40 kg, la del camión tiene menor error relativo: es más precisa en proporción.

3. 3. Media

   Un atleta hace un tiempo de 10,487 s en los 100 m y el marcador del estadio muestra 10,49 s. Calcula el error absoluto y el relativo del marcador.

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   $E_a = 0{,}003$ s; $E_r \approx 0{,}029\ \%$.

   $E_a = |10{,}487 - 10{,}49| = 0{,}003$ s. $E_r = \dfrac{0{,}003}{10{,}487} = 0{,}000\,286 \approx 0{,}029\ \%$.

4. 4. Difícil

   Dos aproximaciones famosas de $\pi$ son $\dfrac{22}{7}$ y $\dfrac{355}{113}$. Con la calculadora, halla el error absoluto y el relativo de cada una. ¿Cuál es mejor? ¿Es mejor que 3,14?

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   $\dfrac{22}{7}$: $E_a \approx 0{,}0013$, $E_r \approx 0{,}04\ \%$. $\dfrac{355}{113}$: $E_a \approx 0{,}000\,000\,27$, $E_r \approx 0{,}000\,008\ \%$. La mejor es $\dfrac{355}{113}$; las dos son mejores que 3,14.

   $\dfrac{22}{7} = 3{,}142\,857\ldots$; $E_a = 3{,}142\,857 - 3{,}141\,593 = 0{,}001\,26$; $E_r = \dfrac{0{,}001\,26}{3{,}141\,59} \approx 0{,}000\,40 = 0{,}04\ \%$. $\dfrac{355}{113} = 3{,}141\,592\,9\ldots$; $E_a \approx 0{,}000\,000\,27$; $E_r \approx 0{,}000\,000\,085 = 0{,}000\,008\,5\ \%$. Con 3,14 el error relativo era del 0,051 %: $\dfrac{22}{7}$ es algo mejor y $\dfrac{355}{113}$, muchísimo mejor.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Calcula el error absoluto y el relativo (en %) de: a) $\dfrac{5}{9} \approx 0{,}56$ (hazlo con fracciones) b) $\sqrt{10} \approx 3{,}16$ (usa $\sqrt{10} = 3{,}162\,277\,7$)

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   a) $E_a = \dfrac{1}{225} \approx 0{,}0044$; $E_r = 0{,}8\ \%$. b) $E_a \approx 0{,}0023$; $E_r \approx 0{,}072\ \%$.

   a) $E_a = \left|\dfrac{5}{9} - \dfrac{56}{100}\right| = \left|\dfrac{500 - 504}{900}\right| = \dfrac{4}{900} = \dfrac{1}{225}$. $E_r = \dfrac{1/225}{5/9} = \dfrac{9}{1125} = 0{,}008 = 0{,}8\ \%$. b) $E_a = 3{,}162\,277\,7 - 3{,}16 = 0{,}002\,277\,7$; $E_r = \dfrac{0{,}002\,277\,7}{3{,}162\,277\,7} \approx 0{,}000\,72 = 0{,}072\ \%$.

2. 2. Fácil

   Un pueblo de la sierra tiene 4838 habitantes. En el cartel de la entrada pone «unos 5000 habitantes». Calcula el error absoluto y el error relativo del cartel.

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   $E_a = 162$ habitantes; $E_r \approx 3{,}35\ \%$.

   $E_a = |4838 - 5000| = 162$ habitantes. $E_r = \dfrac{162}{4838} = 0{,}033\,5 \approx 3{,}35\ \%$.

3. 3. Media

   Ana calcula a ojo que su mochila pesa 6 kg y en realidad pesa 5,2 kg. Luis calcula a ojo que su clase mide 9 m de largo y en realidad mide 8,5 m. ¿Quién ha hecho mejor estimación?

   Ver solución

   Luis (5,9 % frente a 15,4 %).

   Ana: $E_a = 0{,}8$ kg; $E_r = \dfrac{0{,}8}{5{,}2} \approx 0{,}154 = 15{,}4\ \%$. Luis: $E_a = 0{,}5$ m; $E_r = \dfrac{0{,}5}{8{,}5} \approx 0{,}059 = 5{,}9\ \%$. Luis tiene menor error relativo: su estimación es mejor.

4. 4. Difícil

   a) Con un error absoluto de 1 mm, ¿qué es más grave: medir el grosor de una moneda (2 mm) o la altura de una puerta (2 m)? Justifícalo con el error relativo. b) ¿Puede el error relativo ser mayor que el 100 %? Pon un ejemplo.

   Ver solución

   a) La moneda: 50 % frente a 0,05 %. b) Sí; por ejemplo, aproximar 2 por 5 da un 150 %.

   a) Moneda: $E_r = \dfrac{1}{2} = 50\ \%$. Puerta: 2 m = 2000 mm; $E_r = \dfrac{1}{2000} = 0{,}0005 = 0{,}05\ \%$. Es mucho más grave en la moneda. b) Sí, si el error absoluto es mayor que el valor real. Si el valor real es 2 y lo aproximamos por 5: $E_a = 3$, $E_r = \dfrac{3}{2} = 1{,}5 = 150\ \%$. Es una aproximación malísima.