La ley de Boyle-Mariotte: P₁ · V₁ = P₂ · V₂

Explicación

Errores frecuentes

• ErrorDespejar mal y escribir $V_2 = \dfrac{P_2 \cdot V_1}{P_1}$.

  Cómo corregirloComprueba el sentido del resultado: si la presión aumenta, el volumen debe salir más pequeño. Si no, has despejado al revés.

• ErrorMezclar unidades: poner $P_1$ en mmHg y $P_2$ en atm.

  Cómo corregirloAntes de sustituir, pasa una de las dos presiones a la unidad de la otra.

• ErrorPensar que la gráfica P-V es una recta que baja.

  Cómo corregirloAl duplicar el volumen la presión se reduce a la mitad, no baja siempre lo mismo: los puntos forman una curva que se acerca a los ejes sin tocarlos.

Ejemplos resueltos

1. Ejemplo 1. La jeringa con manómetro experimental (tabla y gráfica)

   En el laboratorio se conecta una jeringa con 20 mL de aire a un manómetro y se va empujando el émbolo despacio, sin que cambie la temperatura. Se obtienen estos datos:

   $V$ (mL)	20	16	10	8	5
   $P$ (atm)	1,00	1,25	2,00	2,50	4,00

   a) Calcula $P \cdot V$ para cada pareja de datos. ¿Qué observas? b) Con la gráfica, estima la presión cuando el volumen es 12,5 mL y compruébalo con la ley.

   Resolución

   a) $1 \cdot 20 = 20$; $1{,}25 \cdot 16 = 20$; $2 \cdot 10 = 20$; $2{,}5 \cdot 8 = 20$; $4 \cdot 5 = 20$ (en atm · mL).

   El producto $P \cdot V$ es siempre el mismo: se cumple la ley de Boyle-Mariotte.

   b) En la gráfica, para $V = 12{,}5$ mL la curva está un poco por encima de 1,5 atm. Con la ley: $$P = \frac{20\ \text{atm} \cdot \text{mL}}{12{,}5\ \text{mL}} = 1{,}6\ \text{atm}$$

2. Ejemplo 2. La burbuja del buceador situación real

   Un buceador, a 20 m de profundidad, suelta una burbuja de aire de 2 mL. A esa profundidad la presión es de unas 3 atm (1 atm del aire más 1 atm por cada 10 m de agua). Suponiendo que la temperatura del agua no cambia, ¿qué volumen tendrá la burbuja al llegar a la superficie (1 atm)?

   Resolución

   Datos ($T$ constante → Boyle-Mariotte):

   Estado 1 (20 m)	Estado 2 (superficie)
   $P_1 = 3\ \text{atm}$	$P_2 = 1\ \text{atm}$
   $V_1 = 2\ \text{mL}$	$V_2 = \ ?$

   $$P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2 \;\Rightarrow\; V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2} = \frac{3\ \text{atm} \cdot 2\ \text{mL}}{1\ \text{atm}} = 6\ \text{mL}$$

   Comprobación: la presión se divide entre 3 y el volumen se multiplica por 3. La burbuja triplica su volumen al subir.

   Por eso un buceador con botella nunca debe subir aguantando la respiración: el aire de sus pulmones se expandiría.

3. Ejemplo 3. Presiones en unidades distintas numérico (cambio de unidades)

   Un gas ocupa 4,0 L a 750 mmHg. Sin cambiar la temperatura, se comprime hasta que su presión es de 2,5 atm. ¿Qué volumen ocupa ahora?

   Resolución

   Las presiones están en unidades distintas: pasamos una a la unidad de la otra.

   $P_1 = 750\ \text{mmHg} \cdot \dfrac{1\ \text{atm}}{760\ \text{mmHg}} = 0{,}987\ \text{atm}$

   $$V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2} = \frac{0{,}987\ \text{atm} \cdot 4{,}0\ \text{L}}{2{,}5\ \text{atm}} \approx 1{,}58\ \text{L}$$

   También se puede pasar $P_2$ a mmHg: $2{,}5 \cdot 760 = 1900$ mmHg y $V_2 = \dfrac{750 \cdot 4{,}0}{1900} \approx 1{,}58$ L. Da lo mismo.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. 1. Fácil

   Un gas ocupa 5 L a 2 atm. Sin cambiar la temperatura, se comprime hasta 1 L. ¿Cuál es su nueva presión?

   Ver solución

   10 atm

   $T$ constante → Boyle-Mariotte. $$P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{V_2} = \frac{2\ \text{atm} \cdot 5\ \text{L}}{1\ \text{L}} = 10\ \text{atm}$$ El volumen se divide entre 5 y la presión se multiplica por 5. ✔

2. 2. Fácil

   Tapas con el dedo la salida de una bomba de bici que contiene 0,5 L de aire a 1 atm y empujas hasta que el aire ocupa 0,2 L, sin que se caliente. ¿Qué presión tiene el aire dentro de la bomba?

   Ver solución

   2,5 atm

   $$P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{V_2} = \frac{1\ \text{atm} \cdot 0{,}5\ \text{L}}{0{,}2\ \text{L}} = 2{,}5\ \text{atm}$$

3. 3. Media

   La gráfica muestra cómo cambia la presión de un gas con su volumen a temperatura constante. a) ¿Qué presión tiene el gas cuando ocupa 4 L? b) ¿Qué volumen ocupa cuando la presión es de 2 atm? c) Comprueba que $P \cdot V$ es constante y di cuánto vale. d) ¿Qué presión tendría si ocupara 12 L?

   Ver solución

   a) 1,5 atm. b) 3 L. c) P · V = 6 atm · L. d) 0,5 atm.

   a) Leyendo en la gráfica: $V = 4$ L → $P = 1{,}5$ atm. b) $P = 2$ atm → $V = 3$ L. c) $1 \cdot 6 = 6$; $2 \cdot 3 = 6$; $3 \cdot 2 = 6$; $1{,}5 \cdot 4 = 6$; $6 \cdot 1 = 6$ (atm · L). Constante: $P \cdot V = 6\ \text{atm} \cdot \text{L}$. d) $P = \dfrac{6\ \text{atm} \cdot \text{L}}{12\ \text{L}} = 0{,}5\ \text{atm}$.

4. 4. Media

   Un gas ocupa 600 mL a 1 atm. Sin cambiar la temperatura, se aumenta la presión hasta 1520 mmHg. ¿Qué volumen ocupa ahora?

   Ver solución

   300 mL

   Misma unidad de presión: $P_2 = 1520\ \text{mmHg} \cdot \dfrac{1\ \text{atm}}{760\ \text{mmHg}} = 2\ \text{atm}$. $$V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2} = \frac{1\ \text{atm} \cdot 600\ \text{mL}}{2\ \text{atm}} = 300\ \text{mL}$$

5. 5. Difícil

   Una buceadora en apnea (sin botella) llena sus pulmones con 6 L de aire en la superficie (1 atm) y se sumerge. Suponiendo que la temperatura no cambia, ¿qué volumen ocupará ese aire a 10 m de profundidad (unas 2 atm)? ¿Y a 30 m (unas 4 atm)?

   Ver solución

   A 10 m, unos 3 L; a 30 m, unos 1,5 L.

   $P_1 \cdot V_1 = 1\ \text{atm} \cdot 6\ \text{L} = 6\ \text{atm} \cdot \text{L}$.

   • A 10 m: $V = \dfrac{6}{2} = 3\ \text{L}$.
   • A 30 m: $V = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\ \text{L}$. Al bajar, el aire de los pulmones se comprime; al subir, recupera su volumen. Los valores son aproximados.

Para practicar más

1. 1. Fácil

   Un gas ocupa 10 L a 1 atm. ¿Qué volumen ocupará a 4 atm si la temperatura no cambia?

   Ver solución

   2,5 L

   $$V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{P_2} = \frac{1\ \text{atm} \cdot 10\ \text{L}}{4\ \text{atm}} = 2{,}5\ \text{L}$$

2. 2. Fácil

   Un gas ocupa 250 mL a 100 kPa. Se deja expandir, a temperatura constante, hasta 400 mL. ¿Cuál es su presión final?

   Ver solución

   62,5 kPa

   $$P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{V_2} = \frac{100\ \text{kPa} \cdot 250\ \text{mL}}{400\ \text{mL}} = 62{,}5\ \text{kPa}$$ El volumen aumenta y la presión disminuye. ✔

3. 3. Media

   Una cantidad de gas a temperatura constante cumple $P \cdot V = 24\ \text{atm} \cdot \text{L}$. a) Copia y completa la tabla:

   $P$ (atm)	1	2	3		8
   $V$ (L)	24	12		4

   b) Dibuja la gráfica $P$-$V$ en los ejes.

   Ver solución

   a) Para P = 3 atm, V = 8 L; para V = 4 L, P = 6 atm; para P = 8 atm, V = 3 L. b) Curva decreciente (isoterma) que pasa por (3, 8), (4, 6), (8, 3), (12, 2) y (24, 1).

   a) $V = \dfrac{24}{3} = 8$ L; $P = \dfrac{24}{4} = 6$ atm; $V = \dfrac{24}{8} = 3$ L. b) Se representan los puntos ($V$ en el eje horizontal, $P$ en el vertical): (24, 1), (12, 2), (8, 3), (4, 6), (3, 8). Se unen con una curva suave, no con rectas.

4. 4. Media

   Un buceador a 15 m de profundidad (unas 2,5 atm) suelta una burbuja de 4 cm³. Suponiendo que la temperatura del agua no cambia, calcula su volumen a 5 m de profundidad (unas 1,5 atm) y en la superficie (1 atm).

   Ver solución

   A 5 m, unos 6,7 cm³; en la superficie, 10 cm³.

   $P_1 \cdot V_1 = 2{,}5\ \text{atm} \cdot 4\ \text{cm}^3 = 10\ \text{atm} \cdot \text{cm}^3$.

   • A 5 m: $V = \dfrac{10}{1{,}5} \approx 6{,}7\ \text{cm}^3$.
   • En la superficie: $V = \dfrac{10}{1} = 10\ \text{cm}^3$.

5. 5. Difícil

   Un gas está a 1 atm. ¿A qué presión hay que someterlo, sin cambiar su temperatura, para que su volumen se reduzca un 20 %?

   Ver solución

   1,25 atm

   Si el volumen se reduce un 20 %, queda el 80 %: $V_2 = 0{,}8\, V_1$. $$P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1}{V_2} = \frac{1\ \text{atm} \cdot V_1}{0{,}8\, V_1} = 1{,}25\ \text{atm}$$ (Se puede comprobar con un volumen cualquiera, por ejemplo $V_1 = 10$ L y $V_2 = 8$ L: $P_2 = 10/8 = 1{,}25$ atm.)