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Física y Química 3.º ESO · La ley general de los gases

La ley general de los gases: P · V / T = constante

Objetivo: Al terminar, sabrás aplicar la ley general de los gases, P₁ · V₁ / T₁ = P₂ · V₂ / T₂, cuando cambian a la vez dos o tres variables de una cantidad fija de gas, y reconocer las leyes de Boyle-Mariotte, Charles y Gay-Lussac como casos particulares.

Explicación

Cuando cambian varias variables a la vez

Las leyes de Boyle-Mariotte, Charles y Gay-Lussac sirven cuando una variable se mantiene constante. Pero muchas veces cambian las tres: un globo sonda que sube a la estratosfera tiene cada vez menos presión y menos temperatura.

Las tres leyes se pueden reunir en una sola, la ley general de los gases (o ley combinada):

$\frac{P \cdot V}{T} = \text{constante} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{P_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{P_2 \cdot V_2}{T_2}$

Se cumple para una cantidad fija de gas (el recipiente no pierde ni gana gas).

Las tres leyes son casos particulares

Si es constante…	se tacha…	y queda…	Ley
$T$ ( $T_1 = T_2$ )	$T$	$P_1 \cdot V_1 = P_2 \cdot V_2$	Boyle-Mariotte
$P$ ( $P_1 = P_2$ )	$P$	$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$	Charles
$V$ ( $V_1 = V_2$ )	$V$	$\dfrac{P_1}{T_1} = \dfrac{P_2}{T_2}$	Gay-Lussac

Así que basta con recordar la ley general.

Cómo resolver un problema

Haz una tabla con el estado 1 y el estado 2. Marca la incógnita.
Pasa las temperaturas a kelvin.
Comprueba que $P_1$ y $P_2$ están en la misma unidad, y $V_1$ y $V_2$ también.
Despeja la incógnita antes de sustituir. Por ejemplo: $V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot P_2} \qquad P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2} \qquad T_2 = \frac{P_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{P_1 \cdot V_1}$
Sustituye, calcula y comprueba que el resultado es razonable (si te piden la temperatura en °C, réstale 273).

Puntos clave

Ley general de los gases: $\dfrac{P_1 \cdot V_1}{T_1} = \dfrac{P_2 \cdot V_2}{T_2}$ , para una cantidad fija de gas.
Si una variable es constante, se tacha y se obtiene la ley de Boyle-Mariotte, Charles o Gay-Lussac.
La temperatura siempre en kelvin; presiones y volúmenes, en la misma unidad en los dos estados.
Organiza los datos en una tabla «estado 1 / estado 2» y despeja antes de sustituir.
Comprueba el resultado: si la temperatura calculada sale negativa en kelvin, hay un error.

Errores frecuentes

ErrorSustituir las temperaturas en °C.
Cómo corregirloPrimer paso, siempre: $T = t + 273$ . Con °C, el resultado sale mal (y con 0 °C no se puede ni dividir).
ErrorDespejar mal cuando la incógnita está en el denominador ( $T_2$ ).
Cómo corregirloMultiplica en cruz: $P_1 V_1 T_2 = P_2 V_2 T_1$ , y después despeja: $T_2 = \dfrac{P_2 V_2 T_1}{P_1 V_1}$ .
ErrorColocar los datos del estado 2 en el lado del estado 1.
Cómo corregirloHaz la tabla de datos con dos columnas antes de escribir la fórmula y sustituye columna a columna.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El globo sonda de la AEMET situación real

Cada día la AEMET lanza globos sonda desde el aeropuerto de Madrid-Barajas para medir cómo está la atmósfera en altura. Supón que un globo se llena con 2,0 m³ de gas a 0,93 atm y 15 °C. A unos 10 km de altura la presión es de unas 0,26 atm y la temperatura, de unos −50 °C. ¿Qué volumen tendrá allí el globo? (Los datos son aproximados.)

Resolución

Tabla de datos:

Estado 1 (Barajas)	Estado 2 (10 km)
$P_1 = 0{,}93\ \text{atm}$	$P_2 = 0{,}26\ \text{atm}$
$V_1 = 2{,}0\ \text{m}^3$	$V_2 = \ ?$
$T_1 = 15 + 273 = 288\ \text{K}$	$T_2 = -50 + 273 = 223\ \text{K}$

Despejamos y sustituimos: $V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot P_2} = \frac{0{,}93 \cdot 2{,}0 \cdot 223}{288 \cdot 0{,}26} \approx 5{,}5\ \text{m}^3$

¿Es razonable? La presión baja mucho (el globo se hincha) y la temperatura baja algo (se encoge un poco): gana la presión, y el globo casi triplica su volumen. Por eso, al seguir subiendo, acaba reventando.

Ejemplo 2. Comprimir y calentar a la vez numérico

Un cilindro con émbolo contiene 500 mL de aire a 1 atm y 20 °C. Se empuja el émbolo hasta que el aire ocupa 200 mL y, a la vez, se calienta hasta 80 °C. ¿Qué presión tiene ahora el aire?

Resolución

Estado 1	Estado 2
$P_1 = 1\ \text{atm}$	$P_2 = \ ?$
$V_1 = 500\ \text{mL}$	$V_2 = 200\ \text{mL}$
$T_1 = 293\ \text{K}$	$T_2 = 353\ \text{K}$

$P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2} = \frac{1 \cdot 500 \cdot 353}{293 \cdot 200} \approx 3{,}0\ \text{atm}$

Las dos cosas hacen subir la presión: menos volumen (Boyle) y más temperatura (Gay-Lussac). Por eso el resultado es mayor que 2,5 atm, que es lo que daría solo la compresión.

Ejemplo 3. Comprobar la ley con datos tabla de datos (laboratorio)
En un laboratorio se mide un mismo gas en tres situaciones distintas:

Situación $P$ (atm) $V$ (L) $T$ (K)

A 1,0 10 300

B 2,0 6 360

C 0,5 16 240

a) Calcula $\dfrac{P \cdot V}{T}$ en cada caso. ¿Qué concluyes? b) Entre A y B, ¿alguna variable se ha mantenido constante? ¿Se podría haber usado la ley de Boyle-Mariotte?

Resolución
a) A: $\dfrac{1{,}0 \cdot 10}{300} = 0{,}0333$ ; B: $\dfrac{2{,}0 \cdot 6}{360} = 0{,}0333$ ; C: $\dfrac{0{,}5 \cdot 16}{240} = 0{,}0333$ (atm · L/K).

$\dfrac{P \cdot V}{T}$ es igual en las tres: se cumple la ley general de los gases (es el mismo gas, en la misma cantidad).

b) No: de A a B cambian las tres variables. No vale ninguna ley particular; hace falta la ley general.

Situación	$P$ (atm)	$V$ (L)	$T$ (K)
A	1,0	10	300
B	2,0	6	360
C	0,5	16	240

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Un gas ocupa 2 L a 1 atm y 300 K. Se comprime hasta 1 L y se calienta hasta 450 K. ¿Cuál es su presión final?

Ver solución
3 atm
$P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 450}{300 \cdot 1} = 3\ \text{atm}$
2. Fácil
Un gas ocupa 10 L a 2 atm y 27 °C. ¿Qué volumen ocupará a 4 atm y 127 °C?

Ver solución
≈ 6,7 L
$T_1 = 300\ \text{K}$ ; $T_2 = 400\ \text{K}$ . $V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot P_2} = \frac{2 \cdot 10 \cdot 400}{300 \cdot 4} \approx 6{,}7\ \text{L}$
3. Media
Un gas ocupa 5 L a 1 atm y 27 °C. ¿A qué temperatura, en °C, ocupará 2 L a 3 atm?

Ver solución
87 °C (360 K)
$T_1 = 300\ \text{K}$ . $T_2 = \frac{P_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{P_1 \cdot V_1} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 300}{1 \cdot 5} = 360\ \text{K}$ En °C: $360 - 273 = 87\ °\text{C}$ .
4. Media
Resuelve con la ley general de los gases e indica a qué ley particular se reduce en cada caso: a) Un gas ocupa 3 L a 2 atm y 300 K. Se calienta hasta 400 K en un recipiente rígido. ¿Qué presión alcanza? b) Un gas ocupa 3 L a 300 K. Se enfría hasta 250 K a presión constante. ¿Qué volumen ocupa?

Ver solución
a) ≈ 2,67 atm (Gay-Lussac). b) 2,5 L (Charles).
a) $V_1 = V_2$ : se tacha $V$ y queda Gay-Lussac. $P_2 = \dfrac{P_1 \cdot T_2}{T_1} = \dfrac{2 \cdot 400}{300} \approx 2{,}67\ \text{atm}$ . b) $P_1 = P_2$ : se tacha $P$ y queda Charles. $V_2 = \dfrac{V_1 \cdot T_2}{T_1} = \dfrac{3 \cdot 250}{300} = 2{,}5\ \text{L}$ .

5. Media

Un buceador en el embalse de San Juan (Madrid) suelta una burbuja de 1,0 cm³ a 15 m de profundidad, donde la presión es de unas 2,5 atm y el agua está a 7 °C. ¿Qué volumen tendrá la burbuja al llegar a la superficie, donde hay 1 atm y el agua está a 22 °C?

Ver solución

≈ 2,6 cm³

Estado 1	Estado 2
$P_1 = 2{,}5\ \text{atm}$	$P_2 = 1\ \text{atm}$
$V_1 = 1{,}0\ \text{cm}^3$	$V_2 = \ ?$
$T_1 = 280\ \text{K}$	$T_2 = 295\ \text{K}$

$V_2 = \frac{2{,}5 \cdot 1{,}0 \cdot 295}{280 \cdot 1} \approx 2{,}6\ \text{cm}^3$ Crece por las dos causas: baja la presión y sube la temperatura.

6. Difícil
Un gas se comprime hasta la mitad de su volumen y, a la vez, su temperatura absoluta aumenta un 50 %. ¿Por cuánto se multiplica su presión?

Ver solución
Por 3
$V_2 = \dfrac{V_1}{2}$ y $T_2 = 1{,}5\, T_1$ . $P_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2} = P_1 \cdot \frac{V_1}{V_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} = P_1 \cdot 2 \cdot 1{,}5 = 3\, P_1$ Comprobación con números: 1 atm, 2 L, 300 K → 1 L, 450 K: $P_2 = 3$ atm (como en ec1).

Para practicar más

1. Fácil
Un gas ocupa 4 L a 1 atm y 300 K. Se lleva a 2 atm y 600 K. a) Calcula su volumen final. b) Explica por qué el resultado tiene sentido.

Ver solución
a) 4 L. b) Duplicar la presión lo reduce a la mitad y duplicar la temperatura absoluta lo duplica: los dos efectos se compensan.
a) $V_2 = \dfrac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot P_2} = \dfrac{1 \cdot 4 \cdot 600}{300 \cdot 2} = 4\ \text{L}$ . b) Si solo se duplicara la presión, el volumen se reduciría a la mitad (Boyle); si solo se duplicara la temperatura absoluta, el volumen se duplicaría (Charles). Los dos efectos se compensan.
2. Fácil
Un gas ocupa 750 mL a 1,2 atm y 25 °C. Se comprime hasta 500 mL y se calienta hasta 50 °C. ¿Cuál es su presión final?

Ver solución
≈ 1,95 atm
$T_1 = 298\ \text{K}$ ; $T_2 = 323\ \text{K}$ . $P_2 = \frac{1{,}2 \cdot 750 \cdot 323}{298 \cdot 500} \approx 1{,}95\ \text{atm}$
3. Media
Un gas ocupa 3 L a 1 atm y 20 °C. ¿A qué temperatura, en °C, hay que llevarlo para que ocupe 1,5 L a 2,5 atm?

Ver solución
≈ 93 °C (366 K)
$T_1 = 293\ \text{K}$ . $T_2 = \frac{P_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{P_1 \cdot V_1} = \frac{2{,}5 \cdot 1{,}5 \cdot 293}{1 \cdot 3} \approx 366\ \text{K}$ En °C: $366 - 273 = 93\ °\text{C}$ .
4. Media
En una fiesta en Madrid (0,93 atm y 25 °C) se hincha un globo de helio hasta 5,0 L. Se escapa y sube hasta unos 3000 m de altura, donde la presión es de unas 0,70 atm y la temperatura de unos 5 °C. ¿Qué volumen tendrá allí (si no revienta)?

Ver solución
≈ 6,2 L
$T_1 = 298\ \text{K}$ ; $T_2 = 278\ \text{K}$ . $V_2 = \frac{P_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot P_2} = \frac{0{,}93 \cdot 5{,}0 \cdot 278}{298 \cdot 0{,}70} \approx 6{,}2\ \text{L}$
5. Difícil
Una misma cantidad de gas se encuentra en cuatro estados. Completa la tabla usando la ley general:

Estado $P$ (atm) $V$ (L) $T$ (K)

A 2 3 300

B 6 450

C 4 400

D 1 5
Ver solución
B: 1,5 atm. C: 2 L. D: 250 K.
$\dfrac{P \cdot V}{T} = \dfrac{2 \cdot 3}{300} = 0{,}02$ atm · L/K en todos los estados.
- B: $P = \dfrac{0{,}02 \cdot 450}{6} = 1{,}5\ \text{atm}$ .
- C: $V = \dfrac{0{,}02 \cdot 400}{4} = 2\ \text{L}$ .
- D: $T = \dfrac{1 \cdot 5}{0{,}02} = 250\ \text{K}$ .