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Explicación

¿Para qué sirve?

En ciencia manejamos números enormes y números diminutos:

La distancia de la Tierra al Sol es de unos 150 000 000 km.
El diámetro de un átomo es de unos 0,000 000 000 1 m.

Escritos así es fácil equivocarse al contar ceros. Por eso se usa la notación científica.

Cómo es un número en notación científica

$a \cdot 10^{n}$

$a$ es un número decimal con una sola cifra entera, distinta de cero: $1 \le a < 10$ .
$n$ es un número entero (positivo, negativo o cero): el exponente.

Están bien escritos: $1{,}5 \cdot 10^{8}$ ; $7 \cdot 10^{-6}$ ; $3{,}84 \cdot 10^{5}$ . No lo están: $15 \cdot 10^{7}$ (dos cifras enteras) ni $0{,}7 \cdot 10^{-5}$ (cifra entera cero).

Pasar un número a notación científica

Mueve la coma hasta dejar una sola cifra entera distinta de cero.
Cuenta cuántos lugares has movido la coma: ese es el valor del exponente.
El signo:
- número grande (mayor que 10), la coma va hacia la izquierda: exponente positivo;
- número pequeño (menor que 1), la coma va hacia la derecha: exponente negativo.

Número	Movemos la coma	Notación científica
150 000 000	8 lugares a la izquierda	$1{,}5 \cdot 10^{8}$
4 500	3 lugares a la izquierda	$4{,}5 \cdot 10^{3}$
0,0072	3 lugares a la derecha	$7{,}2 \cdot 10^{-3}$
0,000 000 000 1	10 lugares a la derecha	$1 \cdot 10^{-10}$

Pasar de notación científica a número decimal

Se hace al revés: si el exponente es positivo, la coma se mueve a la derecha tantos lugares como indica; si es negativo, a la izquierda (rellenando con ceros): $3 \cdot 10^{5} = 300\,000 \qquad 2{,}5 \cdot 10^{-4} = 0{,}000\,25$

Comparar y ordenar

Primero se mira el exponente: es mayor el número con mayor exponente ( $10^{-3}$ es mayor que $10^{-4}$ , porque $-3 > -4$ ).
Si los exponentes son iguales, se compara la parte decimal $a$ .

El exponente nos da el orden de magnitud: una idea rápida de lo grande o pequeña que es una cantidad. Por eso los prefijos más usados del SI van de mil en mil: $1\ \text{km} = 10^{3}\ \text{m}$ , $1\ \text{mm} = 10^{-3}\ \text{m}$ , $1\ \mu\text{m} = 10^{-6}\ \text{m}$ .

Puntos clave

Notación científica: $a \cdot 10^{n}$ con una sola cifra entera distinta de cero ( $1 \le a < 10$ ) y $n$ entero.
Números grandes: exponente positivo. Números menores que 1: exponente negativo.
El exponente es el número de lugares que se mueve la coma, no el número de ceros.
Para comparar, primero los exponentes; si son iguales, la parte decimal.
La unidad se escribe detrás: $1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ .

Errores frecuentes

ErrorEscribir $0{,}0052 = 5{,}2 \cdot 10^{3}$ (exponente positivo para un número pequeño).
Cómo corregirloSi el número es menor que 1, el exponente es negativo: $5{,}2 \cdot 10^{-3}$ . Comprueba: $10^{3}$ es mil, y 0,0052 es muy pequeño.
ErrorContar los ceros en lugar de los lugares que se mueve la coma: 340 000 = $3{,}4 \cdot 10^{4}$ .
Cómo corregirloDesde 340 000 hasta 3,4 la coma se mueve 5 lugares: $3{,}4 \cdot 10^{5}$ .
ErrorDar por buena una expresión como $45 \cdot 10^{3}$ o $0{,}8 \cdot 10^{-2}$ .
Cómo corregirloSolo puede haber una cifra entera, distinta de cero: $4{,}5 \cdot 10^{4}$ y $8 \cdot 10^{-3}$ .
ErrorPensar que $2 \cdot 10^{-6}$ es mayor que $1 \cdot 10^{-5}$ porque 6 es mayor que 5.
Cómo corregirloCon exponentes negativos, $-5$ es mayor que $-6$ : $1 \cdot 10^{-5} = 0{,}000\,01$ es mayor que $2 \cdot 10^{-6} = 0{,}000\,002$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Del Sol al papel de aluminio numérico (grande y pequeño)
Escribe en notación científica: a) la distancia media de la Tierra al Sol, unos 150 000 000 km, en kilómetros y en metros; b) el grosor del papel de aluminio de cocina, unos 0,000 02 m.

Resolución
a) Movemos la coma de 150 000 000 hasta 1,5: son 8 lugares a la izquierda → $1{,}5 \cdot 10^{8}\ \text{km}$ . En metros: 150 000 000 km = 150 000 000 000 m (añadimos tres ceros, porque 1 km = 1000 m). La coma se mueve 11 lugares → $1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ .

b) Movemos la coma de 0,000 02 hasta 2: son 5 lugares a la derecha y el número es pequeño → $2 \cdot 10^{-5}\ \text{m}$ .

Comprobación: un número grande tiene exponente positivo; uno menor que 1, negativo. ✔

Ejemplo 2. Ordenar del más pequeño al más grande situación real (escala de tamaños)

Estos son los tamaños aproximados de algunos objetos:

Objeto	Tamaño (m)
Bacteria	$2 \cdot 10^{-6}$
Átomo	$1 \cdot 10^{-10}$
Hormiga	$5 \cdot 10^{-3}$
Virus	$1 \cdot 10^{-7}$
Célula de la piel	$3 \cdot 10^{-5}$

Ordénalos de menor a mayor y escribe el de la bacteria en forma decimal.

Resolución

Comparamos los exponentes: $-10 < -7 < -6 < -5 < -3$ .

Orden: átomo ( $10^{-10}$ ) < virus ( $10^{-7}$ ) < bacteria ( $10^{-6}$ ) < célula de la piel ( $10^{-5}$ ) < hormiga ( $10^{-3}$ ).

Bacteria: exponente $-6$ , movemos la coma 6 lugares a la izquierda: $2 \cdot 10^{-6}\ \text{m} = 0{,}000\,002\ \text{m}$ (2 micrómetros, 2 µm).

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Escribe en notación científica: a) 340 000 b) 0,0052 c) el radio de la Tierra, unos 6 370 000 m d) la longitud de onda de la luz violeta, unos 0,000 000 45 m.

Ver solución
a) $3{,}4 \cdot 10^{5}$ b) $5{,}2 \cdot 10^{-3}$ c) $6{,}37 \cdot 10^{6}$ m d) $4{,}5 \cdot 10^{-7}$ m
a) La coma se mueve 5 lugares a la izquierda: $3{,}4 \cdot 10^{5}$ . b) 3 lugares a la derecha (número pequeño): $5{,}2 \cdot 10^{-3}$ . c) 6 lugares a la izquierda: $6{,}37 \cdot 10^{6}$ m. d) 7 lugares a la derecha: $4{,}5 \cdot 10^{-7}$ m.
2. Fácil
Escribe en forma decimal: a) la velocidad de la luz, $3 \cdot 10^{8}$ m/s b) $2{,}5 \cdot 10^{-4}$ m c) la población aproximada de la Comunidad de Madrid, $7 \cdot 10^{6}$ habitantes d) $9{,}1 \cdot 10^{-3}$ g.

Ver solución
a) 300 000 000 m/s b) 0,000 25 m c) 7 000 000 habitantes d) 0,0091 g
a) Exponente 8: la coma 8 lugares a la derecha → 300 000 000 m/s. b) Exponente −4: la coma 4 lugares a la izquierda → 0,000 25 m. c) 7 000 000 habitantes (siete millones). d) 3 lugares a la izquierda → 0,0091 g.
3. Media
Algunas de estas cantidades no están bien escritas en notación científica. Indica cuáles y escríbelas correctamente: a) $45 \cdot 10^{3}$ b) $0{,}8 \cdot 10^{-2}$ c) $3{,}2 \cdot 10^{5}$ d) $12{,}5 \cdot 10^{-6}$

Ver solución
a) $4{,}5 \cdot 10^{4}$ b) $8 \cdot 10^{-3}$ c) ya está bien d) $1{,}25 \cdot 10^{-5}$
a) Tiene dos cifras enteras. $45 = 4{,}5 \cdot 10$ , así que $45 \cdot 10^{3} = 4{,}5 \cdot 10^{4}$ (el número total no cambia: 45 000). b) La cifra entera es 0. $0{,}8 \cdot 10^{-2} = 0{,}008 = 8 \cdot 10^{-3}$ . c) Correcta: una cifra entera distinta de cero. d) $12{,}5 \cdot 10^{-6} = 0{,}000\,012\,5 = 1{,}25 \cdot 10^{-5}$ .

Truco: si la parte decimal se hace 10 veces más pequeña, el exponente sube 1; si se hace 10 veces más grande, baja 1.
4. Media
Ordena de menor a mayor estas longitudes: $3{,}5 \cdot 10^{-3}$ m; $8 \cdot 10^{-4}$ m; $1{,}2 \cdot 10^{-3}$ m; $5 \cdot 10^{-2}$ m.

Ver solución
$8 \cdot 10^{-4} < 1{,}2 \cdot 10^{-3} < 3{,}5 \cdot 10^{-3} < 5 \cdot 10^{-2}$ (m)
Primero los exponentes: $-4 < -3 < -2$ . El de $10^{-4}$ es el menor y el de $10^{-2}$ el mayor. Hay dos con exponente $-3$ : comparamos 1,2 y 3,5 → $1{,}2 \cdot 10^{-3} < 3{,}5 \cdot 10^{-3}$ .

En decimal: 0,0008 < 0,0012 < 0,0035 < 0,05 m. ✔

Para practicar más

1. Fácil
Escribe en notación científica: a) la distancia por carretera de Madrid a Barcelona, unos 620 000 m; b) el tamaño de un virus de la gripe, unos 0,000 000 1 m; c) la superficie de la Comunidad de Madrid, unos 8 000 000 000 m².

Ver solución
a) $6{,}2 \cdot 10^{5}$ m b) $1 \cdot 10^{-7}$ m c) $8 \cdot 10^{9}$ m²
a) La coma se mueve 5 lugares a la izquierda: $6{,}2 \cdot 10^{5}$ m. b) 7 lugares a la derecha: $1 \cdot 10^{-7}$ m. c) 9 lugares a la izquierda: $8 \cdot 10^{9}\ \text{m}^2$ .
2. Fácil
Escribe en forma decimal: a) $4{,}2 \cdot 10^{-3}$ g b) $1{,}5 \cdot 10^{4}$ km c) $9 \cdot 10^{-6}$ m d) $6{,}02 \cdot 10^{2}$ s

Ver solución
a) 0,0042 g b) 15 000 km c) 0,000 009 m d) 602 s
a) 3 lugares a la izquierda: 0,0042 g. b) 4 lugares a la derecha: 15 000 km. c) 6 lugares a la izquierda: 0,000 009 m. d) 2 lugares a la derecha: 602 s.
3. Media
Estas son las masas aproximadas de algunos astros: Tierra, $6{,}0 \cdot 10^{24}$ kg; Sol, $2{,}0 \cdot 10^{30}$ kg; Luna, $7{,}3 \cdot 10^{22}$ kg; Júpiter, $1{,}9 \cdot 10^{27}$ kg. Ordénalos de menor a mayor masa. ¿Cuál es el orden de magnitud (la potencia de 10) de la masa de la Tierra?

Ver solución
Luna < Tierra < Júpiter < Sol. Orden de magnitud de la masa de la Tierra: $10^{24}$ kg.
Comparamos exponentes: $22 < 24 < 27 < 30$ . Orden: Luna, Tierra, Júpiter, Sol. La masa de la Tierra es del orden de $10^{24}$ kg.
4. Media
Un año luz (la distancia que recorre la luz en un año) son unos 9 460 000 000 000 km. a) Escríbelo en notación científica. b) ¿Cómo lo leerías en español: «nueve mil cuatrocientos sesenta millones» o «nueve billones cuatrocientos sesenta mil millones» de km? Ten en cuenta que en España un billón es un millón de millones ( $10^{12}$ ).

Ver solución
a) $9{,}46 \cdot 10^{12}$ km b) Unos 9,46 billones de km (nueve billones cuatrocientos sesenta mil millones).
a) La coma se mueve 12 lugares a la izquierda: $9{,}46 \cdot 10^{12}$ km. b) Un millón es $10^{6}$ ; mil millones, $10^{9}$ ; un billón (español), $10^{12}$ . Como el exponente es 12, son unos 9,46 billones de km.

Cuidado: en inglés billion significa mil millones ( $10^{9}$ ), no un billón; por eso a veces las traducciones se equivocan.

La notación científica: cantidades muy grandes y muy pequeñas