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Explicación

Multiplicar y dividir

Se opera por separado con los números decimales y con las potencias de 10:

$(a \cdot 10^{m}) \cdot (b \cdot 10^{n}) = (a \cdot b) \cdot 10^{m+n}$ $\frac{a \cdot 10^{m}}{b \cdot 10^{n}} = \frac{a}{b} \cdot 10^{m-n}$

Al multiplicar, los exponentes se suman.
Al dividir, los exponentes se restan (el de arriba menos el de abajo).
Si la parte decimal queda mayor o igual que 10, o menor que 1, se reajusta: $20 \cdot 10^{-5} = 2 \cdot 10^{-4}$ .

Elevar a una potencia

$(a \cdot 10^{n})^{k} = a^{k} \cdot 10^{n \cdot k} \qquad \text{por ejemplo: } (3 \cdot 10^{4})^{2} = 9 \cdot 10^{8}$

Lo usarás para calcular áreas ( $\text{m}^2$ ) y volúmenes ( $\text{m}^3$ ).

Las unidades también se operan

$\text{m} \cdot \text{m} = \text{m}^2$ ; $\dfrac{\text{m}}{\text{m/s}} = \text{s}$ ; $\dfrac{\text{kg}}{\text{kg}}$ no tiene unidad (es un número de «veces»).

Con la calculadora

Las calculadoras científicas tienen una tecla para la potencia de 10: ×10ˣ (en las Casio actuales) o EXP / EE (en otras). Para escribir $3{,}84 \cdot 10^{8}$ se teclea:

3.84 ×10ˣ 8

y para $1{,}6 \cdot 10^{-19}$ : 1.6 ×10ˣ (−) 19.

No teclees «× 10» antes de la tecla: la tecla ya incluye el 10. En la pantalla, un resultado como 1.28E-3 o 1.28×10⁻³ significa $1{,}28 \cdot 10^{-3}$ . (Si tu calculadora usa punto decimal, recuerda que al escribirlo tú usas coma.)

Comparar dos cantidades

Para saber cuántas veces es mayor una cantidad que otra, se dividen. Por ejemplo, si una distancia es $10^{8}$ m y otra $10^{5}$ m, la primera es $10^{8-5} = 10^{3} = 1000$ veces mayor.

Puntos clave

Multiplicar: se multiplican las partes decimales y se suman los exponentes.
Dividir: se dividen las partes decimales y se restan los exponentes.
Potencia: $(a \cdot 10^{n})^{k} = a^{k} \cdot 10^{n k}$ .
Al terminar, reajusta para que quede una sola cifra entera distinta de cero.
En la calculadora, la potencia de 10 se introduce con la tecla ×10ˣ (o EXP), sin teclear «× 10».
Las unidades se operan igual que los números.

Errores frecuentes

ErrorTeclear 3 × 10 ×10ˣ 8 para escribir $3 \cdot 10^{8}$ .
Cómo corregirloEso da $3 \cdot 10^{9}$ . La tecla ×10ˣ ya incluye el «× 10»: teclea solo 3 ×10ˣ 8.
ErrorAl dividir, restar mal un exponente negativo: $\dfrac{10^{6}}{10^{-3}} = 10^{3}$ .
Cómo corregirloRestar un número negativo es sumar: $6 - (-3) = 9$ , así que $\dfrac{10^{6}}{10^{-3}} = 10^{9}$ .
ErrorDejar el resultado como $20 \cdot 10^{-5}$ o $0{,}5 \cdot 10^{3}$ .
Cómo corregirloReajusta: $20 \cdot 10^{-5} = 2 \cdot 10^{-4}$ y $0{,}5 \cdot 10^{3} = 5 \cdot 10^{2}$ .
ErrorElevar al cuadrado solo la parte decimal: $(3 \cdot 10^{4})^{2} = 9 \cdot 10^{4}$ .
Cómo corregirloLa potencia afecta a los dos factores: $(3 \cdot 10^{4})^{2} = 3^{2} \cdot 10^{8} = 9 \cdot 10^{8}$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar? numérico (a mano y con calculadora)
La distancia de la Tierra al Sol es de unos $1{,}5 \cdot 10^{11}$ m y la luz viaja a $3{,}0 \cdot 10^{8}$ m/s. ¿Cuánto tarda la luz del Sol en llegar a la Tierra? Da el resultado en segundos y en minutos.

Resolución
La luz se mueve a velocidad constante, así que $t = \dfrac{d}{v}$ :

$t = \frac{1{,}5 \cdot 10^{11}\ \text{m}}{3{,}0 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}} = \frac{1{,}5}{3{,}0} \cdot 10^{11-8}\ \text{s} = 0{,}5 \cdot 10^{3}\ \text{s} = 5 \cdot 10^{2}\ \text{s}$

Unidades: $\dfrac{\text{m}}{\text{m/s}} = \text{s}$ .

Con calculadora: 1.5 ×10ˣ 11 ÷ 3 ×10ˣ 8 = → 500.

En minutos: $500 : 60 \approx 8{,}3$ min, es decir, unos 8 min 20 s. La luz que vemos del Sol salió de él hace más de 8 minutos.
Ejemplo 2. ¿Cuántas Tierras hacen falta para igualar al Sol? comparar por cocientes
La masa del Sol es de unos $2{,}0 \cdot 10^{30}$ kg y la de la Tierra, $6{,}0 \cdot 10^{24}$ kg. ¿Cuántas veces mayor es la masa del Sol que la de la Tierra?

Resolución
Dividimos las dos masas:

$\frac{2{,}0 \cdot 10^{30}\ \text{kg}}{6{,}0 \cdot 10^{24}\ \text{kg}} = \frac{2{,}0}{6{,}0} \cdot 10^{30-24} = 0{,}33 \cdot 10^{6} = 3{,}3 \cdot 10^{5}$

Las unidades se van (kg/kg): el resultado es un número de veces. La masa del Sol es unas 330 000 veces la de la Tierra.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula sin calculadora y da el resultado en notación científica: a) $(2 \cdot 10^{5}) \cdot (3 \cdot 10^{4})$ b) $\dfrac{8 \cdot 10^{6}}{2 \cdot 10^{-3}}$ c) $(5 \cdot 10^{-3}) \cdot (4 \cdot 10^{-2})$ d) $(3 \cdot 10^{4})^{2}$

Ver solución
a) $6 \cdot 10^{9}$ b) $4 \cdot 10^{9}$ c) $2 \cdot 10^{-4}$ d) $9 \cdot 10^{8}$
a) $2 \cdot 3 = 6$ ; $10^{5+4} = 10^{9}$ → $6 \cdot 10^{9}$ . b) $8 : 2 = 4$ ; $10^{6-(-3)} = 10^{9}$ → $4 \cdot 10^{9}$ . c) $5 \cdot 4 = 20$ ; $10^{-3+(-2)} = 10^{-5}$ → $20 \cdot 10^{-5} = 2 \cdot 10^{-4}$ . d) $3^{2} = 9$ ; $10^{4 \cdot 2} = 10^{8}$ → $9 \cdot 10^{8}$ .
2. Media
La distancia de la Tierra a la Luna es de unos $3{,}84 \cdot 10^{8}$ m. ¿Cuánto tarda en llegarnos la luz reflejada por la Luna? (La luz viaja a $3{,}00 \cdot 10^{8}$ m/s.)

Ver solución
1,28 s
$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{3{,}84 \cdot 10^{8}\ \text{m}}{3{,}00 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}} = 1{,}28 \cdot 10^{0}\ \text{s} = 1{,}28\ \text{s}$ (recuerda que $10^{0} = 1$ ).
3. Media
Un folio tiene un grosor de unos $1 \cdot 10^{-4}$ m (0,1 mm). ¿Cuántos folios habría que apilar para alcanzar la altura del pico de Peñalara, el más alto de la Comunidad de Madrid, que mide unos 2428 m? Usa la calculadora.

Ver solución
Unos $2{,}4 \cdot 10^{7}$ folios (24 millones).
Número de folios $= \dfrac{\text{altura}}{\text{grosor de un folio}} = \dfrac{2{,}428 \cdot 10^{3}\ \text{m}}{1 \cdot 10^{-4}\ \text{m}} = 2{,}428 \cdot 10^{3-(-4)} = 2{,}428 \cdot 10^{7}$

Las unidades se van (m/m). Son unos $2{,}4 \cdot 10^{7}$ folios: unos 24 millones. Con calculadora: 2428 ÷ 1 ×10ˣ (−) 4 =.
4. Difícil
Un grano de sal es casi un cubo de $3 \cdot 10^{-4}$ m de arista. a) Calcula su volumen en m³. b) ¿Cuántos granos de sal caben, aproximadamente, en 1 cm³ ( $1 \cdot 10^{-6}$ m³)?

Ver solución
a) $2{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{m}^3$ b) Unos $3{,}7 \cdot 10^{4}$ granos (unos 37 000).
a) $V = a^{3} = (3 \cdot 10^{-4}\ \text{m})^{3} = 3^{3} \cdot 10^{-12}\ \text{m}^3 = 27 \cdot 10^{-12}\ \text{m}^3 = 2{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{m}^3$ .

b) Número de granos $= \dfrac{1 \cdot 10^{-6}\ \text{m}^3}{2{,}7 \cdot 10^{-11}\ \text{m}^3} = 0{,}37 \cdot 10^{5} = 3{,}7 \cdot 10^{4}$ , es decir, unos 37 000 granos (en la realidad algo menos, porque entre los granos quedan huecos).

Para practicar más

1. Fácil
Calcula sin calculadora y da el resultado en notación científica: a) $(4 \cdot 10^{3}) \cdot (2{,}5 \cdot 10^{5})$ b) $\dfrac{9 \cdot 10^{-4}}{3 \cdot 10^{2}}$ c) $(2 \cdot 10^{-3})^{3}$

Ver solución
a) $1 \cdot 10^{9}$ b) $3 \cdot 10^{-6}$ c) $8 \cdot 10^{-9}$
a) $4 \cdot 2{,}5 = 10$ ; $10^{3+5} = 10^{8}$ → $10 \cdot 10^{8} = 1 \cdot 10^{9}$ . b) $9 : 3 = 3$ ; $10^{-4-2} = 10^{-6}$ → $3 \cdot 10^{-6}$ . c) $2^{3} = 8$ ; $10^{-3 \cdot 3} = 10^{-9}$ → $8 \cdot 10^{-9}$ .
2. Media
La sonda Voyager 1 se encuentra a unos $2{,}4 \cdot 10^{13}$ m de la Tierra. Sus señales de radio viajan a la velocidad de la luz, $3{,}0 \cdot 10^{8}$ m/s. ¿Cuánto tarda una señal en llegar desde la sonda? Da el resultado en segundos y en horas.

Ver solución
$8 \cdot 10^{4}$ s ≈ 22 h
$t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{2{,}4 \cdot 10^{13}\ \text{m}}{3{,}0 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}} = 0{,}8 \cdot 10^{5}\ \text{s} = 8 \cdot 10^{4}\ \text{s}$

En horas: $80\,000 : 3600 \approx 22$ h. Un mensaje tarda casi un día entero en llegar.
3. Media
Una bacteria E. coli mide unos $2 \cdot 10^{-6}$ m de largo. ¿Cuántas habría que poner en fila para formar una línea de 1 cm?

Ver solución
5000 bacterias
$1\ \text{cm} = 10^{-2}\ \text{m}$ . Número $= \dfrac{1 \cdot 10^{-2}\ \text{m}}{2 \cdot 10^{-6}\ \text{m}} = 0{,}5 \cdot 10^{4} = 5 \cdot 10^{3} = 5000$ bacterias.
4. Difícil
En 18 g de agua hay unos $6{,}02 \cdot 10^{23}$ moléculas de agua. Calcula con la calculadora la masa de una molécula de agua en gramos y escríbela en notación científica con tres cifras.

Ver solución
$2{,}99 \cdot 10^{-23}$ g
Masa de una molécula $= \dfrac{18\ \text{g}}{6{,}02 \cdot 10^{23}} = 2{,}99 \cdot 10^{-23}\ \text{g}$

Con calculadora: 18 ÷ 6.02 ×10ˣ 23 = → 2.990033…×10⁻²³; con tres cifras, $2{,}99 \cdot 10^{-23}$ g. Tiene sentido que sea un número tan pequeño: hay muchísimas moléculas en solo 18 g.

Operar en notación científica con la calculadora