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Física y Química 3.º ESO · La medida: sensibilidad y cifras significativas

Ampliación: cifras significativas en los cálculos

Objetivo: Al terminar, sabrás dar el resultado de una multiplicación, una división, una suma o una resta de medidas con las cifras significativas o los decimales que permiten los datos.

Explicación

El resultado no puede ser más fiable que los datos

Cuando calculamos con medidas, la calculadora da muchas cifras, pero el resultado no puede ser más detallado que el dato menos detallado. Hay dos reglas sencillas.

1. Multiplicar y dividir: se mira el número de cifras significativas

El resultado lleva tantas cifras significativas como el dato que menos tenga.

$\frac{52{,}47\ \text{g}}{19{,}5\ \text{cm}^3} = 2{,}690\,769\ldots \;\rightarrow\; 2{,}69\ \text{g/cm}^3$ (52,47 tiene 4 cifras y 19,5 tiene 3: el resultado, 3.)

2. Sumar y restar: se mira el número de decimales

El resultado lleva tantos decimales como el dato que menos decimales tenga (con todos los datos en la misma unidad).

$105{,}2\ \text{g} + 50{,}37\ \text{g} = 155{,}57\ \text{g} \;\rightarrow\; 155{,}6\ \text{g}$ (105,2 tiene 1 decimal y 50,37 tiene 2: el resultado, 1 decimal.)

Dos avisos

Los números exactos (los que se cuentan, como «10 oscilaciones» o «5 canicas», y los de las definiciones, como 1 h = 3600 s) no limitan las cifras del resultado.
Redondea solo al final. Si redondeas en los pasos intermedios, el resultado puede cambiar.

Puntos clave

Multiplicación y división: tantas cifras significativas como el dato que menos tenga.
Suma y resta: tantos decimales como el dato que menos decimales tenga.
Los números exactos (contados o de definiciones) no limitan el resultado.
Se redondea solo el resultado final.

Errores frecuentes

ErrorUsar en una suma la regla de las cifras significativas: en 105,2 + 0,37, como 0,37 tiene 2 cifras, dar el resultado con 2 cifras ( $1{,}1 \cdot 10^{2}$ ).
Cómo corregirloEn sumas y restas se cuentan decimales, no cifras: 105,2 + 0,37 = 105,57 → 105,6 (1 decimal).
ErrorCopiar todas las cifras de la pantalla: «la densidad es 2,690769231 g/cm³».
Cómo corregirloMira cuántas cifras significativas tiene el dato más pobre y redondea a esas.
ErrorTratar un número contado como si fuera una medida de 1 o 2 cifras.
Cómo corregirlo«10 oscilaciones» es exactamente 10: no limita. El tiempo medido es el que manda.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La densidad de una piedra laboratorio (división)
Una piedra tiene una masa de 52,47 g (balanza de 0,01 g) y un volumen de 19,5 cm³ (medido con una probeta de 0,5 mL). Calcula su densidad con las cifras significativas adecuadas.

Resolución
$d = \frac{m}{V} = \frac{52{,}47\ \text{g}}{19{,}5\ \text{cm}^3} = 2{,}690\,769\ldots\ \text{g/cm}^3$

Cifras significativas de los datos: 52,47 → 4; 19,5 → 3. En una división manda el que menos tiene: 3 cifras.

$d = 2{,}69\ \text{g/cm}^3$
Ejemplo 2. Una disolución en un vaso laboratorio (suma y resta)
Un vaso vacío pesa 105,2 g en una balanza de 0,1 g. Le añadimos 50,37 g de agua medidos en otra balanza de 0,01 g. a) ¿Cuál es la masa total? b) Después se evapora parte del agua y el vaso con el agua que queda pesa 137,55 g en la balanza de 0,01 g. ¿Cuánta agua se ha evaporado?

Resolución
a) $105{,}2 + 50{,}37 = 155{,}57$ g. El dato con menos decimales (105,2) tiene 1 → 155,6 g.

b) Masa evaporada $= 155{,}57 - 137{,}55 = 18{,}02$ g (usamos el valor sin redondear de a). Pero la masa del vaso solo se conoce hasta las décimas, así que el resultado lleva 1 decimal: 18,0 g.

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Calcula el área de una etiqueta rectangular que mide 3,2 cm × 1,45 cm y exprésala con las cifras significativas adecuadas.

Ver solución
4,6 cm²
$A = 3{,}2 \cdot 1{,}45 = 4{,}64\ \text{cm}^2$ . Datos: 3,2 → 2 cifras; 1,45 → 3 cifras. En un producto manda el que menos tiene: 2 cifras → 4,6 cm².
2. Media
Una atleta recorre 100,0 m en 12,47 s. Calcula su rapidez media con las cifras significativas adecuadas.

Ver solución
8,019 m/s
$v = \dfrac{d}{t} = \dfrac{100{,}0\ \text{m}}{12{,}47\ \text{s}} = 8{,}019\,246\ldots\ \text{m/s}$ . Los dos datos tienen 4 cifras significativas → 8,019 m/s.
3. Media
Se ponen en fila tres objetos medidos con instrumentos distintos: 12,5 cm, 3,27 cm y 0,148 cm. ¿Cuál es la longitud total?

Ver solución
15,9 cm
$12{,}5 + 3{,}27 + 0{,}148 = 15{,}918$ cm. Es una suma: manda el dato con menos decimales (12,5, con 1) → 15,9 cm.

Para practicar más

1. Fácil
Una bolsa con 6,0 g de sal ocupa 2,85 cm³. Calcula la densidad aparente de la sal con las cifras significativas adecuadas.

Ver solución
2,1 g/cm³
$d = \dfrac{6{,}0}{2{,}85} = 2{,}105\ldots\ \text{g/cm}^3$ . 6,0 tiene 2 cifras y 2,85 tiene 3 → 2 cifras: 2,1 g/cm³.
2. Media
Una baldosa cuadrada mide 33,3 cm de lado. La calculadora da un área de 1108,89 cm². Exprésala con las cifras significativas correctas y explica por qué.

Ver solución
$1{,}11 \cdot 10^{3}$ cm²
El dato (33,3 cm) tiene 3 cifras significativas. En un producto, el resultado lleva 3 cifras: $1108{,}89 \rightarrow 1110$ (la cifra siguiente, 8, hace subir el 0), que se escribe mejor $1{,}11 \cdot 10^{3}$ cm² para que se vea que tiene 3 cifras.
3. Difícil
Para medir la masa de un clip, pesas 50 clips iguales juntos y la balanza marca 23,5 g. a) Calcula la masa de un clip. b) ¿Cuántas cifras significativas tiene el resultado? ¿Limita el número 50?

Ver solución
a) 0,470 g b) 3 cifras; el 50 no limita porque es un número exacto (contado).
a) $m = \dfrac{23{,}5\ \text{g}}{50} = 0{,}47\ \text{g}$ . b) El 50 es un número contado (exacto): no limita. Manda 23,5 g, que tiene 3 cifras → 0,470 g (3 cifras: el cero final dice que conocemos las milésimas). Por eso se pesan muchos clips juntos: se obtiene la masa de uno con más detalle que pesando uno solo.