Ejemplo con un alumno inventado: tu actividad se guarda solo en este navegador. Salir del ejemplo

← U1 · El trabajo científico: magnitudes, unidades y medida

Física y Química 3.º ESO · Relaciones entre variables: la proporcionalidad

Relaciones entre variables: la proporcionalidad directa

Objetivo: Al terminar, sabrás reconocer en una tabla o en una gráfica si dos magnitudes son directamente proporcionales, calcular la constante de proporcionalidad con sus unidades y usarla para hacer predicciones.

Explicación

Variables que cambian juntas

En un experimento cambiamos una magnitud (la variable independiente) y medimos cómo cambia otra (la variable dependiente). Al representarlas, la independiente va en el eje horizontal ( $x$ ) y la dependiente en el vertical ( $y$ ).

Muchas veces queremos saber qué relación hay entre las dos. La más sencilla es la proporcionalidad directa.

Proporcionalidad directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando, al multiplicar una por 2, por 3…, la otra también queda multiplicada por 2, por 3… Dicho de otra forma: su cociente es constante.

$k = \frac{y}{x} \qquad \Longrightarrow \qquad y = k \cdot x$

$k$ es la constante de proporcionalidad.

Cómo reconocerla	Qué tiene que pasar
En una tabla	Al dividir cada valor de $y$ entre su $x$ sale siempre lo mismo ( $k$ ).
En una gráfica	Los puntos forman una recta que pasa por el origen $(0, 0)$ .
Con una expresión	Es de la forma $y = k \cdot x$ .

En la gráfica, $k$ es la pendiente de la recta: cuanto más inclinada, mayor es $k$ .

La constante tiene unidades

La constante es un cociente de magnitudes, así que lleva las unidades de $y$ divididas entre las de $x$ , y casi siempre tiene un significado físico:

masa / volumen → $k$ en g/cm³: es la densidad de la sustancia;
distancia / tiempo → $k$ en m/s: es la velocidad;
volumen de agua / tiempo → $k$ en L/s: es el caudal de un grifo.

Con datos de laboratorio

Las medidas reales tienen pequeños errores, así que los cocientes no salen exactamente iguales. Si son casi iguales, consideramos que la relación es proporcional y tomamos como $k$ la media de los cocientes.

En la gráfica los puntos no quedan perfectamente alineados. No se unen con una línea quebrada: se traza con regla una recta de ajuste que pase por el origen y lo más cerca posible de todos los puntos, dejando más o menos los mismos por encima que por debajo.

Ojo: no toda recta es proporcional

Si la gráfica es una recta que no pasa por el origen (por ejemplo, $y = 10 + 2x$ ), la relación es lineal pero no es proporcional: el cociente $y/x$ no es constante. Le pasa, por ejemplo, a la longitud total de un muelle cuando colgamos pesas: ya mide algo antes de colgar nada. Lo que sí es proporcional a la masa colgada es el alargamiento.

Predecir con la constante

Con $y = k \cdot x$ podemos calcular valores que no hemos medido: multiplicando ( $y = k \cdot x$ ) o dividiendo ( $x = y / k$ ). Las predicciones son fiables dentro del intervalo medido o cerca de él; muy lejos (extrapolar mucho) pueden fallar.

Puntos clave

Directamente proporcionales: el cociente $y/x$ es constante, $y = k \cdot x$ .
En una tabla: divide cada $y$ entre su $x$ ; si sale siempre lo mismo, son proporcionales.
En una gráfica: recta que pasa por el origen; la pendiente es $k$ .
La constante lleva unidades (de $y$ entre las de $x$ ) y suele tener significado físico: densidad, velocidad, caudal…
Con datos reales, $k$ es la media de los cocientes y se dibuja una recta de ajuste, no una línea quebrada.
Una recta que no pasa por el origen es lineal pero no proporcional.

Errores frecuentes

ErrorDecir que dos magnitudes son proporcionales solo porque «cuando una sube, la otra también».
Cómo corregirloEso no basta: calcula los cocientes $y/x$ . Solo si son iguales (o casi, con datos reales) hay proporcionalidad directa.
ErrorPensar que cualquier gráfica recta indica proporcionalidad.
Cómo corregirloMira si la recta pasa por el origen. Si corta el eje vertical por encima o por debajo de 0, no es proporcional.
ErrorUnir los puntos experimentales punto a punto con una línea quebrada.
Cómo corregirloTraza con regla una sola recta que pase por el origen y cerca de todos los puntos.
ErrorDar la constante sin unidades (por ejemplo, «k = 0,92»).
Cómo corregirloEscribe siempre las unidades de $y$ entre las de $x$ : $k = 0{,}92$ g/cm³.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. La masa de un aceite numérico (tabla)
En el laboratorio medimos la masa de distintos volúmenes de aceite de oliva:

$V$ (cm³) 10 20 30 40 50

$m$ (g) 9,2 18,4 27,6 36,8 46,0

a) ¿Son la masa y el volumen directamente proporcionales? b) Calcula la constante de proporcionalidad. ¿Qué magnitud es? c) ¿Qué masa tiene el aceite de una botella de 1 L? d) ¿Qué volumen ocupan 23 g de aceite?

Resolución
a) Dividimos cada masa entre su volumen: $\frac{9{,}2}{10} = \frac{18{,}4}{20} = \frac{27{,}6}{30} = \frac{36{,}8}{40} = \frac{46{,}0}{50} = 0{,}92\ \text{g/cm}^3$ Todos los cocientes son iguales: sí son directamente proporcionales.

b) $k = 0{,}92$ g/cm³. Es una masa entre un volumen: es la densidad del aceite. La relación es $m = 0{,}92 \cdot V$ .

c) $1\ \text{L} = 1000\ \text{cm}^3$ : $m = 0{,}92 \cdot 1000 = 920\ \text{g}$ .

d) Despejamos: $V = \dfrac{m}{k} = \dfrac{23}{0{,}92} = 25\ \text{cm}^3$ .
Ejemplo 2. Dos líquidos en una gráfica gráfico
La gráfica muestra la masa frente al volumen de dos líquidos: agua y alcohol. a) ¿Son proporcionales la masa y el volumen en los dos casos? ¿Cómo lo sabes? b) Calcula la constante de cada uno. c) ¿Cuál es más denso? ¿Cómo se ve en la gráfica? d) ¿Qué masa tienen 30 cm³ de cada líquido?

Resolución
a) Sí: las dos gráficas son rectas que pasan por el origen.

b) Leemos un punto de cada recta, lo más lejos posible del origen:
- Agua: pasa por $(50, 50)$ → $k = \dfrac{50\ \text{g}}{50\ \text{cm}^3} = 1\ \text{g/cm}^3$ .
- Alcohol: pasa por $(50, 40)$ → $k = \dfrac{40\ \text{g}}{50\ \text{cm}^3} = 0{,}8\ \text{g/cm}^3$ .
c) El agua es más densa: su recta es más inclinada (más pendiente), porque el mismo volumen tiene más masa.

d) Agua: $m = 1 \cdot 30 = 30$ g. Alcohol: $m = 0{,}8 \cdot 30 = 24$ g. (También se pueden leer en la gráfica subiendo desde $V = 30$ cm³ hasta cada recta.)
Ejemplo 3. Un coche de juguete cronometrado experimental (datos reales)
Un grupo de 3.º marca en el suelo del laboratorio la posición de un coche de juguete con pilas cada segundo y obtiene:

$t$ (s) 0 1 2 3 4 5

$d$ (cm) 0 24 51 74 99 126

a) ¿Es la distancia proporcional al tiempo? b) Calcula la constante. ¿Qué significa? c) ¿Cómo se dibuja la gráfica? d) ¿Qué distancia habrá recorrido a los 8 s si sigue igual?

Resolución
a) Calculamos $d/t$ (sin la columna $t = 0$ , porque no se puede dividir entre 0):

$t$ (s) 1 2 3 4 5

$d/t$ (cm/s) 24 25,5 24,7 24,8 25,2

No salen exactamente iguales, pero son casi iguales (las diferencias se deben a errores de medida al marcar y cronometrar). Consideramos que sí son proporcionales.

b) Tomamos la media: $k = \dfrac{24 + 25{,}5 + 24{,}7 + 24{,}8 + 25{,}2}{5} \approx 24{,}8\ \text{cm/s} \approx 25\ \text{cm/s}$ . Es la velocidad del coche: recorre unos 25 cm cada segundo.

c) Se marcan los puntos y se traza con regla una recta que pasa por el origen y cerca de todos ellos (en la gráfica, la recta $d = 25 \cdot t$ ). No se unen los puntos uno a uno.

d) $d = k \cdot t \approx 25 \cdot 8 = 200\ \text{cm} = 2\ \text{m}$ (aproximadamente).

$V$ (cm³)	10	20	30	40	50
$m$ (g)	9,2	18,4	27,6	36,8	46,0

$t$ (s)	0	1	2	3	4	5
$d$ (cm)	0	24	51	74	99	126

$t$ (s)	1	2	3	4	5
$d/t$ (cm/s)	24	25,5	24,7	24,8	25,2

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Indica en cada tabla si las magnitudes son directamente proporcionales. Si lo son, da la constante con sus unidades.

a) Botellas de agua y volumen total:

Botellas 1 2 4 6

$V$ (L) 1,5 3 6 9

b) Agua que se calienta en un vaso:

$t$ (min) 0 1 2 3

$T$ (°C) 20 26 32 38

c) Trozos de cobre:

$V$ (cm³) 2 5 10

$m$ (g) 17,8 44,5 89

Ver solución
a) Sí, k = 1,5 L/botella. b) No (T/t no es constante; a t = 0 ya hay 20 °C). c) Sí, k = 8,9 g/cm³.
a) $1{,}5/1 = 3/2 = 6/4 = 9/6 = 1{,}5$ → proporcionales, $k = 1{,}5$ L por botella. b) $26/1 = 26$ ; $32/2 = 16$ ; $38/3 \approx 12{,}7$ → no son proporcionales. Además, en $t = 0$ la temperatura no es 0: la gráfica sería una recta que no pasa por el origen. (Lo que sí es proporcional al tiempo es la subida de temperatura: 6 °C cada minuto.) c) $17{,}8/2 = 44{,}5/5 = 89/10 = 8{,}9$ → proporcionales, $k = 8{,}9$ g/cm³ (la densidad del cobre).
2. Fácil
Medimos el agua que sale de un grifo:

$t$ (s) 5 10 15 20

$V$ (L) 1 2 3 4

a) ¿Son proporcionales? b) Calcula la constante con sus unidades. ¿Qué significa? c) ¿Cuánto tarda en llenar un cubo de 12 L? d) ¿Cuánta agua sale en 1 min?

Ver solución
a) Sí. b) k = 0,2 L/s: el grifo echa 0,2 L cada segundo (caudal). c) 60 s. d) 12 L.
a) $1/5 = 2/10 = 3/15 = 4/20 = 0{,}2$ → sí. b) $k = 0{,}2$ L/s: cada segundo salen 0,2 L (es el caudal del grifo). $V = 0{,}2 \cdot t$ . c) $t = \dfrac{V}{k} = \dfrac{12}{0{,}2} = 60$ s. d) $V = 0{,}2 \cdot 60 = 12$ L.
3. Media
Colgamos pesas de un muelle y medimos su longitud total:

$m$ (g) 0 50 100 150 200

$L$ (cm) 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0

a) ¿Es la longitud del muelle proporcional a la masa colgada? b) Calcula el alargamiento ( $L - 10{,}0$ cm) para cada masa. ¿Es el alargamiento proporcional a la masa? Si lo es, da la constante. c) ¿Qué longitud tendrá el muelle con 120 g?

Ver solución
a) No. b) Alargamientos 0; 2,5; 5,0; 7,5; 10,0 cm: sí, k = 0,05 cm/g. c) 16 cm.
a) $12{,}5/50 = 0{,}25$ ; $15/100 = 0{,}15$ … los cocientes no son iguales y con $m = 0$ el muelle ya mide 10 cm → no es proporcional (la gráfica no pasa por el origen). b) Alargamientos: 0; 2,5; 5,0; 7,5; 10,0 cm. Cocientes: $2{,}5/50 = 5/100 = 7{,}5/150 = 10/200 = 0{,}05$ cm/g → sí es proporcional, $k = 0{,}05$ cm/g (0,5 cm cada 10 g). c) Alargamiento $= 0{,}05 \cdot 120 = 6$ cm → $L = 10 + 6 = 16$ cm.
4. Media
Un grupo mide la masa y el volumen de cinco trozos de plastilina:

$V$ (cm³) 4 7 10 15 21

$m$ (g) 6,3 10,4 15,2 22,3 31,7

a) Representa los puntos en los ejes y traza la recta de ajuste. b) Calcula la constante como media de los cocientes. c) Predice la masa de un trozo de 30 cm³.

Ver solución
a) Puntos casi alineados con el origen. b) k ≈ 1,5 g/cm³. c) ≈ 45 g.
a) Los puntos quedan casi en línea recta con el origen: se traza una sola recta desde $(0, 0)$ que pase cerca de todos. b) Cocientes: 1,58; 1,49; 1,52; 1,49; 1,51 g/cm³. Media: $k \approx 1{,}52 \approx 1{,}5$ g/cm³ (densidad de la plastilina). c) $m = k \cdot V \approx 1{,}5 \cdot 30 = 45$ g (aproximadamente; está algo fuera del intervalo medido).
5. Difícil
La gráfica muestra tres relaciones entre dos magnitudes $x$ e $y$ . Las tres pasan por el punto (10, 20). a) ¿Cuál representa una proporcionalidad directa? Explica por qué las otras no. b) Escribe su expresión $y = k \cdot x$ .

Ver solución
a) Solo A: es recta y pasa por el origen. B es recta pero no pasa por el origen; C pasa por el origen pero es curva. b) y = 2x.
a) A es una recta que pasa por el origen → proporcionalidad directa. B es una recta, pero en $x = 0$ vale $y = 10$ : no pasa por el origen → no es proporcional (por ejemplo, $y/x$ vale $12/2 = 6$ en $x = 2$ y $20/10 = 2$ en $x = 10$ ). C pasa por el origen, pero es una curva: $y/x$ cambia ( $0{,}8/2 = 0{,}4$ ; $20/10 = 2$ ) → no es proporcional. b) En A: $k = \dfrac{20}{10} = 2$ → $y = 2x$ .

Botellas	1	2	4	6
$V$ (L)	1,5	3	6	9

$t$ (min)	0	1	2	3
$T$ (°C)	20	26	32	38

$V$ (cm³)	2	5	10
$m$ (g)	17,8	44,5	89

$t$ (s)	5	10	15	20
$V$ (L)	1	2	3	4

$m$ (g)	0	50	100	150	200
$L$ (cm)	10,0	12,5	15,0	17,5	20,0

$V$ (cm³)	4	7	10	15	21
$m$ (g)	6,3	10,4	15,2	22,3	31,7

Para practicar más

1. Fácil
Marta va andando al instituto a ritmo constante:

$t$ (min) 2 4 6 8

$d$ (m) 160 320 480 640

a) ¿Son proporcionales? Da la constante con unidades. b) ¿Qué distancia recorre en 15 min? c) ¿Cuánto tarda en recorrer 2 km?

Ver solución
a) Sí, k = 80 m/min. b) 1200 m. c) 25 min.
a) $160/2 = 320/4 = 480/6 = 640/8 = 80$ → sí, $k = 80$ m/min. b) $d = 80 \cdot 15 = 1200$ m. c) $t = \dfrac{2000}{80} = 25$ min.
2. Media
La gráfica muestra la distancia recorrida por un tren de Cercanías que circula a velocidad constante. a) ¿Son proporcionales la distancia y el tiempo? b) Calcula la constante en m/min. ¿Qué magnitud es? c) Exprésala en m/s y en km/h.

Ver solución
a) Sí (recta por el origen). b) 1500 m/min: es la velocidad. c) 25 m/s = 90 km/h.
a) Sí: es una recta que pasa por el origen. b) La recta pasa por $(4, 6000)$ : $k = \dfrac{6000\ \text{m}}{4\ \text{min}} = 1500$ m/min. Es la velocidad del tren. c) $1500\ \text{m/min} = \dfrac{1500\ \text{m}}{60\ \text{s}} = 25$ m/s; $25 \cdot 3{,}6 = 90$ km/h.
3. Media
En casa, pesa en una báscula de cocina distintos montones de monedas de 1 céntimo (o usa estos datos):

$n$ (monedas) 5 10 15 20 25

$m$ (g) 11,4 23,1 34,4 46,1 57,6

a) Representa los datos y traza la recta de ajuste. b) Calcula la masa de una moneda (media de los cocientes). c) ¿Cuántas monedas hay en una bolsa con 230 g de monedas de 1 céntimo?

Ver solución
a) Recta por el origen. b) ≈ 2,30 g por moneda. c) ≈ 100 monedas.
a) Los puntos están casi alineados con el origen; se traza una recta que pase por $(0, 0)$ y cerca de todos. b) Cocientes: 2,28; 2,31; 2,29; 2,31; 2,30 g/moneda. Media ≈ 2,30 g por moneda. c) $n = \dfrac{230}{2{,}30} = 100$ monedas (aproximadamente).
4. Media
Una vela se consume poco a poco:

$t$ (min) 0 10 20 30

$L$ (cm) 15 13 11 9

a) ¿Es la longitud de la vela proporcional al tiempo? b) Calcula lo que se ha consumido en cada instante. ¿Es eso proporcional al tiempo? Da la constante. c) ¿Cuánto tiempo dura la vela entera?

Ver solución
a) No. b) 0, 2, 4, 6 cm consumidos: sí, k = 0,2 cm/min. c) 75 min.
a) No: la longitud disminuye y en $t = 0$ no es 0; el cociente $L/t$ no es constante. b) Consumido: $15 - L$ = 0, 2, 4, 6 cm. $2/10 = 4/20 = 6/30 = 0{,}2$ → sí, $k = 0{,}2$ cm/min. c) Se consume entera cuando se gastan 15 cm: $t = \dfrac{15}{0{,}2} = 75$ min.
5. Difícil
Di si cada frase es verdadera o falsa y justifícalo: a) Si dos magnitudes son directamente proporcionales, su gráfica es una recta. b) Si la gráfica de dos magnitudes es una recta, son directamente proporcionales. c) Si al aumentar una magnitud aumenta la otra, son directamente proporcionales. d) La constante de proporcionalidad no tiene unidades.

Ver solución
a) V. b) F. c) F. d) F.
a) Verdadera: es una recta que además pasa por el origen. b) Falsa: tiene que pasar por el origen (la longitud total de un muelle o la temperatura del agua al calentarla dan rectas que no pasan por el origen). c) Falsa: además, el cociente tiene que ser constante. La temperatura del agua sube con el tiempo y no es proporcional. d) Falsa: lleva las unidades de $y$ entre las de $x$ (g/cm³, m/s, L/s…).