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← U1 · El trabajo científico: magnitudes, unidades y medida

Física y Química 3.º ESO · Relaciones entre variables: la proporcionalidad

Ampliación: proporcionalidad inversa y cuadrática

Objetivo: Al terminar, sabrás identificar a partir de una tabla o una gráfica si la relación entre dos magnitudes es directa, inversa o cuadrática, escribir la ley que las relaciona y usarla para predecir valores.

Explicación

Tres relaciones frecuentes en ciencia

Ya sabes reconocer la proporcionalidad directa. En los experimentos aparecen también otras dos relaciones sencillas:

Relación	Qué es constante	Ley	Gráfica
Directa	el cociente $y/x$	$y = k \cdot x$	recta que pasa por el origen
Inversa	el producto $x \cdot y$	$y = \dfrac{k}{x}$	curva que baja (hipérbola): cuando $x$ crece, $y$ se acerca a 0
Cuadrática	el cociente $y/x^2$	$y = k \cdot x^2$	curva que sube cada vez más deprisa (parábola) desde el origen

Cómo reconocerlas con una tabla

Calcula para cada pareja de datos $y/x$ , $x \cdot y$ e $y/x^2$ .
La que salga constante (o casi constante, con datos reales) te dice el tipo de relación, y su valor es $k$ , con sus unidades.

Pistas rápidas:

Inversa: si $x$ se duplica, $y$ se reduce a la mitad; si $x$ se triplica, $y$ pasa a la tercera parte.
Cuadrática: si $x$ se duplica, $y$ se multiplica por 4; si $x$ se triplica, $y$ se multiplica por 9.

Ejemplos en la naturaleza

Inversa: la presión y el volumen de un gas a temperatura constante ( $P \cdot V = \text{constante}$ , ley de Boyle); el tiempo y la velocidad para recorrer una distancia fija ( $v \cdot t = d$ ).
Cuadrática: la distancia que cae un objeto que se suelta y el tiempo ( $d \approx 4{,}9 \cdot t^2$ , con $d$ en m y $t$ en s); el área de un cuadrado y su lado.

Una vez escrita la ley, se usa igual que en la directa: se sustituye el dato y se calcula el otro.

Puntos clave

Directa: $y/x$ constante; inversa: $x \cdot y$ constante; cuadrática: $y/x^2$ constante.
Inversa: al duplicar $x$ , $y$ se reduce a la mitad. Cuadrática: al duplicar $x$ , $y$ se multiplica por 4.
La gráfica de la inversa es una curva decreciente (hipérbola); la de la cuadrática, una curva creciente desde el origen (parábola).
La constante $k$ lleva unidades y permite escribir la ley y hacer predicciones.

Errores frecuentes

ErrorPensar que si al aumentar $x$ disminuye $y$ , la relación ya es inversa.
Cómo corregirloComprueba que el producto $x \cdot y$ es constante. Una recta que baja, como la longitud de una vela que se consume, no es una relación inversa.
ErrorCreer que si $x$ se duplica en una relación cuadrática, $y$ también se duplica.
Cómo corregirloSe multiplica por $2^2 = 4$ . Una pizza de doble diámetro tiene cuatro veces más superficie.
ErrorConfundir una curva que pasa por el origen con una proporcionalidad directa.
Cómo corregirloLa directa es siempre una recta. Si la gráfica se curva, prueba con $y/x^2$ .

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. El aire de una jeringa experimental (tabla)
Tapamos la punta de una jeringa con aire y la apretamos poco a poco, sin que cambie la temperatura. Un manómetro mide la presión:

$P$ (atm) 1 2 4 5

$V$ (mL) 60 30 15 12

a) ¿Qué relación hay entre la presión y el volumen? b) Escribe la ley. c) ¿Qué volumen ocupará el aire a 3 atm?

Resolución
a) Probamos los cálculos:
- $V/P$ : $60$ , $15$ , $3{,}75$ , $2{,}4$ → no es constante: no es directa.
- $P \cdot V$ : $1 \cdot 60 = 2 \cdot 30 = 4 \cdot 15 = 5 \cdot 12 = 60$ → constante.
La relación es inversa: al duplicar la presión, el volumen se reduce a la mitad.

b) $P \cdot V = 60\ \text{atm·mL}$ , o sea, $V = \dfrac{60}{P}$ .

c) $V = \dfrac{60}{3} = 20\ \text{mL}$ .
Ejemplo 2. Una bola que cae gráfico (datos de vídeo)
Grabamos con el móvil a cámara lenta la caída de una bola de acero y medimos en el vídeo la distancia que ha caído:

$t$ (s) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

$d$ (m) 0,05 0,20 0,44 0,78 1,23

a) La gráfica es una curva que sale del origen. ¿Qué relación hay? b) Escribe la ley. c) ¿Cuánto habrá caído a los 0,6 s?

Resolución
a) $d/t$ : 0,5; 1,0; 1,47; 1,95; 2,46 → no es constante (y además la gráfica es curva): no es directa. $d/t^2$ : $\dfrac{0{,}05}{0{,}01} = 5{,}0$ ; $\dfrac{0{,}20}{0{,}04} = 5{,}0$ ; $\dfrac{0{,}44}{0{,}09} \approx 4{,}9$ ; $\dfrac{0{,}78}{0{,}16} \approx 4{,}9$ ; $\dfrac{1{,}23}{0{,}25} \approx 4{,}9$ → casi constante. La relación es cuadrática.

b) Media: $k \approx 4{,}9\ \text{m/s}^2$ → $d = 4{,}9 \cdot t^2$ .

c) $d = 4{,}9 \cdot 0{,}6^2 = 4{,}9 \cdot 0{,}36 \approx 1{,}76\ \text{m}$ .

Fíjate: de 0,2 s a 0,4 s (tiempo doble) la distancia pasa de 0,20 m a 0,78 m, unas cuatro veces más.

$P$ (atm)	1	2	4	5
$V$ (mL)	60	30	15	12

$t$ (s)	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
$d$ (m)	0,05	0,20	0,44	0,78	1,23

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
Identifica el tipo de relación (directa, inversa o cuadrática) y da la constante con unidades:

a) Tiempo para hacer 120 km según la velocidad:

$v$ (km/h) 40 60 80 120

$t$ (h) 3 2 1,5 1

b) Área de un cuadrado según su lado:

$l$ (cm) 1 2 3 4

$A$ (cm²) 1 4 9 16

c) Velocidad de una piedra que cae:

$t$ (s) 1 2 3 4

$v$ (m/s) 9,8 19,6 29,4 39,2

Ver solución
a) Inversa, k = 120 km. b) Cuadrática, k = 1. c) Directa, k = 9,8 m/s².
a) $v \cdot t$ : $40 \cdot 3 = 60 \cdot 2 = 80 \cdot 1{,}5 = 120 \cdot 1 = 120$ → inversa, $k = 120$ km (la distancia). b) $A/l^2$ : $1/1 = 4/4 = 9/9 = 16/16 = 1$ → cuadrática, $k = 1$ (cm² entre cm², sin unidades), $A = l^2$ . c) $v/t$ : $9{,}8/1 = 19{,}6/2 = 29{,}4/3 = 39{,}2/4 = 9{,}8$ → directa, $k = 9{,}8$ m/s² (m/s cada segundo).
2. Media
Al comprimir el aire de una jeringa sin que cambie la temperatura se obtiene:

$V$ (cm³) 50 25 20 10

$P$ (kPa) 100 200 250 500

a) Comprueba que la relación es inversa y escribe la ley. b) ¿Qué presión habrá cuando el volumen sea 40 cm³? c) ¿Qué volumen habrá a 400 kPa?

Ver solución
a) P · V = 5000 kPa·cm³. b) 125 kPa. c) 12,5 cm³.
a) $50 \cdot 100 = 25 \cdot 200 = 20 \cdot 250 = 10 \cdot 500 = 5000$ → inversa: $P \cdot V = 5000\ \text{kPa·cm}^3$ . b) $P = \dfrac{5000}{40} = 125$ kPa. c) $V = \dfrac{5000}{400} = 12{,}5$ cm³.
3. Difícil
Datos aproximados de la distancia de frenado de un coche en asfalto mojado:

$v$ (km/h) 30 60 90 120

$d$ (m) 6 24 54 96

a) ¿Qué tipo de relación hay? Escribe la ley. b) Si un conductor pasa de 60 a 120 km/h, ¿por cuánto se multiplica su distancia de frenado? c) ¿Cuál es la distancia de frenado a 50 km/h, el límite en muchas calles de Madrid?

Ver solución
a) Cuadrática: d = v²/150 (k ≈ 0,0067 m·h²/km²). b) Por 4. c) ≈ 17 m.
a) $d/v$ : 0,2; 0,4; 0,6; 0,8 → no es constante. $d/v^2$ : $\dfrac{6}{900} = \dfrac{24}{3600} = \dfrac{54}{8100} = \dfrac{96}{14\,400} = \dfrac{1}{150}$ → cuadrática: $d = \dfrac{v^2}{150}$ ( $d$ en m, $v$ en km/h). b) Velocidad doble → distancia $2^2 = 4$ veces mayor: de 24 m a 96 m. c) $d = \dfrac{50^2}{150} = \dfrac{2500}{150} \approx 16{,}7 \approx 17$ m.

$v$ (km/h)	40	60	80	120
$t$ (h)	3	2	1,5	1

$l$ (cm)	1	2	3	4
$A$ (cm²)	1	4	9	16

$t$ (s)	1	2	3	4
$v$ (m/s)	9,8	19,6	29,4	39,2

$V$ (cm³)	50	25	20	10
$P$ (kPa)	100	200	250	500

$v$ (km/h)	30	60	90	120
$d$ (m)	6	24	54	96

Para practicar más

1. Fácil
Para recorrer los 3 km que separan su casa del polideportivo, Pablo puede ir andando, en bici o en patinete:

$v$ (km/h) 5 10 15 20

$t$ (h) 0,6 0,3 0,2 0,15

a) ¿Qué relación hay? Escribe la ley. b) ¿Cuánto tarda (en minutos) si va a 12 km/h?

Ver solución
a) Inversa: v · t = 3 km. b) 0,25 h = 15 min.
a) $5 \cdot 0{,}6 = 10 \cdot 0{,}3 = 15 \cdot 0{,}2 = 20 \cdot 0{,}15 = 3$ → inversa: $t = \dfrac{3}{v}$ ( $k = 3$ km, la distancia). b) $t = \dfrac{3}{12} = 0{,}25\ \text{h} = 15$ min.
2. Media
Una pizzería ofrece pizzas de tres tamaños:

Diámetro (cm) 20 30 40

Superficie (cm²) 314 707 1257

a) ¿Qué relación hay entre la superficie y el diámetro? Calcula la constante. b) ¿Es verdad que la pizza de 40 cm tiene «el doble» que la de 20 cm?

Ver solución
a) Cuadrática: S/D² ≈ 0,785. b) No: tiene unas 4 veces más superficie.
a) $S/D$ : 15,7; 23,6; 31,4 → no constante. $S/D^2$ : $\dfrac{314}{400} \approx \dfrac{707}{900} \approx \dfrac{1257}{1600} \approx 0{,}785$ → cuadrática, $S \approx 0{,}785 \cdot D^2$ . b) No: diámetro doble → superficie $2^2 = 4$ veces mayor ( $1257/314 \approx 4$ ).
3. Difícil
La gráfica muestra la presión de un gas frente a su volumen, a temperatura constante. a) ¿Qué tipo de relación es? Compruébalo con al menos tres puntos de la gráfica. b) Escribe la ley. c) ¿Qué presión habrá cuando el volumen sea 8 L?

Ver solución
a) Inversa (P · V = 12 atm·L). b) P = 12/V. c) 1,5 atm.
a) Puntos: $(1, 12)$ , $(2, 6)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(6, 2)$ , $(12, 1)$ . Productos $V \cdot P$ : $1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4 = 12$ → inversa. b) $P \cdot V = 12\ \text{atm·L}$ → $P = \dfrac{12}{V}$ . c) $P = \dfrac{12}{8} = 1{,}5$ atm.