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Física y Química 3.º ESO · Tablas de datos y gráficas

Interpretar gráficas: línea de tendencia, interpolación y pendiente

Objetivo: Al terminar, sabrás trazar la línea de tendencia de unos datos experimentales, usarla para interpolar y extrapolar (con cuidado) y calcular la pendiente con sus unidades, explicando qué significa físicamente.

Explicación

La línea de tendencia

Las medidas reales siempre tienen pequeños errores, así que los puntos de una gráfica experimental casi nunca quedan perfectamente alineados. Por eso no se unen con una línea quebrada: se traza una línea de tendencia (o línea de ajuste):

Es una línea suave: una recta (con regla) si los puntos están casi alineados, o una curva suave si no.
Pasa lo más cerca posible de todos los puntos, dejando más o menos tantos por encima como por debajo.
No tiene por qué pasar por ningún punto concreto.
Si un punto queda muy lejos de los demás, seguramente es un dato anómalo (un error de medida): no se tiene en cuenta y, si se puede, se repite la medida.

Interpolar y extrapolar

Interpolar es estimar un valor dentro del intervalo en el que hemos medido, leyéndolo en la línea de tendencia. Es bastante fiable.
Extrapolar es estimar un valor fuera de ese intervalo, prolongando la línea. Hay que hacerlo con cuidado: nada asegura que el fenómeno siga comportándose igual (el agua deja de calentarse cuando hierve, un muelle se deforma si colgamos demasiado peso…).

La pendiente de una recta

La pendiente mide lo inclinada que está la recta: cuánto cambia $y$ por cada unidad que cambia $x$ .

Elige dos puntos de la recta (no de la tabla), bien separados y fáciles de leer: $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ .
Calcula: $\text{pendiente} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Pon las unidades: las del eje Y divididas entre las del eje X.

Si la recta sube, la pendiente es positiva; si baja, negativa.

¿Qué significa la pendiente?

Casi siempre tiene significado físico:

Gráfica	Unidades de la pendiente	Significado
Temperatura frente a tiempo	°C/min	Lo rápido que se calienta (o enfría)
Posición frente a tiempo	m/s	Velocidad
Longitud de un muelle frente a masa colgada	cm/g	Cuánto se estira por cada gramo
Temperatura frente a altitud	°C/km	Cuánto baja la temperatura al subir

El punto donde la recta corta el eje Y (cuando $x = 0$ ) también suele significar algo: la temperatura inicial, la posición inicial, la longitud del muelle sin pesas…

Con hoja de cálculo

En una hoja de cálculo (Excel, LibreOffice Calc o Hojas de cálculo de Google) se escriben los datos en dos columnas, se inserta un gráfico de dispersión y se añade una línea de tendencia lineal marcando «mostrar ecuación». La hoja da la ecuación $y = m\,x + b$ : $m$ es la pendiente y $b$ , el corte con el eje Y.

Puntos clave

Los puntos experimentales no se unen en zigzag: se traza una línea de tendencia que pase cerca de todos.
Interpolar: leer dentro del intervalo medido. Extrapolar: fuera, prolongando la línea, con cuidado.
Pendiente $= \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ con dos puntos de la recta bien separados.
La pendiente lleva unidades (las de Y entre las de X) y casi siempre tiene significado físico.
El corte con el eje Y es el valor de la magnitud cuando x = 0.

Errores frecuentes

ErrorUnir los puntos uno a uno con segmentos.
Cómo corregirloTraza con regla una sola recta que pase entre los puntos, dejando más o menos los mismos a cada lado.
ErrorCalcular la pendiente con dos datos de la tabla que no están sobre la recta.
Cómo corregirloUsa dos puntos de la recta que has trazado, lo más separados posible.
ErrorDar la pendiente sin unidades: «la pendiente es 8».
Cómo corregirloDivide también las unidades: 8 °C/min. Sin unidades no se sabe qué significa.
ErrorFiarse de cualquier extrapolación: «a los 12 min el agua estará a 114 °C».
Cómo corregirloPregúntate si el resultado tiene sentido físico. El agua hierve a unos 100 °C (unos 98 °C en Madrid) y ya no sube más.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. Calentando agua en el laboratorio experimental (laboratorio)
Calentamos agua con un mechero y medimos su temperatura cada minuto:

t (min) 0 1 2 3 4 5 6

T (°C) 18,0 26,5 33,8 42,1 50,4 57,6 66,0

En la gráfica se ha trazado la recta de tendencia. a) Calcula su pendiente y explica qué significa. b) ¿Qué temperatura había a los 2,5 min? ¿Es una interpolación o una extrapolación? c) Según la recta, ¿qué temperatura habría a los 12 min? ¿Es razonable?

Resolución
Los puntos están casi alineados: trazamos una recta que pasa entre ellos. Pasa por $(0, 18)$ y por $(6, 66)$ .

a) $\text{pendiente} = \frac{66 - 18}{6 - 0} = \frac{48\ \text{°C}}{6\ \text{min}} = 8\ \text{°C/min}$ El agua se calienta unos 8 °C cada minuto. El corte con el eje Y (18 °C) es la temperatura inicial.

b) 2,5 min está dentro del intervalo medido (0–6 min): es una interpolación. En la recta: $T = 18 + 8 \cdot 2{,}5 = 38\ \text{°C}$ .

c) 12 min está fuera: es una extrapolación. La recta daría $T = 18 + 8 \cdot 12 = 114\ \text{°C}$ . No es razonable: el agua hierve a unos 100 °C (en Madrid, a unos 650 m de altitud, a unos 98 °C) y mientras hierve su temperatura ya no sube. La recta solo vale mientras el agua no hierve.
Ejemplo 2. Subiendo a la sierra de Guadarrama situación real (pendiente negativa)
En una excursión desde Las Rozas (unos 700 m de altitud) hasta la Bola del Mundo (unos 2260 m), un grupo midió la temperatura del aire a distintas altitudes a lo largo de la mañana (datos aproximados):

Altitud (m) 700 1000 1200 1500 1900 2200

T (°C) 24,0 22,1 20,6 18,9 16,2 14,4

La recta de tendencia de la gráfica pasa por los puntos (500 m; 25,2 °C) y (2500 m; 12,4 °C). a) Calcula la pendiente en °C/km. b) Estima la temperatura en el puerto de Navacerrada (1860 m). c) Estima la temperatura a nivel del mar (0 m). ¿Es una interpolación o una extrapolación?

Resolución
a) Usamos los dos puntos de la recta: $\text{pendiente} = \frac{12{,}4 - 25{,}2}{2500 - 500} = \frac{-12{,}8\ \text{°C}}{2000\ \text{m}} = -0{,}0064\ \text{°C/m} = -6{,}4\ \text{°C/km}$ Es negativa porque la recta baja: la temperatura disminuye unos 6,4 °C por cada kilómetro que se sube.

b) 1860 m está dentro del intervalo medido (700–2200 m): interpolación. Desde 500 m hay 1360 m más: $T = 25{,}2 - 0{,}0064 \cdot 1360 \approx 16{,}5\ \text{°C}$ . (Leído en la gráfica, unos 16–17 °C.)

c) 0 m está fuera: extrapolación. $T = 25{,}2 + 0{,}0064 \cdot 500 \approx 28{,}4\ \text{°C}$ . Es solo una estimación: no hemos medido tan abajo y además la temperatura cambia de un lugar y de una hora a otra.
Ejemplo 3. La recta con hoja de cálculo con hoja de cálculo
Introducimos los datos del ejemplo 1 en una hoja de cálculo, hacemos un gráfico de dispersión y añadimos una línea de tendencia lineal con su ecuación. La hoja muestra: $y = 7{,}957x + 18{,}19$ . a) ¿Qué significan los números 7,957 y 18,19? b) Compáralos con lo que obtuvimos a mano.

Resolución
La ecuación es de la forma $y = m\,x + b$ , con $y$ = temperatura (°C) y $x$ = tiempo (min).

a) $m = 7{,}957$ es la pendiente: el agua se calienta unos 7,96 °C/min. $b = 18{,}19$ es el corte con el eje Y: la temperatura inicial, unos 18,2 °C.

b) A mano obtuvimos 8 °C/min y 18 °C: prácticamente lo mismo. La hoja de cálculo calcula la recta que mejor se ajusta a todos los puntos; nuestra recta trazada con regla es una buena aproximación. Con datos como estos, es razonable dar la pendiente como 8,0 °C/min.

t (min)	0	1	2	3	4	5	6
T (°C)	18,0	26,5	33,8	42,1	50,4	57,6	66,0

Altitud (m)	700	1000	1200	1500	1900	2200
T (°C)	24,0	22,1	20,6	18,9	16,2	14,4

Ejercicios

De menos a más. Intenta cada uno antes de mirar la solución.

1. Fácil
La gráfica muestra la carga de la batería de un móvil mientras se carga. a) ¿Qué carga tenía al enchufarlo? b) ¿Qué carga tenía a los 20 min? c) ¿Cuándo llegó al 60 %? d) Los apartados b y c, ¿son interpolaciones o extrapolaciones?

Ver solución
a) 15 % b) 45 % c) A los 30 min d) Interpolaciones.
a) En t = 0, la recta está en el 15 %. b) En t = 20 min: 45 %. c) Desde 60 % en horizontal hasta la recta: t = 30 min. d) Los dos valores están dentro del intervalo representado (0–40 min): son interpolaciones.
2. Media
Con la gráfica de la batería del ejercicio anterior (pasa por 15 % en t = 0 y por 75 % en t = 40 min): a) Calcula la pendiente con sus unidades. ¿Qué significa? b) Si la recta siguiera igual, ¿qué carga tendría a los 80 min? ¿Es posible?

Ver solución
a) 1,5 %/min: sube un 1,5 % cada minuto. b) 135 %: imposible; la carga no pasa del 100 % (y al final se carga más despacio).
a) $\text{pendiente} = \dfrac{75 - 15}{40 - 0} = \dfrac{60\ \%}{40\ \text{min}} = 1{,}5\ \%/\text{min}$ . La batería sube un 1,5 % cada minuto. b) Extrapolando: $15 + 1{,}5 \cdot 80 = 135\ \%$ . Imposible: la batería no pasa del 100 %. Además, los móviles cargan más despacio al final. La recta solo vale en el intervalo medido.
3. Media
Colgamos pesas de un muelle y medimos su longitud:

m (g) 0 50 100 150 200 250

L (cm) 8,0 9,9 12,1 13,8 16,1 17,9

a) Representa los datos y traza la recta de tendencia. b) Calcula su pendiente con unidades. ¿Qué significa? c) ¿Qué significa el corte con el eje Y? d) Estima la longitud con 120 g.

Ver solución
b) 0,04 cm/g (4 cm cada 100 g). c) La longitud del muelle sin pesas, 8 cm. d) Unos 12,8 cm.
a) Eje X: m (g), 1 cuadro = 25 g; eje Y: L (cm), 1 cuadro = 2 cm. Los puntos están casi alineados; la recta pasa, por ejemplo, por (0; 8,0) y (250; 18,0). b) $\text{pendiente} = \dfrac{18{,}0 - 8{,}0}{250 - 0} = \dfrac{10{,}0\ \text{cm}}{250\ \text{g}} = 0{,}04\ \text{cm/g}$ : el muelle se alarga 0,04 cm por cada gramo (4 cm cada 100 g). c) Para m = 0, L = 8,0 cm: es la longitud del muelle sin pesas. d) Interpolando: $L = 8{,}0 + 0{,}04 \cdot 120 = 12{,}8\ \text{cm}$ .
4. Media
La gráfica muestra la posición de una ciclista en un tramo recto del Anillo Verde Ciclista de Madrid. a) ¿Dónde estaba al empezar a contar el tiempo? b) Calcula la pendiente. ¿Qué magnitud es? Exprésala también en km/h. c) ¿Dónde estará a los 90 s si sigue igual? ¿Es interpolación o extrapolación?

Ver solución
a) A 200 m del origen. b) 5 m/s = 18 km/h; es la velocidad. c) A 650 m; extrapolación.
a) Corte con el eje Y: x = 200 m. b) Con los puntos (0, 200) y (60, 500): $\text{pendiente} = \dfrac{500 - 200}{60 - 0} = \dfrac{300\ \text{m}}{60\ \text{s}} = 5\ \text{m/s}$ . Es la velocidad: $5 \cdot 3{,}6 = 18\ \text{km/h}$ . c) Fuera del intervalo (0–60 s): extrapolación. $x = 200 + 5 \cdot 90 = 650\ \text{m}$ , si mantiene la velocidad.
5. Difícil
Estos son datos aproximados de la temperatura a la que hierve el agua según la altitud. Uno de ellos se midió mal.

Altitud (m) 0 500 1000 1500 2000

T de ebullición (°C) 100,0 98,3 96,7 97,5 93,4

a) Represéntalos y traza la recta de tendencia. ¿Qué dato es anómalo? b) Calcula la pendiente en °C/km. c) Estima a qué temperatura hierve el agua en Madrid (unos 650 m).

Ver solución
a) El de 1500 m (debería ser unos 95,0 °C). b) Unos −3,3 °C/km. c) Unos 97,8 °C.
a) Los puntos de 0, 500, 1000 y 2000 m están casi en una recta que baja; el de 1500 m (97,5 °C) queda muy por encima: es anómalo (según la recta, deberían ser unos 95,0 °C). No lo usamos para trazar la recta. b) La recta pasa, por ejemplo, por (0; 100,0) y (2000; 93,4): $\text{pendiente} = \frac{93{,}4 - 100{,}0}{2000 - 0} = \frac{-6{,}6\ \text{°C}}{2\ \text{km}} = -3{,}3\ \text{°C/km}$ c) $T = 100{,}0 - 3{,}3 \cdot 0{,}65 \approx 97{,}9\ \text{°C}$ : unos 98 °C (la hoja de cálculo, con los cuatro puntos buenos, da 97,8 °C).

m (g)	0	50	100	150	200	250
L (cm)	8,0	9,9	12,1	13,8	16,1	17,9

Altitud (m)	0	500	1000	1500	2000
T de ebullición (°C)	100,0	98,3	96,7	97,5	93,4

Para practicar más

1. Fácil
Metemos un yogur en la nevera y medimos su temperatura. La gráfica muestra la recta de tendencia de las medidas. a) ¿A qué temperatura estaba al principio? b) ¿Y a los 10 min? c) ¿Cuándo llegó a 12 °C? d) Calcula la pendiente con sus unidades. ¿Por qué es negativa?

Ver solución
a) 22 °C b) 17 °C c) A los 20 min d) −0,5 °C/min; es negativa porque la temperatura baja.
a) En t = 0: 22 °C. b) En t = 10 min: 17 °C. c) Para T = 12 °C: t = 20 min. d) Con (0, 22) y (30, 7): $\text{pendiente} = \dfrac{7 - 22}{30 - 0} = \dfrac{-15\ \text{°C}}{30\ \text{min}} = -0{,}5\ \text{°C/min}$ . Es negativa porque la temperatura baja medio grado cada minuto.
2. Media
Colgamos monedas iguales de una goma elástica y medimos su longitud:

Número de monedas 0 1 2 3 4 5

L (cm) 10,0 10,8 11,7 12,4 13,3 14,1

a) Representa los datos y traza la recta de tendencia. b) Calcula la pendiente. ¿Qué unidades tiene y qué significa? c) Estima la longitud con 8 monedas. ¿Qué tipo de estimación es? ¿Qué podría fallar?

Ver solución
b) Unos 0,82 cm por moneda. c) Unos 16,6 cm; es una extrapolación: la goma podría dejar de estirarse igual o romperse.
a) Los puntos están casi alineados; la recta pasa, por ejemplo, por (0; 10,0) y (5; 14,1). b) $\text{pendiente} = \dfrac{14{,}1 - 10{,}0}{5 - 0} = \dfrac{4{,}1\ \text{cm}}{5\ \text{monedas}} = 0{,}82\ \text{cm por moneda}$ : cada moneda alarga la goma unos 0,8 cm. c) $L = 10{,}0 + 0{,}82 \cdot 8 \approx 16{,}6\ \text{cm}$ . Es una extrapolación (solo medimos hasta 5 monedas): con más peso, la goma podría estirarse de otra forma o romperse.
3. Media
La gráfica muestra la posición de un patinador en una pista recta. a) ¿Cuál es su posición inicial? b) Calcula la pendiente y di qué magnitud representa; exprésala en km/h. c) ¿Dónde estará a los 30 s si sigue igual?

Ver solución
a) 50 m b) 10 m/s = 36 km/h (velocidad) c) A 350 m
a) Corte con el eje Y: 50 m. b) Con (0, 50) y (20, 250): $\dfrac{250 - 50}{20 - 0} = \dfrac{200\ \text{m}}{20\ \text{s}} = 10\ \text{m/s}$ . Es la velocidad: $10 \cdot 3{,}6 = 36\ \text{km/h}$ . c) Extrapolando: $x = 50 + 10 \cdot 30 = 350\ \text{m}$ .
4. Media
Un bebé pesa 3,4 kg al nacer y, durante sus primeros 4 meses, su masa aumenta unos 0,8 kg cada mes: la gráfica masa-tiempo es casi una recta. a) ¿Cuál es la pendiente de esa recta, con unidades? b) Según la recta, ¿cuánto pesaría a los 15 años (180 meses)? c) ¿Es razonable? ¿Qué nos enseña esto sobre extrapolar?

Ver solución
a) 0,8 kg/mes b) 147,4 kg c) No; no se puede extrapolar tan lejos de los datos.
a) La pendiente es lo que aumenta la masa por cada mes: 0,8 kg/mes. b) $m = 3{,}4 + 0{,}8 \cdot 180 = 147{,}4\ \text{kg}$ . c) No es razonable: un chico o una chica de 15 años suele pesar bastante menos. Los bebés crecen muy deprisa al principio y luego más despacio. Una recta obtenida con datos de 4 meses no sirve para 15 años: extrapolar muy lejos del intervalo medido da resultados absurdos.
5. Difícil
Un grupo estira un muelle con un dinamómetro y mide el alargamiento. La hoja de cálculo da la línea de tendencia $y = 0{,}52x + 0{,}3$ , donde $y$ es el alargamiento (cm) y $x$ es la fuerza (N). a) ¿Cuál es la pendiente y qué significa? b) Estima el alargamiento con una fuerza de 6 N. c) ¿Qué fuerza hace falta para alargarlo 5 cm? d) En teoría, sin fuerza el alargamiento debería ser 0. ¿Por qué crees que la hoja da 0,3 cm?

Ver solución
a) 0,52 cm/N b) Unos 3,4 cm c) Unos 9,0 N d) Por los pequeños errores de las medidas.
a) Pendiente: 0,52 cm/N. El muelle se alarga unos 0,52 cm por cada newton. b) $y = 0{,}52 \cdot 6 + 0{,}3 = 3{,}42 \approx 3{,}4\ \text{cm}$ . c) $5 = 0{,}52x + 0{,}3 \Rightarrow x = \dfrac{5 - 0{,}3}{0{,}52} \approx 9{,}0\ \text{N}$ . d) Las medidas tienen pequeños errores (de lectura de la regla y del dinamómetro), y la recta que mejor se ajusta a los puntos no pasa exactamente por el origen. 0,3 cm es un valor pequeño, del orden de esos errores.